基于聲輻射模態有源解耦控制的溢出機理研究

田曉光，姜 哲

(江蘇大學 振動噪聲研究所，江蘇 鎮江 212013)

由結構振動引起的聲輻射問題一直是聲學領域重要的研究課題。Fuller等［1］提出有源結構聲學控制(Active structure acoustic control，ASAC)后，國內外許多學者圍繞這個問題進行了廣泛的研究。其中利用結構模態展開研究已經取得了豐碩的成果，但是因為各階結構模態聲輻射的相互耦合，使得在有些頻率下即使削減了某幾階主要的結構模態的幅值，也不能保證結構輻射聲功率的降低［2］。黎勝、趙德友［3］討論了結構振動模態耦合對聲功率的影響并解決了聲輻射模態公式中特征頻率解得不唯一問題。上世紀90年代初，有學者提出了用聲輻射模態來研究結構輻射的聲功率［4-6］，各階模態聲輻射之間沒有相互耦合，很適合研究結構振動引起的聲輻射問題。李雙、陳克安［7］研究了結構模態與聲輻射模態之間的對應關系。毛崎波等［8］利用聲輻射模態提出了針對控制前k階聲輻射模態降低聲功率的控制策略。李雙等［9］在聲輻射模態基礎上研究了作動器的位置對控制效果的影響。靳國永等［10］通過聲輻射模態建立了彈性封閉空間聲輻射有源控制模型。黎勝、趙德友［11］討論了以剛性表面和柔性表面為界的半空間內的輻射問題。吳經彪等［12］提出了基于聲輻射模態有源控制解耦，在簡支矩形板上利用作動器的布放位置使得控制過程解耦。

本文在聲輻射模態主動控制的基礎上進行研究，對比解耦和不解耦兩種控制方式，發現解耦控制所需控制能量小，控制簡單，穩定。兩者在頻率較低時都能取得良好的控制效果，在頻率較高時都會出現控制溢出。通過分析各階聲輻射模態輻射效率，作動器布置位置對稱形式與聲輻射模態對稱形式的對應關系，揭示了解耦控制溢出的機理。

1 基于聲輻射模態的有源控制解耦

由聲輻射理論可知，聲輻射模態是輻射體表面的一種可能的輻射形式，是給定輻射物體所固有的性質，由輻射體的幾何形狀和激勵頻率決定，與輻射體本身的材料特性無關［6］。各階聲輻射模態相互正交，每階聲輻射模態對應一個獨立的輻射聲功率，輻射的總聲功率可以表示為:

其中:qi表示第i階的聲輻射模態;U為結構表面振速;yi是第i階聲輻射模態的伴隨系數，是結構表面振速在對應聲輻射模態上的投影;Wi表示第i階模態對應的聲功率;λi與實對稱正定矩陣的特征值成正比。各階聲輻射模態的輻射效率為［8］:

其中:ρ為介質密度，c為介質中的聲速，Δs為劃分的單元面積。

聲輻射模態在各階時，對應的輻射效率隨著階數的增加而迅速降低［8］。前幾階聲輻射模態輻射的聲功率在總的聲功率中占據絕對大的分量。引入控制力改變結構的表面振速分布，在低頻時，如果能夠使得前k階輻射模態伴隨系數同時為零，控制后結構總的聲功率必然會大幅降低［8］。即:

假設在原始激勵力作用下板的法向振速寫成Up，在控制力下的板的法向振速寫成Uc，根據疊加原理表面法向振速U可以寫成［8］:

用壓電陶瓷片為作動器提供控制力，施加控制電壓E(t)，板的振動響應寫成:

v(x，y)是作動器施加電壓與板的表面振速之間的傳遞函數［13］。式中i為虛數單位是板的質量密度;d31為壓電應變常數;M、N為考慮的般的結構振動模態數;C0為應變–彎矩耦合常數;Lx和Ly為板的長和寬;he為壓電片厚度;x1，x2，y1和y2分別對應壓電片位置的橫、縱坐標的最大值和最小值，同時反映壓電片的大小。αm=mπ/Lx;βn=nπ/Ly;φmn(x，y)=sin(αmx)sin(βny)為板的結構振動模態;Hm，n(ω)=(ω2m，n-ω2+i2ξm，nωωm，n)-1，稱為頻響函數;ξm，n為模態阻尼比系數。

在控制力作用下板的法向振速為:

