基于遞歸矩陣奇異熵的損傷識(shí)別方法

楊 棟，任偉新

(1.中南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075;2.高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410075)

結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別可通過(guò)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性和響應(yīng)的改變來(lái)檢測(cè)與識(shí)別。常用的與結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性有關(guān)的結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)有自振頻率、振型、振型曲率、模態(tài)柔度和模態(tài)應(yīng)變能等［1］，但這些作為表征結(jié)構(gòu)整體特性的動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)局部損傷并不敏感。此外結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性由實(shí)測(cè)振動(dòng)響應(yīng)采用系統(tǒng)識(shí)別的方法得到，由于測(cè)試模態(tài)集不完備、測(cè)試自由度不足、測(cè)量信噪比低以及識(shí)別誤差等原因，除了無(wú)法給出損傷識(shí)別的足夠信息，還易導(dǎo)致?lián)p傷方程的病態(tài)［2-3］。直接基于振動(dòng)的響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的損傷檢測(cè)與識(shí)別可以避免系統(tǒng)識(shí)別的中間過(guò)程，該方法需要信號(hào)處理與分析的工具，如傅里葉變化、小波變換和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾龋浜诵膯?wèn)題之一是尋找對(duì)結(jié)構(gòu)損傷敏感的特征(Feature extraction)［4-5］。

遞歸圖(Recurrence plot-RP)用圖像來(lái)刻畫(huà)信號(hào)的振動(dòng)特性［6］，可以體現(xiàn)信號(hào)在所有時(shí)間尺度上的自相關(guān)性，進(jìn)而可以用于提取傳統(tǒng)方法(特別是那些需要進(jìn)行線性變換的方法)無(wú)法展現(xiàn)的結(jié)構(gòu)特性，該理論已經(jīng)被應(yīng)用于語(yǔ)音信號(hào)分析、心率信號(hào)分析等領(lǐng)域中［7-8］。由于遞歸圖對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的變化非常敏感，因此這是一種較理想的構(gòu)造損傷敏感參數(shù)的方法。本文應(yīng)用遞歸圖進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別，構(gòu)造了一個(gè)基于遞歸圖遞歸矩陣的新的損傷指標(biāo)——遞歸矩陣奇異熵，通過(guò)該指標(biāo)的變化識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷情況。

1 振動(dòng)信號(hào)的遞歸圖及多變量融合

1.1 信號(hào)的遞歸圖和交叉遞歸圖

遞歸圖Rij是一個(gè)由黑點(diǎn)和白點(diǎn)以及兩條時(shí)間軸組成的二維方陣，其建立的方法如下:

設(shè){xi是某一動(dòng)力系統(tǒng)相空間中的一條軌跡線，考察軌跡中某一個(gè)相點(diǎn)是否接近于軌跡中另一個(gè)相點(diǎn)，即看這兩個(gè)相點(diǎn)之間的距離是否小于某一選取的閾值。當(dāng)兩個(gè)相點(diǎn)之間的距離小于閾值，則代表這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是遞歸的，用一個(gè)黑點(diǎn)表示，否則這一點(diǎn)就是不遞歸的，用一個(gè)白點(diǎn)或者空格表示。此過(guò)程可以用一個(gè)方陣表示如下:

i=1，2，…，N;j=1，2，…，N;θ(x→i)是Heaviside函數(shù):

對(duì)于實(shí)際觀測(cè)到的時(shí)間序列{xn，可通過(guò)如下方法構(gòu)造M個(gè)m維向量:

其中，m為嵌入維數(shù)，τ為延遲時(shí)間，只能為采樣間隔的整數(shù)倍。為m維嵌入空間中的一個(gè)相點(diǎn)，代表系統(tǒng)在時(shí)刻i的狀態(tài)。只要m，τ選擇恰當(dāng)，就可在拓?fù)涞葍r(jià)的意義下恢復(fù)原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)重構(gòu)的狀態(tài)向量序列{xi作遞歸圖分析，就可獲得系統(tǒng)的相關(guān)信息。

