兩自由度軋機非線性扭振系統的振動特性及失穩研究

侯東曉，劉 彬，時培明，劉 飛，劉云靜

(1.東北大學 秦皇島分樣自動化工程系，秦皇島 066004;2.燕山大學 電氣工程學院，秦皇島 066004)

隨著軋制速度和軋制強度的不斷提高，軋機傳動系統在軋制過程中時常出現扭振現象，導致軋制產品的表面質量變差，劇烈的扭振還可能造成斷輥、斷帶等事故，嚴重威脅軋制生產的安全運行。

軋機傳動系統的扭振問題一直為科研人員所關注。文獻［1］研究了一類具有非線性摩擦阻尼的單自由度軋機扭振動力學模型，分析了摩擦系數對系統自激振動的影響。文獻［2］針對一類具有非線性剛度的扭振系統進行了研究，采用多尺度法得到了系統振動時的解析近似解。文獻［3］研究了具有間隙時軋機傳動系統的動力學特性，并針對間隙帶來的扭振問題提出了一些解決方法。軋機傳動系統實際上是一個多非線性因素共同作用的動力學系統，多非線性因素的存在使得軋機的扭振行為變得更為復雜，因此研究多非線性因素的影響才能更真實反映出軋機傳動系統的非線性扭振特性。

本文考慮軋機傳動系統傳動軸的非線性剛度以及軋輥受到的非線性摩擦阻尼作用，建立了軋機傳動系統的兩自由度非線性扭振動力學方程。通過坐標變換得到電機加載力矩作用下系統的等效非線性扭振方程。分析了該非線性扭振系統在周期激勵下的主共振和分岔特性。最后以實際軋機為例，研究非線性參數對軋機主共振幅頻特性的影響以及導致軋機出現失穩振動的條件，為保證軋機傳動系統的穩定運行提供了理論參考。

1 具有非線性剛度和非線性摩擦阻尼的兩自由軋機非線性扭振模型

在軋制狀態下，考慮軋機傳動系統傳動軸的非線性剛度［4］以及軋輥與軋件間非線性摩擦阻尼［1，5］，可將軋機傳動系統簡化為由電機和負載組成的兩自由度非線性扭振力學模型(如圖1所示)。

圖1 兩自由度軋機非線性扭振力學模型Fig.1 The 2 DOF nonlinear mechanical model of torsional vibration of rolling mill

圖中J1和J2分別為電機和負載的等效轉動慣量，θ1與θ2分別為電機和負載運轉時的扭轉角，f(θ1-θ2)=K1(θ1-θ2)+K2(θ1-θ2)3為軋機傳動軸的非線性剛度，C為傳動軸的結構阻尼系數，T1為電機輸入力矩，T2為負載端受到的非線性摩擦阻尼，T2=-aRPe-bRθ·2+c，其中P為軋制力，R為軋輥半徑。

由圖1中力學模型可得到如下兩自由度非線性扭振方程:

2 電機加載力矩下等效非線性扭振方程

軋機傳動系統運轉時的轉動角是隨時間變化的，由于非線性因素的影響，軋機傳動系統在零點附近的運行和穩定狀態［2，4］將與傳動系統受電機加載力矩作用時實際運行情況有較大差別［6］，研究電機加載力矩作用下的軋機傳動系統更接近于實際。

令電機加載力矩T1=T'1+T″1，其中T'1為電機加載力矩的恒定成分，為一常量，T″1為電機加載力矩的擾動成分。此時電機和負載端的相對扭轉角可寫為θ1-θ2=Δθ+x1-x2，其中 Δθ為恒定加載力矩T'1造成的扭轉角，為一常量，x1和x2為擾動力矩T″1造成的扭轉波動角;電機和負載的轉動速度可分別表示為，其中和分別為由力矩T'1形成的電機和負載的穩定轉速，存在;電機和負載的轉動加速度可分別表示為，在恒定力矩T'1下存在。將上述的代入式(1)中，并將負載端的非線性摩擦阻尼在穩定轉速處泰勒公式展開，可得到軋機傳動系統在穩定點附近的等效非線性扭振方程:

