幾點線性代數教學改革的思考

李靖建 韓 霞

（廣西大學數學與信息科學學院 廣西 南寧 530004）

《線性代數》是高等學校理工科和經管類學科的最基礎的學科。它不但在微分方程、概率論、統計學、物理學中有著廣泛的應用，也是經濟學、農學、機電學以及工程管理學等專業的基礎學科之一。隨著電子技術的飛速發展，許多實際問題都可以轉換成可以計算出來的線性化問題，而解決這一類問題的最有力的工具就是《線性代數》。另一方面，《線性代數》還是訓練、提高學生抽象思維能力與邏輯推理能力的重要學科。于是，在高等院校，對于《線性代數》的學習和教學就特別引人注目。傳統的觀點認為《線性代數》的內容主要是一個中心∶求解線性方程組；三個工具：行列式、矩陣和線性空間。于是老師的教和學生的學都圍繞著這個分類來進行。表面上是有利于教學，可是這樣的分類無形當中割裂了《線性代數》特有的連貫性，阻礙了對《線性代數》本質內容的理解。最終的結果就是學習的過程中會產生種種疑問，為什么就是這樣的？老師也只是機械的給學生們灌輸抽象的概念和古怪的定理。這樣，教學變得機械、呆板，學習變成了枯燥無味的接受和訓練，甚至是背書，就更談不上靈活運用所學的知識。我們應該轉變一下我們的思路，從《線性代數》的本質出發，把教學的核心從線性方程組轉變為矩陣。這主要是因為如下的幾點理由。

1 教學的內容更系統、完整

《線性代數》的內容可以用矩陣來系統起來?？梢允紫葘W習矩陣的定義和性質。從定義上來看，矩陣只是一個數表，沒有其他的任何附加的條件，所以學生們容易理解和接受。特別是，以這樣開始的線性代數可以勾起學生們的好奇心“一個數表會有什么玄機和應用呢”？另一方面，數表是學生們特別是工科的學生們經常見到的，這樣就會引起學生們極大的學習興趣。對矩陣基本知識的學習，可以使同學們對矩陣有了一個初步的認識，那一個自然的問題就會出現的同學們的面前：矩陣有什么用處呢？下面接著介紹行列式的知識。講行列式時一定要強調行列式是防震的行列式，也就是對一個行數和列數相等的數表按照一定的規則可以定義一個實值單值函數。也就是按照既定的對應法則，每一個這樣的方陣都唯一對應一個實數，這樣的一個函數在一定的意義下也可以稱之為運算。那當然，我們首先要學習這個函數的對應法則也就是行列式的定義和計算。學習完這些問題后，一個自然的問題就是它的應用。行列式的應用很多，其中最常見的應用就是可以用來求解一些線性方程組——克萊默法則。講解克萊默法則的時候，需要重點強調其適應的條件，要讓學生們深刻的理解它的優、缺點。在學習應用行列式來解方程組的時候，同學們肯定會和原來解線性方程組的方法（消元法）做一個對比，看哪個更簡單一些。講解這一部分時，可以對這個問題做一個簡單的說明，克萊默法則就是在我們原來消元法的基礎上給出來的，它的思路簡單可是計算起來并不見得輕松多少，而且能解決的問題只是一部分。那有沒有更好的方法去解決這個問題呢？答案是肯定的。注意到，行列式只是矩陣的一個性質，我們可以用矩陣的其他方面的性質徹底的解決這樣一個問題。這樣自然的來介紹矩陣的初等變換。作為這一部分的應用舉例，講解用矩陣的初等變換來解線性方程組的解的問題。