圖1中所體現(xiàn)的就是三種不同信號(hào)的遞歸圖:高斯白噪聲、正弦波以及線性調(diào)頻信號(hào)。三個(gè)圖都是采用同樣長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)(N=1 000)及采樣頻率(f=50 Hz)，m和τ都取1。對(duì)于為常數(shù)的情況，遞歸圖是關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的，例如點(diǎn)i、j在相空間里面距離很近那么對(duì)于點(diǎn)j、i也是一樣的，并且對(duì)角線是一直都會(huì)出現(xiàn)在圖像里面的。對(duì)遞歸圖中的對(duì)角線、水平線和垂直線(遞歸圖中相鄰兩個(gè)點(diǎn)或以上都是實(shí)心點(diǎn)無(wú)空白就稱之為線)進(jìn)行分析將會(huì)發(fā)現(xiàn)很多有意思的現(xiàn)象。垂直的線結(jié)構(gòu)反應(yīng)了傳統(tǒng)概念中的自相關(guān)特性。對(duì)角線代表了信號(hào)中固有的振動(dòng)特性。因此，周期信號(hào)將會(huì)表現(xiàn)出帶狀結(jié)構(gòu)，例如圖1(b)中的正弦信號(hào)對(duì)角線之間的空白與其周期特性相關(guān)聯(lián)，而對(duì)角線的粗細(xì)由其自相關(guān)性決定。一個(gè)純的隨機(jī)信號(hào)是沒(méi)有任何規(guī)律可循的，它在遞歸圖上的表現(xiàn)就是沒(méi)有任何線性結(jié)構(gòu)出現(xiàn)，相鄰點(diǎn)之間不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)實(shí)心點(diǎn)，如同圖1(a)中的高斯白噪聲遞歸圖中所表現(xiàn)出來(lái)的一樣。圖1(c)中線性調(diào)頻信號(hào)明顯的體現(xiàn)出長(zhǎng)短不一致的對(duì)角線結(jié)構(gòu)，與其信號(hào)的李雅普諾夫系數(shù)相關(guān)聯(lián)。

圖1 不同信號(hào)的遞歸圖Fig.1 Recurrence plot for different signals

遞歸圖最初是用來(lái)進(jìn)行時(shí)間序列平穩(wěn)性分析的工具，因此也將是一個(gè)提取結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)中由于結(jié)構(gòu)損傷造成信號(hào)固有特征變化的有效工具。這種特別的方法沒(méi)有包含任何線性變換，它是一種基于概率、普遍的提取結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的方法。

1.1 對(duì)象 選擇2011年1—6月本市1、2、3級(jí)醫(yī)院在職已婚護(hù)士及其配偶260名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。本次調(diào)查共發(fā)放問(wèn)卷260份，收回260份，回收率100%，有效問(wèn)卷254份，有效問(wèn)卷率97.6%。

交叉遞歸圖 (cross recurrence plot)是單變量遞歸圖的二元擴(kuò)張，常用于通過(guò)系統(tǒng)狀態(tài)間的比較來(lái)分析兩個(gè)不同系統(tǒng)間的相互關(guān)系［9］。{xi和{yi分別表示兩組不同的信號(hào)，其建立關(guān)系如下:

如果兩個(gè)系統(tǒng)相似，則其在相空間中的位置應(yīng)該相差不遠(yuǎn)，遞歸點(diǎn)出現(xiàn)的概率比較大;反之，則遞歸點(diǎn)較少。這種特別的振動(dòng)特性對(duì)比方式非常適合結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別。它從概率的角度評(píng)價(jià)了一個(gè)有損結(jié)構(gòu)和無(wú)損結(jié)構(gòu)之間的區(qū)別。因此，本文將著重介紹如何從遞歸圖中提取出來(lái)一個(gè)合適的損傷評(píng)價(jià)指標(biāo)。

為了在相空間中很好的刻畫(huà)出振動(dòng)信號(hào)的特性，也為了更加方便的進(jìn)行分析和構(gòu)造損傷指標(biāo)，本文更多的將對(duì)無(wú)閾值遞歸矩陣進(jìn)行研究。其表達(dá)式如下:

