對(duì)幾種不常見剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的研究

周瑞雪

（貴州師范大學(xué)物電院，貴州 貴陽 550001）

引言

對(duì)于我們常見到的剛體，如均勻細(xì)棒、圓盤、圓環(huán)、圓柱等，教科書中已給出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的結(jié)論，我們也可以根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義計(jì)算出來，但對(duì)于另外一些剛體，如橢圓盤、球體、長方體、六面體等這些剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的推導(dǎo)和計(jì)算教科書并沒有給出，有些剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算上也有一定的難度，本篇文章將對(duì)這些剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在理論上進(jìn)行一些研究，計(jì)算出它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

1 球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

質(zhì)量為m，半徑為R 的均勻球體，計(jì)算通過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

方法：分割積分法［1］

如圖1把球分成很多的薄圓盤，薄圓盤的半徑為

圖1

質(zhì)量為

dm =ρdV =ρπr2dx

整個(gè)球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

球的質(zhì)量

得到結(jié)果

2 橢圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

質(zhì)量為m 的均質(zhì)薄橢圓盤，其長半軸為a，短半軸為b，計(jì)算其對(duì)x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

方法：質(zhì)量投影法［2］

（1）首先計(jì)算對(duì)x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

如圖2所示，將橢圓盤向y 軸投影得到長為2b的線段，質(zhì)量仍為m，但質(zhì)量非均勻分布，其質(zhì)量線密度為

圖2

那么，長為2b的線段對(duì)x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即系均質(zhì)橢圓盤對(duì)x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

計(jì)算為

（2）數(shù)學(xué)計(jì)算［7］

令

于是有

（3）結(jié)論

②同理得均質(zhì)橢圓盤對(duì)y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

③利用正交軸定理得出對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

3 均質(zhì)六面體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

如圖3所示，已知六面體的長為a、寬為b、高為c，其質(zhì)量m 均勻分布，分別計(jì)算六面體對(duì)過質(zhì)心 的x 軸、y 軸、z軸 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量.

圖3

方法：質(zhì)量投影法［3］

（1）首先計(jì)算對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

將六面體向Oxy 平面投影得到長為a 寬為b的與z 軸垂直的矩形平面s，其質(zhì)量仍為m 且均勻分布，這樣就把六面體對(duì)z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)化為均質(zhì)矩形平面s對(duì)z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；再將平面s向y 軸投影，得到長為a 的線段（細(xì)桿），其質(zhì)量仍為m 且均勻分布，線段a對(duì)x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

即為平面s對(duì)x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

（2）同理得平面s對(duì)y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

（3）因此平面s對(duì)z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

此即均質(zhì)六面體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

（4）同理得均質(zhì)六面體對(duì)x 軸、y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

（5）討論 當(dāng)a＝b＝c＝l時(shí)，

此即均質(zhì)六面體轉(zhuǎn)化為均質(zhì)正六面體.

4 均勻長方形薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

已知長方形薄板的長為a、寬為b、質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)軸為其對(duì)角線，計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

方法：定積分法［5］

如圖4所示，取對(duì)角線為x 軸，原點(diǎn)為O 和它垂直的直線為y 軸，令σ為薄板的面密度.

圖4

取一長方形窄條，長為l，寬為dy，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義得到繞對(duì)角線（x 軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

將l代入式（1）得

5 空心立方體柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

如圖5所示，已知空心立方體（即由四塊正方形薄板構(gòu)成），質(zhì)量為m，邊長為2R，轉(zhuǎn)軸通過重心并和圖面垂直，計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

方法：為了求四薄板空心立方體繞過它的重心并垂直圖面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，先求一塊板繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

圖5

距O 軸的距離是

r2＝R2＋x2

所以，此窄條繞O 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

因此整個(gè)薄板繞O 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

結(jié)論：由于四塊薄板對(duì)O 軸是對(duì)稱的，所以整個(gè)立方體對(duì)O 軸的總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

6 結(jié)束語

本文從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義出發(fā)，采用了分割積分法，質(zhì)量投影法等方法，計(jì)算了橢圓盤、六面體、正立方體，空心立方體、轉(zhuǎn)軸在對(duì)角線上的長方形薄板等幾種不常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，給出了教材中沒有的計(jì)算方法，對(duì)同行和研究這方面的學(xué)生有一定的借鑒作用.

［1］［美］F.W.Sears.大學(xué)物理學(xué)（第一冊(cè)）［M］.郭泰運(yùn)譯.人民教育出版社，1979.274～278

［2］王永超.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的質(zhì)量投影法［J］.大學(xué)物理，2010，9

［3］漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程：力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005.222～226

［4］徐德，劉聚成，袁貞豐.大學(xué)物理學(xué)習(xí)題解答［M］.北京：人民教育出版社，1989.319～324

［5］周衍柏.理論力學(xué)［M］.北京：人民教育出版社，1982

［6］馬文蔚.物理學(xué)（上冊(cè)）［M］5版.北京：高等教育出版社，2008.104～111

［7］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）［M］3版.北京：高等教育出版社，2001.224～225