一種基于累積損傷理論和裂紋尖端彈塑性應(yīng)力場的裂紋擴展預(yù)測方法

錢 怡 ， 崔維成

（1江南大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122；2中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

1 引 言

結(jié)構(gòu)動態(tài)載荷下的疲勞損傷，一直是船舶、海洋結(jié)構(gòu)物面臨的問題，而變幅載荷下的裂紋擴展計算，結(jié)構(gòu)疲勞壽命的分析研究則是問題的關(guān)鍵。這方面的研究成果，通常是集中在累積損傷理論、連續(xù)損傷理論和裂紋擴展理論三方面。累積損傷理論雖簡便，但往往忽略了裂紋附近的內(nèi)力情況。裂紋擴展理論則把問題焦點集中在應(yīng)力強度因子與裂紋擴展率的關(guān)系上，疏于考慮裂紋附近應(yīng)力場的情況。而實際上疲勞裂紋擴展情況，與裂紋附近的內(nèi)力分布直接相關(guān)。1999年，Vasudevan和Sadananda提出[1]，疲勞裂紋擴展的驅(qū)動力有兩個，Kmax和△K，而影響裂紋擴展率的主因除了Kmax和△K外，還有裂紋區(qū)的內(nèi)應(yīng)力。Castro提出了基于裂紋附近應(yīng)變場的累積疲勞損傷的裂紋擴展計算方法[2]，他們將裂縫附近的材料分成連續(xù)相鄰的單元，認(rèn)為應(yīng)變幅與結(jié)構(gòu)壽命直接關(guān)聯(lián)。通過分析裂紋附近的應(yīng)變分布，利用Coffin-Manson公式計算單元內(nèi)部應(yīng)變與疲勞壽命的關(guān)系，認(rèn)為材料的總損傷是每次循環(huán)載荷產(chǎn)生的損傷的疊加，當(dāng)單元的損傷達到1時，單元破裂導(dǎo)致裂紋擴展。Glinka同樣提出了逐單元分析損傷的思路[3]，利用Coffin-Manson公式和SWT系數(shù)，分析了裂紋尖端附近應(yīng)力應(yīng)變場，給出了殘余應(yīng)力強度因子Kr的計算方法，建立了da/dN-△K關(guān)系，從而得到疲勞裂紋的擴展壽命。Kujawski在2005年的文章中[4]提出類似的逐單元計算損傷的方法，他通過判斷應(yīng)力應(yīng)變的彈塑性，采用了描述σ、ε關(guān)系的四種不同組合，給出裂紋擴展率的計算方法。參考Castro和Glinka擴展單元的思路，本文提出了通過分析裂紋尖端附近應(yīng)力應(yīng)變場，直接計算裂紋擴展規(guī)律的新方法。

2 裂紋附近的應(yīng)力應(yīng)變場

循環(huán)載荷作用下，裂紋尖端由于應(yīng)力集中產(chǎn)生的高應(yīng)力導(dǎo)致材料塑性屈服，因此裂尖附近材料可分為彈性區(qū)和塑性區(qū)。在塑性區(qū)，應(yīng)力場又可分為與最大應(yīng)力強度因子Kmax對應(yīng)的單調(diào)塑性區(qū)和與應(yīng)力強度因子幅度△K對應(yīng)的循環(huán)塑性區(qū)。若載荷比R>0，則塑性區(qū)可用圖1表示。它們的尺寸由（1）式[5]確定

圖1 裂紋前端塑性區(qū)Fig.1 Plastic zone before crack tip

式中：Sys為材料的屈服強度，n′為循環(huán)應(yīng)變硬化指數(shù)。對于平面應(yīng)力構(gòu)件，κ=1；平面應(yīng)變則有κ=

由于裂紋尖端材料處于不同的應(yīng)力區(qū)域，所以表達應(yīng)力場的函數(shù)應(yīng)該相應(yīng)分為彈性、塑性等不同的形式。通常主要有兩種方法描述裂尖附近應(yīng)力場，一類是基于線彈性斷裂力學(xué)的Westergaard[6]應(yīng)力分布函數(shù)，另一類為考慮彈塑性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的分析方法[7]。