在這個(gè)遞歸矩陣中，對(duì)角線元素全部為零，且歐氏距離總是大于或等于零，因此遞歸矩陣沒(méi)有負(fù)值的元素，且能夠很好的保留和反映結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)的特征。對(duì)于無(wú)閾值遞歸矩陣的分析可參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11］。

1.2 響應(yīng)信號(hào)的多變量融合［12］

在結(jié)構(gòu)振動(dòng)測(cè)試中，人們經(jīng)常將多個(gè)傳感器分別布置在結(jié)構(gòu)的不同部位進(jìn)行監(jiān)測(cè)。傳感器在不同的位置將獲得不同的結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征信息，而本文希望能夠充分利用所有傳感器中的信息，進(jìn)行多元交叉遞歸分析。將結(jié)構(gòu)中不同位置m個(gè)傳感器采集到的信號(hào)作為行向量，并用所有行向量形成交叉遞歸分析的延遲向量(delay vectors)，如下式所示:

其中xi(n)表示第i個(gè)傳感器在第n個(gè)采樣點(diǎn)的值。多變量融合數(shù)據(jù)重構(gòu)完成后，按式(1)、式(3)和式(4)便可計(jì)算各種形式的遞歸矩陣。

2 遞歸矩陣奇異熵

遞歸圖或者交叉遞歸圖中含有豐富的振動(dòng)特性信息。如同前文所述，圖中各種各樣的線結(jié)構(gòu)反應(yīng)了自相關(guān)特性和振動(dòng)特征。在交叉遞歸圖中，這些線結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了兩個(gè)不同結(jié)構(gòu)模式之間相同振動(dòng)特性的概率大小。但在遞歸量化分析中有一個(gè)很重要的參數(shù)需要尋找，一般這個(gè)值取=3σ(即99.7%的保證率)。大多數(shù)情況下，這個(gè)值是適用的。但是對(duì)于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別說(shuō)，細(xì)微的差別都可能造成指標(biāo)對(duì)損傷不敏感偏小可能造成噪聲對(duì)圖形影響很大偏大又可能無(wú)法完全真實(shí)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)現(xiàn)狀。因此，本文將奇異熵［5］引入到遞歸圖算法中，用遞歸矩陣的奇異熵作為損傷指標(biāo)，以回避選擇的問(wèn)題，同時(shí)達(dá)到使指標(biāo)對(duì)結(jié)構(gòu)微小變化也比較敏感的目的。其具體構(gòu)造過(guò)程如下:

(1)按照式(5)構(gòu)造延遲矩陣;

(2)計(jì)算無(wú)閾值遞歸矩陣D，見(jiàn)式(4)。

(3)對(duì)無(wú)閾值遞歸矩陣D進(jìn)行奇異值分解:

其中，ui和vi分別稱為左奇異值向量和右奇異值向量，σi為矩陣D的奇異值，且數(shù)值按遞減排列σ1＞σ2＞…＞σn。對(duì)于含噪信號(hào)，大的奇異值主要反映信號(hào)分量，而小的奇異值主要反映噪聲。由于奇異值對(duì)角陣Λ對(duì)角元按照遞減排列，選定階次k，則可得前面k個(gè)較大的奇異值反映信號(hào)的信息。將大于階次K的較小的奇異值置零，即可得到新的去除噪聲影響的奇異值對(duì)角陣:

(4)根據(jù)奇異值對(duì)角陣求奇異熵:

其中ΔEi表示奇異熵在階次i處的增量，可以通過(guò)下式計(jì)算得到:

由此得到的遞歸矩陣的奇異熵對(duì)結(jié)構(gòu)變化非常敏感:未損傷結(jié)構(gòu)的奇異熵穩(wěn)定于某一固定值;損傷結(jié)構(gòu)的奇異熵則隨著結(jié)構(gòu)的變化而發(fā)生變化，損傷越大熵值越大。因此遞歸矩陣的奇異熵也就是本文用來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷的新的損傷靈敏指標(biāo)。

