移動質(zhì)量作用下軸向運動懸臂梁振動特性分析

劉 寧，楊國來

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

火炮射擊時，彈丸在膛內(nèi)高壓燃氣的推動下沿身管向炮口高速運動，身管在后坐力的作用下沿搖架后坐，同時伴隨著劇烈的振動，火炮在這種強沖擊載荷作用下的振動控制一直是火炮工程界所關心的問題。現(xiàn)代火炮普遍采用具有反后坐裝置的彈性炮架，包括搖架在內(nèi)的架體部分在射擊時保持靜止不動，而身管沿著搖架導軌作軸向后坐和復進運動，因此可以把搖架考慮為固定基座，身管的后坐運動可簡化為軸向運動懸臂梁，而彈丸的運動影響可處理為移動質(zhì)量作用于身管，這樣火炮射擊過程可簡化為移動質(zhì)量作用下的軸向運動懸臂梁系統(tǒng)，研究該時變系統(tǒng)的動態(tài)特性可以對火炮系統(tǒng)的優(yōu)化設計、振動控制和提高射擊精度提供指導，具有重要的理論價值和現(xiàn)實意義。目前，移動載荷作用下梁的振動和軸向運動梁的振動控制兩類問題已成為國際上的研究熱點。Michaltsos［1］研究了載荷不同運動速度下橋梁的動力響應;李煒明等［2］對移動質(zhì)量在連續(xù)速度變化下的簡支梁動力響應進行了研究;王穎澤等［3］研究了多移動質(zhì)量作用下身管的振動;劉寧等［4］研究了彈管間隙和彈丸速度對身管振動的影響;陳力群、楊曉東等［5-6］對軸向運動梁和弦線的振動進行了分析;李山虎等［7］推導了低速伸展懸臂梁振動方程的近似理論解;Zhu等［8］對軸向運動懸臂梁的橫向振動控制進行了研究。

本文建立了移動載荷作用下軸向運動懸臂梁的振動方程，采用修正的Galerkin法離散求解該偏微分方程，得到以模態(tài)坐標表示的二階時變微分方程組，通過求解該方程組，研究了梁的動態(tài)響應特性。

1 軸向運動梁橫向振動方程

將火炮射擊時身管的運動簡化為具有軸向運動的懸臂梁，將彈丸簡化為作用在該梁上的移動質(zhì)量載荷。采用Euler-Bernoulli梁模型建立軸向運動梁的橫向振動方程。設懸臂梁長l(t)，梁的橫截面積和材料密度為A(x)和ρ，抗彎剛度為EI，梁的橫向位移為y(x，t)，軸向運動速度為u，移動質(zhì)量為m，運動速度為v，質(zhì)量塊距離固定端的位移為γ，如圖1所示。

圖1 移動質(zhì)量-軸向運動梁振動力學模型Fig.1 Vibration model of moving mass and axially moving beam

從距離懸臂梁固定端x處取一微段dx進行受力分析，所受的力包括內(nèi)力、慣性力以及外力，如圖2所示。

圖2 梁微元體受力分析Fig.2 The analysis of force of beam element

根據(jù)達朗貝爾原理，微段應處于動平衡狀態(tài)，列出微段在豎直方向力的平衡方程，得:

化簡得:

對微段右斷面梁的下表面取矩，得:

化簡得:

其中，

均布外力q可由移動質(zhì)量在豎直方向的受力分析得出:

其中，

2 振動方程的求解

在移動質(zhì)量作用下的軸向運動梁振動模型是一個復雜的時變系統(tǒng)，對于該復雜模型直接進行解析求解或采用積分的方法進行數(shù)值求解都是極其困難的。一般靜止梁的偏微分方程可以利用Galerkin法計算動力響應，得到以模態(tài)坐標表示的解耦方程，計算每個模態(tài)響應，而后疊加得到總響應。但是對于時變系統(tǒng)，梁的固有頻率和振型就失去意義。本文采用修正的Galerkin法近似求解該時變模型，取懸臂梁的瞬時模態(tài)作為試函數(shù)，方程(5)的解可表示為如下形式:

其中，λi為超越方程1+ch(λ)·cos(λ)=0的根。將式(7)寫成向量的形式:

將式(8)帶入方程(5)，兩邊同乘φ(ξ)，并對梁全長l(t)積分。為方便求積，將對x積分轉(zhuǎn)化為對ξ積分，最后按η整理得:

式中，M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣，P為載荷向量，各系數(shù)矩陣表達式為:

由方程(9)可知，與固定懸臂梁相比，軸向運動梁的伸縮運動和移動質(zhì)量載荷的作用將使得梁的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣都隨時間不斷變化，因此方程表示的是二階時變系統(tǒng)，梁長度的變化和移動質(zhì)量的運動是產(chǎn)生系統(tǒng)時變特性的主要因素。通過求解出方程(9)的η值后，將其帶回式(8)便可得到y(tǒng)(x，t)的時空分布規(guī)律。

直接積分求解方程(9)的數(shù)值方法主要有:Runge-Kutta法，有限差分法、Newmark-β法，Wilson-θ 法、增量法等，其中Newmark-β法實質(zhì)是線性加速度法的推廣，求解精度較高，應用廣泛，本文采用該方法計算軸向運動梁的動力響應。

3 數(shù)值仿真

固定懸臂梁在移動質(zhì)量載荷作用下的動態(tài)響應實驗已經(jīng)完成，而軸向運動梁的動態(tài)響應實驗尚在準備之中，為了驗證振動方程求解方法及程序的可靠性，用兩種算例進行檢驗，即不考慮移動載荷作用下的軸向運動梁動態(tài)響應和不考慮軸向運動的固定梁在移動載荷作用下的動態(tài)響應。