其中k表示控制力個數，Vi為第i個作動器在施加控制電壓Ei的傳遞函數向量，由式(7)確定。

將式(5)，式(8)代入式(4):得到k個方程組成的方程組，可以解得k個控制電壓。輸入控制電壓，就能控制前k階模態輻射的聲功率。

取k=4，圖1表示任意布置4個(組)壓電陶瓷片作動器 PZTI、PZTII、PZTIII、PZTIV 位置。坐標下標第一位為作動器標號，第二位為壓電片的橫、縱坐標的最大值和最小值。由方程(9)解得4個輸入控制電壓，可以控制4階聲輻射模態輻射的聲功率。由于方程(9)是耦合的，需聯合求解方程(9)得到各個控制電壓Ei。因此，作動器在控制過程中相互影響，相互制約，使得作動器有多余的動作，導致輸入能量大，控制系統不穩定。并且控制效果隨著作動器位置的變化而變化，無法確定最優布放位置。這就是非解耦控制方案。

圖2表示解耦控制4組(9個)作動器PZT1、PZT2、PZT3、PZT4布置位置［12］。第1組作動器 PZT1是將1個壓電陶瓷片粘貼在矩形板的中心，陶瓷片的兩中心線與板的兩中心線重合;第2組作動器PZT2是將2個規格相同的壓電陶瓷片關于x=0.5Lx對稱粘貼，兩陶瓷片中心線與y=0.5Ly重合，分別以幅值相等，相位相反的電壓驅動;第3組作動器PZT3是將2個規格相同的壓電陶瓷片關于y=0.5Ly對稱粘貼，兩陶瓷片的中心線與x=0.5Lx重合，分別以幅值相等，相位相反的電壓驅動;第4組作動器PZT4是將4個規格相同的壓電陶瓷片關于x=0.5Lx、y=0.5Ly對稱粘貼，其驅動電壓幅值相等，相對相位如圖所示。在實際應用中，可將壓電陶瓷片的電極對應相反連接，從而提供幅值相等相位相反的控制電壓。由于四組作動器是基于前4階聲輻射模態的對稱性布置，從而這4組作動器能分別獨立激勵前4階聲輻射模態的輻射模態，有［12］:

將式(10)代入式(9)，取k=4，方程組變成4個獨立的方程，解方程可以得到4個獨立的控制電壓:

輸入4個相互獨立控制電壓控制4組作動器，抵消前4階模態輻射的聲功率，此即解耦控制策略。

對于非解耦控制，如果一組作動器不能正常工作，由于作動器之間的耦合，會導致其余三組作動器都不能正常工作，不僅沒有控制效果，反而會導致輻射聲功率增大。解耦控制時4組作動器互相獨立工作，即使某一組作動器不能工作，也不會對其他三組作動器產生影響，仍然會對其他三階模態的聲輻射有控制效果。從而使系統的穩定性、可靠性大大增加。并且能夠方便的查到出現故障的作動器，使得故障診斷更加容易。

解耦輸入控制能量表示為:

非解耦控制輸入能量表示為:

其中Ei是在不同方案下的控制電壓。

2 解耦控制與非控制解耦比較

設簡支板參數為:長Lx=0.36 m，寬Ly=0.3 m，厚度h=0.002 m，彈性模量Eb=2 ×1011N/m2，ρ=7.8 ×103kg/m3，泊松比vb=0.3，各階模態阻尼系數均為0.01;設壓電陶瓷各項參數為:長La=0.05 m，寬Lb=0.05 m，厚度he=0.4 mm，彈性模量Ee=6.3 ×1010N/m2，泊松比ve=0.3，壓電應變常數d31=1.66 ×10-10m/V，原始激勵力用壓電陶瓷片提供，激勵電壓為10 V，取板左下角為坐標原點，壓電片中心點坐標為(0.054，0.045)。

解耦控制方案:作動器布置在圖2所示位置。非解耦控制方案一:4個作動器中心位置分別為(0.185，0.158)、(0.28，016)、(0.157，0.26)、(0.06，0.06);非解耦控制方案二:4組作動器中心位置分別為(0.10，0.12)、(0.23，0.17)、(0.18，0.22)、(0.05，0.03)。兩種方案作動器的位置是隨機選取。

圖3是0～1 000 Hz控制范圍內的三種控制方案的控制結果。通過對比可以發現，在600 Hz以內，三種方案都可以取得良好的控制效果，600 Hz以上，三種控制方案出現了不同程度的溢出。并且非解耦控制時，作動器位置對控制效果會產生明顯的影響。

圖4表示三種方案在低頻時輸入控制能量比較。解耦控制方案要明顯好于非解耦的控制方案，輸入控制能量小，并且控制能量在各個頻率段相差不大，更加穩定。

3 解耦控制溢出機理分析

由式(1)、式(3)可知，聲功率可以表示為聲輻射模態伴隨系數與其對應的輻射效率的線性組合。圖5是前8階聲輻射模態的輻射效率圖，在頻率較低時(低于600 Hz)，對應的輻射效率隨著聲輻射模態階數的增加而迅速降低［8］。在低頻時，高階模態的輻射效率遠遠低于低階模態，因此高階模態輻射聲功率占總輻射聲功率的比重很小，對控制效果的影響可以忽略不計。在頻率較高時，高階模態輻射效率很大，高階模態聲輻射占總聲輻射的比重很大，高階模態對控制效果的影響也會隨之變得很大。