3 算例

以下圖2所示的簡(jiǎn)支梁的模擬加速度響應(yīng)為例進(jìn)行分析。梁長(zhǎng)為20 m，采用鋼材，其線密度和彈性模量分別為2.0 g/cm3和2.06 e11 GPa，截面尺寸0.4 m ×0.6 m。

圖2 數(shù)值試驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.2 Model of numerical experiment

異常狀態(tài)模擬:

(1)一處損傷。利用12號(hào)單元抗彎剛度削弱來(lái)模擬結(jié)構(gòu)損傷。考慮3種損傷工況，工況一:抗彎剛度折減5%;工況二:抗彎剛度折減10%;工況三:抗彎剛度折減15%。

(2)二處損傷:利用12號(hào)單元和4號(hào)單元抗彎剛度削弱來(lái)模擬結(jié)構(gòu)多處損傷。考慮3種損傷工況，工況四:抗彎剛度折減5%;工況五:抗彎剛度折減10%;工況六:抗彎剛度折減15%。

通過(guò)有限元分析，不同狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的頻率變化不明顯(見(jiàn)表1和圖5)，可以看出，即使在損傷狀態(tài)最嚴(yán)重的工況，基頻僅變化了1%，說(shuō)明頻率對(duì)結(jié)構(gòu)異常狀態(tài)不敏感。為獲得動(dòng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)，采用高斯白噪聲激勵(lì)，計(jì)算部分節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)作為實(shí)測(cè)的響應(yīng)信號(hào)，響應(yīng)信號(hào)的采樣頻率為50 Hz，每組數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為30 s，為模擬實(shí)測(cè)信號(hào)，對(duì)計(jì)算的響應(yīng)信號(hào)施加2%的噪聲，典型的激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)分別如圖3和圖4所示。

表1 不同損傷工況的頻率Tab.1 Frequency under different states

圖5 不同狀態(tài)下的遞歸熵Fig.5 Recurrence singular entropy under different states

分析響應(yīng)信號(hào)時(shí)，對(duì)每個(gè)工況的數(shù)據(jù)分別計(jì)算出遞歸矩陣的奇異熵。圖5(a)中給出了各個(gè)工況下由響應(yīng)計(jì)算得到的遞歸矩陣奇異熵的柱狀圖，前三個(gè)工況和后三個(gè)工況分別給出了一處損傷和兩處損傷下遞歸矩陣奇異熵的變化情況。從圖中可以看出:隨著損傷程度的提高，遞歸熵的值相應(yīng)增大，且靈敏度較好，數(shù)值變化也比較明顯。比較表1中相同損傷程度下一處損傷和兩處損傷的基頻，發(fā)現(xiàn)其在微小損傷下頻率對(duì)損傷特別是局部損傷并不敏感;圖5(b)也比較了相同損傷程度下一處損傷和兩處損傷工況下遞歸矩陣奇異熵的變化情況，結(jié)果表明相對(duì)于基頻，遞歸矩陣奇異熵敏感程度明顯較大，局部損傷對(duì)指標(biāo)的影響非常明顯。在損傷狀態(tài)最嚴(yán)重的時(shí)候，遞歸熵變化了32%。這說(shuō)明選取的遞歸矩陣奇異熵指標(biāo)能有效的識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷。

4 結(jié)論

遞歸圖用圖像來(lái)刻畫(huà)信號(hào)的振動(dòng)特性，可以體現(xiàn)信號(hào)在所有時(shí)間尺度上的自相關(guān)性，直觀的體現(xiàn)出信號(hào)變化的情況。遞歸圖對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)中的突變信號(hào)較為敏感，可用于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中在線監(jiān)測(cè)和識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷。本文應(yīng)用遞歸圖進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別，構(gòu)造了一個(gè)基于遞歸圖遞歸矩陣的新的損傷指標(biāo)——遞歸矩陣奇異熵，數(shù)值算例表明結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后，遞歸矩陣奇異熵對(duì)結(jié)構(gòu)微小局部損傷造成的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)的微弱變化較為敏感，該方法可以有效地識(shí)別模擬簡(jiǎn)支梁的各種不同損傷水平。

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