通過對上面知識的學習，同學們應該對矩陣有了一個較為深刻的理解和認識。下面呢，可以對矩陣作進一步的剖析。把矩陣分解開來，把它的每一行或列拿出來研究，它們稱為矩陣的行或列向量。這就是說，一個矩陣可以看成是由向量構成的，要想更深入的學習矩陣，就得先學習向量的知識。于是介紹向量的基本概念和性質。注意，講這部分知識時一定要結合矩陣來講，也就是要從矩陣的角度去講解向量，這樣做有下面的一些好處：1）可以讓學生們更好的理解向量和矩陣的關系。以往都是單純的講解向量，同學們不好理解，特別是不知道為什么是這樣的，為什么要學習這些看似沒有用的、怪怪的定義和定理！都后來矩陣又出來了，同學們不好理解這些之間到底是一個什么關系？如果可以從矩陣的角度去講的話，學生們就會明白，向量矩陣的一部分，矩陣是由向量構成的，它們之間有著非常緊密的聯系！2）可以讓學生對向量的理解找到歸宿和出處。以往都是單純的講解向量，給出定義之后，緊接著就給出線性組合、相關性以及向量秩這些古怪、抽象的概念。結果是學生們聽得一頭霧水，自信心備受打擊，學習的熱情消失殆盡。老師們講起來也只剩下照本宣科的介紹概念，非?？菰?，最后只有用“抽象”二字來搪塞了。如果從矩陣的角度來講得話，學生們知道，學習矩陣就是學習剖解開來的矩陣，是從細小的地方來學習矩陣。而且這個時候會非常自然的給出矩陣的秩的概念。學習了向量的概念，向量空間的定義就隨之出來了。接下來可以介紹線性空間的基本知識。作為矩陣之間的基本關系，可以給出矩陣相似的概念。然后作為矩陣的一個重要的應用，講解二次型的知識。

這樣，通過矩陣，可以把《線性代數》的內容完全系統起來，而且好比較好理解和教學。通過作者多年的教學實踐來看，這樣的教學效果非常好，得到了廣大學生和同事們的認可。

2 有利于更好的理解矩陣的本質

從矩陣的定義看，矩陣就是一個數表，而許多的實際問題，都可以抽象成一個數表。這樣，矩陣的運算和變換就反映了原來問題的變化。例如用矩陣解線性方程組的解的問題，對系數矩陣或者增廣矩陣施行行初等變換實際上就反映了方程組中相應方程之間的變化。特別是在線性空間中，線性變換可以用矩陣表示，即矩陣實際上就表示了線性空間里的向量的運動。這樣，線性空間就不止是向量的集合，實際上變成了動態的了，也就是說，線性空間是運動著的向量的集合。這就是所謂的“空間為體，矩陣為用”的道理。

3 矩陣是線性代數實際應用的橋梁

前面我提到，許多實際問題都可以轉化為可計算線性化問題來解決，而這當中，矩陣在許多場合充當著橋梁的作用。例如(參考文獻[1])：某廠向三個商店發送四種產品的數量可列成矩陣其中aij為工廠向第i店發送第j種產品的數量。下面我們從線性代數的實際應用和在其他學科中的應用為例來說明這個問題。

3.1 實際應用

在組合圖論的研究中，對于一個圖，它的好多性質可以通過計算得到。在這個過程中，我們一般根據圖頂點的鄰接關系定義一個鄰接矩陣，這樣，圖和鄰接矩陣一一對應，即任何一個圖都對應一個鄰接矩陣，反之，任何一個矩陣都可以定義一個圖。有了鄰接矩陣，我們就可以據此研究一些圖的性質，例如圖的同構，以及對稱性等（更多的知識讀者可以參考文獻[2]）。對于一些有限點數的圖，我們可以利用一些計算機軟件來計算許多圖的性質，例如圖的自同構群，點穩定子等等。常用的這方面的計算機軟件有 Matlap,GAP,Maxmal, Nauty等等。

3.2 線性代數在其他學科中的應用

我們都知道《線性代數》與《微積分》的關系密切，它們之間好多地方可以相互滲透包括方法和內容（參考文獻[3]）。而在在數學或者工程技術中，經常要研究一階常系數微分方程組的問題。下面我們引用文獻[4]中的一個例子來說明我們的問題。

例 求解微分方程組初值問題

則微分方程組可以寫成如下矩陣的形式：

總結，《線性代數》歷來以抽象著稱，是理工科學生非常頭疼的科目。矩陣是《線性代數》的重要內容，如果教學過程中能從矩陣出發，以矩陣來系統整個教學內容，一方面，可以讓學生們跳出原來的抽象的模式，讓同學們有的放矢的去學習，而且邊學邊用，在學習知識的同時也鍛煉提高了發現問題、解決問題的能力，從而能夠激起學生們的學習熱情，達到教學改革的目的。另一方面，可以還原矩陣的本來面目，有助于更深入的理解矩陣以及它的應用。

［1］徐明曜.有限群導引：上、下[M].科學出版社，1999.

［2］同濟大學數學系.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

［3］米永生.線性代數與微積分學問題與解法的滲透[J].大學數學，2007(2)23.

［4］徐仲，等.矩陣論簡明教程[M].2版.科學出版社，2005.