帶有中途退出的M/M/1單重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)

徐 剛

(東北石油大學(xué)秦皇島分校，河北秦皇島，066004)

在過去的20年里，休假排隊(duì)模型得到了廣泛深入的研究，其研究成果已應(yīng)用到很多的領(lǐng)域，如計(jì)算機(jī)通信系統(tǒng)和生產(chǎn)制造系統(tǒng)等。詳見Doshi［1，2］的綜述，Tian和zhang［3］的專著。近幾年，工作休假排隊(duì)成為研究的熱點(diǎn)。Servi和Finn［4］研究了多重工作休假的M/M/1排隊(duì)，他們采用古典生滅過程方法得到了穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)中顧客數(shù)PGF和穩(wěn)態(tài)逗留時(shí)間的LST，并將結(jié)果應(yīng)用于光纖通信系統(tǒng)中網(wǎng)關(guān)路由器的性能分析。這是關(guān)于工作休假理論的第一篇文章。隨后，Kim等［5］，Wu和Takagi［6］研究了工作休假M(fèi)/G/1排隊(duì)。Lin和Ke［7］研究了具有單重工作休假的M/M/c排隊(duì)系統(tǒng)，利用擬生滅過程方法，求出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率和性能指標(biāo)。Eitan Altman和Uir Yechiali［8］研究了具有不耐煩顧客的休假排隊(duì)系統(tǒng)模型，利用母函數(shù)的方法，求出了忙期的平均隊(duì)長(zhǎng)和休假期的平均隊(duì)長(zhǎng)。孫妍平和岳德權(quán)［9］研究了帶有止步和中途退出的M/M/R/N部分服務(wù)員同步單重休假排隊(duì)系統(tǒng)，利用馬爾科夫過程理論建立了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率方程組，用分塊矩陣解法，得到了穩(wěn)態(tài)概率的矩陣解，并求出了系統(tǒng)的性能指標(biāo)。

筆者研究了帶有中途退出的M/M/1單重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)，利用母函數(shù)方法，求出了忙期和工作休假期的平均隊(duì)長(zhǎng)、平均等待隊(duì)長(zhǎng)和顧客平均中途離去率等性能指標(biāo)的解析表達(dá)式。通過數(shù)值算例考察了兩個(gè)服務(wù)率對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響。

1 模型描述

考慮帶有中途退出的M/M/1單重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)，系統(tǒng)中只有1個(gè)服務(wù)臺(tái)，每次只能接待1位顧客。

(1)顧客按照參數(shù)為λ的Poisson流到達(dá)。

(2)每位顧客所需的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，在正規(guī)忙期服務(wù)員的服務(wù)率為μb。并加入如下休假規(guī)則:一旦正規(guī)忙期結(jié)束，服務(wù)員立即進(jìn)入一個(gè)隨機(jī)長(zhǎng)度為V的工作休假中，休假時(shí)間V服從參數(shù)為θ的負(fù)指數(shù)分布。與通常的休假策略不同，服務(wù)員在假期內(nèi)并未完全停止工作，而是以較低的速率μv(≤μb)為顧客服務(wù)。當(dāng)一次休假結(jié)束時(shí)，如果系統(tǒng)中已有顧客在等待，服務(wù)員立即停止工作休假，服務(wù)率由μv提高到μb，一個(gè)正規(guī)忙期開始;否則，服務(wù)員進(jìn)入閑期，直到有顧客到達(dá)，正規(guī)忙期才開始。

(3)在假期中到達(dá)的顧客如果發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)正忙，則顧客可能會(huì)因?yàn)榈却貌荒蜔┒跊]有接受服務(wù)的情況下離開系統(tǒng)(中途退出)。若到達(dá)的顧客發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)空閑則立即接受服務(wù)。假設(shè)顧客在進(jìn)入系統(tǒng)后直到中途退出的這段等待時(shí)間T服從參數(shù)為ξ的負(fù)指數(shù)分布。

(4)假設(shè)所有過程相互獨(dú)立，服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù)(FCFS)。

2 平衡方程

令L(t)表示時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，即系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)，t≥0。令J(t)表示時(shí)刻t服務(wù)員的工作狀態(tài)，定義如下:

3 平均隊(duì)長(zhǎng)的求解

本節(jié)將利用平衡方程和母函數(shù)求解忙期平均隊(duì)長(zhǎng)E［L1］和假期平均隊(duì)長(zhǎng)E［L0］。

3.1 忙期的平均隊(duì)長(zhǎng)