其中:

在上述非線性扭振方程中，當系統的擾動力矩趨于0時，即T″1=0時，存在如下的平衡力:

其中，Δθ和θ·21為恒定加載力矩形成的傳動軸扭轉角和負載端轉速，為軋機傳動系統運行時的穩定點。

將式(5)、式(6)代入式(2)中，考慮到式(2)中的非線性項為弱非線性，將其冠以小參數ε，可得到如下矩陣形式:

其中:

為系統的慣量矩陣;

為系統的剛度矩陣;

f(x1，x2，t)=［f'1(x1，x2，t)f'2(x1，x2，t)］T為系統的非線性作用力矩陣，此時:

由上可見，在電機加載力矩作用下，軋機傳動系統的非線性扭振方程轉換為一個同時包含二次及三次非線性項的方程。

3 非線性扭振系統的振動特性分析

3.1 非線性扭振系統的主共振特性分析

由于式(7)中的兩自由度非線性扭振方程只存在一個固有頻率，因此可只考慮單頻振動作用影響，即認為該系統是以系統的固有頻率或某一種頻率為主的振動［7］。

當軋機傳動系統受到外部周期激勵擾動頻率ω接近于系統的固有頻率ω0時，即T″1=F0sin(ωt)，采用平均法設式(7)存在如下形式的周期解:

式(8)中的φM=［φM1φM2］T為振型函數，可通過求解式(7)的奇次方程組得到，該奇次方程組如下:

式(9)中ω0為系統的固有頻率，可通過求解如下特征行列式得到:

由式(10)可解得:

將式(11)代入式(9)可解得:

將式(7)的左邊和右邊都乘以φTM，可將式(7)化為第一主坐標上的方程式:

其中主質量M1和主剛度M1ω20分別為:

式(13)右邊的非線性項為:

其中:

由于式(13)的方程在主坐標上是獨立的，因此可采用單自由度系統的求解方法對系統進行分析。

考慮到軋機傳動系統受到的擾動頻率ω接近系統固有頻率ω0，設:

其中σ為調諧因子。

將式(17)代入式(13)可得:

采用平均法可得到系統的幅值和頻率方程為:

3.2 非線性扭振系統的分岔特性分析

為分析系統主共振時的分岔特性，可將式(20)考慮為奇異性理論中的一個開折問題，通過引進附加參數來研究擾動對方程分岔形態的影響。

將式(20)展開可得如下形式:

其中:

式(21)可寫為:

將式(22)寫成如下形式:

由奇異性理論可知，式(23)是范式z7-μz=0的普適開折，其余維數為2。其中，α、β為開折參數，其不同的取值會導致系統出現不同的分岔形式;μ為分岔參數，在確定的分岔形式下，振幅z將隨系統的參數μ的變化而發生變化。

分別將式(23)對z和μ求導，可得到:

根據轉遷集的定義可得:

(1)當G(z，μ)=Gz(z，μ)=Gμ(z，μ)=0 時，存在分岔點集B0(Z2)=φ，B1(Z2)=φ;

(2)當G(z，μ)=Gz(z，μ)=Gzz(z，μ)=0 時，存在滯后點集H0(Z2)={β=0}，H1(Z2)={β=α2/3，α≤0};

(3)存在雙極限點集D(Z2)={β=α2/4，α≤0};

(4)系統的轉遷集∑=B0∪B1∪H0∪H1∪D。

圖2為系統在不同開折參數α和β下的轉遷集。

圖3為系統在不同的轉遷集以及轉遷集劃分的區域中對應的分岔曲線。

由圖3可見，系統具有9種不同的分岔形式，其中，H1、H0+、H0-、D為系統轉遷集上的分岔曲線，(e)1、(e)2、(e)3和(e)4為轉遷集劃分出的4個不同分岔區域，在這4個分岔區域中，(e)2、(e)3和(e)4都存在幅值跳躍現象，這對軋機的振動是不利的，因此應盡量使系統的開折參數保持在區域圖3(e)1中。