首先選擇文獻［7］的算例進行驗證，考慮一軸向水平伸展懸臂梁，梁的初始長度為0.4 m，以0.1 m/s的速度勻速伸出，展開后梁的總長度為2.4 m，梁的厚度為0.001 m，寬度為0.1 m，質(zhì)量密度為2 700 kg/m3，彈性模量為 7.1 ×1010，初始條件為η(0)=［0.01，0，…，0］T，計算懸臂梁的動力響應。圖3為梁自由振動時端部位移響應，可以看出本文得到的結果與文獻［7］是相同的。在懸臂梁伸展過程中，隨著梁長度的增加，振幅逐漸增大，而瞬時振動頻率逐漸下降。

圖3 無外載荷時端部橫向位移響應Fig.3 Transverse displacement of the beam’s top without external load

其次，作者進行了移動載荷作用下固定梁的動態(tài)響應實驗，用以對上述模型和程序進行驗證，實驗參數(shù)為:梁長L0=1.5 m，截面積A=0.004 55 m2，截面慣性矩I=1.65 ×10-6m4，彈性模量E=210 GPa，ρ=7 800 kg/m3，滑塊質(zhì)量m=17.96 kg，用高壓氮氣沖擊沖桿，沖桿撞擊滑塊并賦予滑塊初速vg=5 m/s，不計滑塊與梁之間的摩擦力，滑塊在梁上勻速運動。計算結果與實驗曲線的對比如圖4所示，由圖可見，計算結果與實驗值吻合較好，說明本文給出的方法和計算程序是正確的。在移動載荷作用下梁的振動主要是一階模態(tài)受到激發(fā)，位移響應單調(diào)變化。移動質(zhì)量的大小決定了梁受到的激勵載荷的大小，移動質(zhì)量越大，梁的振動位移越大。

圖4 固定懸臂梁端部位移響應Fig.4 Transverse displacement of the fixed beam’s top

在上述實驗的基礎上研究移動載荷作用下軸向伸縮運動梁的動態(tài)特性。先假設梁作軸向勻速收縮運動，速度為u=-1 m/s，運動終了時梁長l=1 m，由式(8)可得梁端部的位移響應如圖5所示，通過位移響應對時間求導可得梁端部速度響應如圖6所示。由圖可知，梁的運動過程可分為兩個階段，在移動質(zhì)量作用時期，由于梁的收縮運動，端部位移響應比固定梁要小。移動質(zhì)量在0.25 s以后脫離懸臂梁，梁處于軸向運動的自由振動時期，端部位移振幅逐漸衰減，而速度振動幅值卻逐漸增大。為了觀察梁的運動穩(wěn)定性，通過對梁長進行積分，計算了梁的橫向振動總機械能，如圖7所示，由圖可見，移動質(zhì)量的作用使得梁的振動機械能迅速增大，梁的運動變得不穩(wěn)定，而在自由振動時期雖然梁的端部位移振幅逐漸減小，但其總機械能卻不斷增大，因此在收縮運動時梁的自由振動處于不穩(wěn)定狀態(tài)，這也驗證了文獻［7］近似理論分析結果的正確性。

進一步研究梁作伸展運動時的響應特性，設梁伸展速度為u=1 m/s，其端部位移響應和速度響應曲線分別如圖8和圖9所示。由圖可見，由于梁的伸展運動，其振幅在整個運動過程中都比收縮運動時要大很多，移動質(zhì)量脫離懸臂梁后，梁的端部位移響應逐漸增大，而振動速度幅值卻逐漸減小，運動規(guī)律與梁收縮運動時恰好相反。由圖10所示的梁伸展運動時總機械能可見，移動質(zhì)量的作用仍然使得梁的運動變得不穩(wěn)定，但在梁伸展運動的自由振動時期，其總機械能逐漸減小，因此梁的自由振動處于穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結論

移動質(zhì)量載荷作用下的軸向運動梁是一類時變結構的非線性系統(tǒng)，移動質(zhì)量載荷和梁的軸向運動是引起系統(tǒng)時變特性的因素，采用修正的Galerkin法能夠?qū)崿F(xiàn)對振動方程的離散求解。移動質(zhì)量載荷使得梁的一階模態(tài)受到激勵，梁的位移響應曲線單調(diào)變化，移動質(zhì)量越大、運動速度越小，梁的振動位移越大，在移動質(zhì)量作用下梁的伸縮運動都處于不穩(wěn)定狀態(tài)。梁在軸向收縮和伸展時的自由振動規(guī)律相反:在收縮運動時梁的瞬時振動頻率不斷減小，振動位移逐漸衰減，而振動速度逐漸增大，梁的運動處于不穩(wěn)定狀態(tài);在伸展運動時梁的瞬時振動頻率不斷增大，振動位移逐漸增大，而振動速度逐漸減小，梁的運動處于穩(wěn)定狀態(tài)。本文得到了移動質(zhì)量載荷作用下軸向運動懸臂梁的基本振動規(guī)律，為研究火炮射擊過程中的振動特性提供了另一條理論途徑。在實際工程中為了減小火炮射擊過程的振動響應，提高火炮射擊精度，需要進一步研究和明確彈炮系統(tǒng)結構參數(shù)匹配、火炮后坐復進運動規(guī)律和后坐阻力等對火炮振動的影響規(guī)律。

［1］ Michaltsos G T.Dynamic behavior of a single-span beam subjected to loads moving with variable speeds［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，258(2):359-372.

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