將(1)和(2)對(duì)所有的n相加整理得

3.2 工作休假期的平均隊(duì)長(zhǎng)

由平衡方程n=0時(shí)兩式相加得λp10+λp00=μbp11+μvp01。

n=1時(shí)兩式相加，并應(yīng)用上式得 λp11+λp01=μbp12+μvp02+ξp02。

假設(shè) λp1，n－1+λp0，n－1= μbp1n+［μv+(n －1)ξ］p0n成立，并將平衡方程(2)，(4)兩式相加而且代入假設(shè)得 λp0n+ λp1n= μbp1n+1+(μv+nξ)p0n+1，即由數(shù)學(xué)歸納法，可知

到此，得到了 E［L0］和 E［L1］的表達(dá)式，但還需推導(dǎo) p10，p11，p00，p1·，p0·的具體表達(dá)式。下面通過(10)式，推導(dǎo)p00和p11的一個(gè)關(guān)系式。

在(15)中，設(shè)z→1則分母趨近于0，必有分子趨近于0，于是

注:(17)式的k1(1)和k2(1)為兩個(gè)定積分，是參數(shù)λ，ξ，θ和μv的函數(shù)，與參數(shù)μb無關(guān)，他們的值可通過積分的數(shù)值計(jì)算方法求出。

到此，得到了忙期和工作休假期平均隊(duì)長(zhǎng)的解析表達(dá)式。還可求出系統(tǒng)的其他一些性能指標(biāo)。

(a)系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng) E［L］=E［L0］+E［L1］

4 數(shù)值算例

首先利用Matlab軟件計(jì)算出兩個(gè)定積分k1(1)和k2(1)的值，然后利用本文第3部分中的有關(guān)公式給出系統(tǒng)性能指標(biāo)的數(shù)值結(jié)果，并考察忙期服務(wù)率和工作休假期的服務(wù)率對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

表1和表2分別給出了忙期服務(wù)率μb和工作休假期的服務(wù)率μv在不同的數(shù)值下系統(tǒng)性能指標(biāo)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。在表1 中，取參數(shù) λ =4，ξ=1，θ=2，μv=5。在表2 中，參數(shù) λ =4，ξ=1，θ=2，μb=7。

從表1和表2中的結(jié)果可以看出，系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)、平均等待隊(duì)長(zhǎng)、服務(wù)員忙的概率隨著μb或μv的增加而減少，服務(wù)員休假的概率隨著μb或μv的增加而增加。顧客平均的中途離去率隨著服務(wù)員忙期服務(wù)率μb的增加而增加，隨著服務(wù)員工作休假期的服務(wù)率μv的增加而減少。這表明忙期服務(wù)率μb和工作休假期的服務(wù)率μv對(duì)平均隊(duì)長(zhǎng)、平均等待隊(duì)長(zhǎng)、服務(wù)員忙的概率和服務(wù)員休假的概率具有相同的影響，而對(duì)顧客平均的中途離去率具有不同的影響。

表1 μb取不同值時(shí)排隊(duì)系統(tǒng)的各性能指標(biāo)

表2 μv取不同值時(shí)排隊(duì)系統(tǒng)的各性能指標(biāo)

6 結(jié) 論

本次研究提出了帶有中途退出顧客和單重工作休假的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)模型，利用母函數(shù)的方法，求出了忙期和工作休假期的平均隊(duì)長(zhǎng)等性能指標(biāo)的解析表達(dá)式，并給出了數(shù)值算例。數(shù)值結(jié)果表明，忙期和工作休假期的服務(wù)率對(duì)平均隊(duì)長(zhǎng)、平均等待隊(duì)長(zhǎng)、服務(wù)員忙的概率和服務(wù)員休假的概率具有相同的影響，而對(duì)顧客平均的中途離去率具有不同的影響。

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［8］ E Altman，U Yechiali.Analysis of customers’impatience in queues with server vacations［J］.Queueing System，2006，52(1):261-279.

［9］ 孫妍平，岳德權(quán).帶有止步和中途退出的M/M/R/N部分服務(wù)員同步單重休假排隊(duì)系統(tǒng)的性能分析［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，26(4):316-322.

(責(zé)任編輯:朱寶昌)