圖3 三種方案控制結果比較Fig.3 The control results of three programs

圖4 三種方案控制能量比較Fig.4 The control energy of three programs

圖5 板的前八階聲輻射模態輻射效率系數Fig.5 The radiation efficiencies of the first eight radiation modes

圖6表示了前4階聲輻射模態具有4種互相獨立的對稱形式［12］，圖2所示4組作動器就是基于這種對稱形式進行布置的，把前4階模態對應的對稱形式分別稱為第一、二、三、四種對稱形式。通過分析聲輻射模態，發現很多高階模態也擁有這4種對稱形式。圖7表示了五到八階模態的形狀。可以看出，第5階、6階聲輻射模態具有第一種對稱形式，第7階聲輻射模態具有第三種對稱形式，第8階聲輻射模態具有第二種對稱形式。

圖6 板的前四階模態形狀Fig.6 The mode shapes of the first four radiation modes on the panel

圖8表示了第一組作動器激勵的5～8階聲輻射模態的伴隨系數，其中第5、第6階模態伴隨系數很大，第7階、8階模態伴隨系數很小。圖9和圖10表示了第二組、第三組作動器的情況。可以發現，第一組作動器不僅激勵第一階聲輻射模態［12］，而且激勵第5階、第6階聲輻射模態。第二組作動器不僅激勵第2階聲輻射模態［12］，而且激勵第8階聲輻射模態。同樣，第三組作動器可以激勵出第3階、第7階聲輻射模態。每組作動器對有相應對稱形式的模態都有較大的激勵。

圖11～圖14表示了解耦控制后，5～8階模態輻射聲功率的變化情況。可以發現，5～8階模態輻射效率在控制后，在某些頻率段出現積極的控制效果，某些頻率段則出現消極的控制效果。

頻率較低時，由于高階模態的對控制效果影響可以忽略，此時即便產生消極的控制效果，其輻射的聲功率還是很小，不會產生控制溢出。而頻率較高時，高階聲模態輻射聲功率很大，對控制效果的影響很大，此時產生消極的控制效果，就會出現控制溢出現象。

圖8 PZT1激勵的5～8階聲輻射模態伴隨系數Fig.8 The adjoint coefficients of the radiation modes from five to eight excited by PZT1

圖9 PZT2激勵的5～8階聲輻射模態伴隨系數Fig.9 The adjoint coefficients of the radiation modes from five to eight excited by PZT2

圖10 PZT3激勵的5～8階聲輻射模態伴隨系數Fig.10 The adjoint coefficients of the radiation modes from five to eight excited by PZT3

可見，當高階聲輻射模態對稱形式與作動器布置的對稱形式一致時，控制策略僅針對前4階聲輻射模態進行控制，由于作動器對有相同對稱形式的高階模態的激勵，以及高階模態聲輻射占總聲輻射的比重的增加，造成了高頻段出現控制溢出。因此在較高頻率時，為避免控制溢出，在制定控制策略時應兼顧考慮高階聲輻射模態的影響。

圖11 解耦控制前后第5階聲輻射模態輻射聲功率Fig.11 The sound powers of the fifth radiation mode before and after decoupling controlled

圖12 解耦控制前后第6階聲輻射模態輻射聲功率Fig.12 The sound powers of the sixth radiation mode before and after decoupling controlled

圖13 解耦控制前后第7階聲輻射模態輻射聲功率Fig.13 The sound powers of the seventh radiation mode before and after decoupling controlled

圖14 解耦控制前后第8階聲輻射模態輻射聲功率Fig.14 The sound powers of the eighth radiation mode before and after decoupling controlled

4 結論

本文通過比較基于聲輻射模態的解耦和非解耦兩種控制方法，得到解耦控制的優點:各組作動器可以獨立激勵出對應階的聲輻射模態輻射的聲功率，作動器位置確定，輸入的控制能量小，控制系統更加穩定可靠，故障診斷更加容易。

600 Hz以內，解耦控制和非解耦控制兩種方法都能取得良好的控制效果，沒有明顯的控制溢出。600 Hz以上，兩種控制方案都會出現不同程度的控制溢出。重點分析了解耦控制下的溢出機理。

在比較高的頻率，為了避免控制溢出，有必要對解耦控制進一步發展新的控制策略，控制前4階模態時，兼顧考慮5～8階的影響。

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