4 仿真分析

以某廠1780軋機傳動系統為例，取如下參數:J1=1.317 ×104kg·m2，J2=913 kg·m2，K1=1.13 × 107Nm/rad，C=1.6 × 104N/(m·s-1)，R=0.42 m，a=0.1，b=0.02，c=0.5，T'1=2.15 ×106Nm，P=3.14 ×107N，φM2=1。

由式(20)可得到在不同非線性參數影響下系統的幅頻響應變化曲線。其中圖4為不同非線性剛度下系統的幅頻響應曲線，可見非線性剛度將使系統的幅頻曲線發生彎曲，導致系統出現跳躍現象。

圖5為取不同非線性阻尼時系統的幅頻響應曲線。

由圖5可知，非線性阻尼系數的變化會影響系統共振的大小，阻尼系數b值對共振的影響比較復雜，當b在0.02附近時，系統的等效阻尼系數c1將最小，此時系統的共振將最大，當遠離0.02時，c1增大，正阻尼效應變強，共振幅值變小。

軋機阻尼系數的選取對傳動系統的穩定性有著重要作用。當阻尼系數c1＞0時，軋機傳動系統的阻尼為負，此時將產生負阻尼效應，導致軋機發生失穩振動。因此當軋機傳動系統中阻尼系數c1＜0，即滿足如下條件:

此時軋機傳動系統是穩定的，否則系統將發生發散性振動。由式(27)可看出，傳動系統電機和負載的轉動慣量、軋輥半徑、軋制力、軋制速度、摩擦系數以及結構阻尼系數都會影響軋機運行的穩定性，軋制生產中應適當選取這些參數，才能避免軋機失穩振動的發生。

圖6和圖7為在不同的軋制速度下軋機出現振動的仿真曲線。其中圖6為軋制速度等于61.6 rad/s時，c1=-6.26×103N/(m·s-1)＞0，此時軋機的振動是穩定的。

圖7中軋制速度為6.6 rad/s時，c1=5.47×103N/(m·s-1)＞0，此時軋機將產生失穩振動，這與現場發生發散性振動是比較相似的［8］。由圖7可看出，軋機發生振動時，系統的振動發散，振幅隨時間增大，這將對軋制生產造成很大的影響，應盡量避免這類振動的發生。

由文中仿真可知，軋機失穩振動發生于軋制速度有著密切關系，這里應注意的是文中考慮的非線性摩擦阻尼只發生在軋制過程中某一速度段(即混合摩擦狀態)［8］，因此對軋制工藝進行設計時，應盡量避免軋制速度的不穩定區域與混合摩擦狀態下速度區域重合，這樣可減少這一類不穩定振動的發生。

5 結論

(1)建立了具有非線線性摩擦阻尼的軋機傳動系統兩自由度非線性扭振動力學方程，并通過坐標變換得到電機加載力矩作用下軋機傳動系統的等效非線性扭振方程。

(2)得到軋機在外部周期激勵下的主共振分岔方程，應用奇異性理論得到系統的轉遷集以及系統出現各種分岔行為的條件，并通過數值仿真分析了非線性剛度系數以及非線性阻尼系數對軋機主共振的影響。

(3)得到軋機發生失穩振動的條件，發現軋機傳動系統中電機和負載的轉動慣量、軋輥半徑、軋制力、軋制速度、軋輥與軋件間摩擦系數以及結構阻尼系數等都會影響軋機運行的穩定性，生產中應適當選取這些參數，使其滿足式(27)，才能避免軋機失穩振動的發生，這可為抑制軋機扭振和保證軋機平穩運行提供理論參考。

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