2.1 裂紋尖端的線彈性應(yīng)力場

Westergaard在1939年提出了平面應(yīng)力情況下，基于線彈性斷裂力學(xué)的裂紋尖端（圖2（a）所示）應(yīng)力分布函數(shù)

在裂紋線上，φ=0°，上式略去高階微量后，Creager公式可表示成

圖2 裂紋形狀 （a） 尖銳裂尖；（b） 鈍化裂尖Fig.2 Crack profile(a)Sharp crack;(b)Blunted crack

同理，對于應(yīng)力幅，可得到

該關(guān)系避免了裂尖應(yīng)力奇異的問題，更好地描述了裂紋附近的彈性應(yīng)力場。

在線彈性的前提下，平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

2.2 裂紋尖端的塑性應(yīng)力場

在循環(huán)載荷下，裂紋附近的實際應(yīng)力場是彈塑性并存的，對于裂紋尖端線上的塑性區(qū)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可用Ramberg-Osgood關(guān)系表示[9-10]

由上述線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（2）、（4）式和塑性應(yīng)力應(yīng)變（9）式，結(jié)合 Neuber公式（10），可得出裂尖附近、垂直于裂紋線的塑性應(yīng)力分量

2.3 裂紋區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變的描述

鑒于循環(huán)載荷作用下，塑性區(qū)由循環(huán)塑性區(qū)和單調(diào)塑性區(qū)組成，當(dāng)載荷比R≥0時，rm≥rc，參考有限元分析結(jié)果，本文做如下假設(shè)：

按照這些假設(shè)，區(qū)分不同的位置，計算裂紋附近區(qū)域的應(yīng)力、應(yīng)變。

3 循環(huán)載荷下的應(yīng)力疊加原則

通過恒幅載荷下試驗，并連續(xù)觀察應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)，可得到圖3（a）所示的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，即遲滯回線。隨著裂紋擴展，Kmax、ΔK均會逐漸增大，回線將右移，幅度也有所增加。但這種變化及其緩慢，且不明顯。變幅載荷下，遲滯回線如圖3（b）和圖3（c）表示。從應(yīng)力應(yīng)變的遲滯回線可見，某一循環(huán)載荷下的最大應(yīng)力σmax是前一循環(huán)的最小應(yīng)力σmin和載荷對應(yīng)的應(yīng)力幅的疊加 Δσi，即：

由圖 3（b）、圖 3（c）可見，σi,max總是在應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的總體包絡(luò)曲線的下方或沿曲線前行，不會穿過包絡(luò)曲線。假設(shè)包絡(luò)曲線上的應(yīng)力為σi,max0，則有σi,max≤

圖3 載荷及應(yīng)力應(yīng)變遲滯回線Fig.3 Loads and hysteresis loops

從遲滯回線上可以清楚地看出，當(dāng)σi,min<0時，裂紋區(qū)存在殘余應(yīng)力，其數(shù)值為σi,min。當(dāng)作用循環(huán)載荷時，外加的Δσi首先克服殘余應(yīng)力，剩余部分σi,max將驅(qū)動裂紋擴展，而σi,max的最大值為σi,max0。依據(jù)該原則，可以計算出σi,max，并確定裂紋擴展量。

此外，在應(yīng)力循環(huán)中，有效的應(yīng)變幅Δεi可以近似認(rèn)為是線性的，其數(shù)值由（8）式確定，式中的Δσi

4 累積損傷

4.1 應(yīng)力、應(yīng)變與疲勞壽命關(guān)系

為了建立應(yīng)力、應(yīng)變與疲勞壽命關(guān)系，可將SWT參數(shù)引入Manson-Coffin方程，得到SWT壽命關(guān)系

根據(jù)前述的思想，求出σmax、Δε，代入方程（15）可到相應(yīng)的壽命N。但（15）式是非線性方程，難以求出解析解，同時注意到塑性區(qū)的彈性變形分量很小，故實際計算時略去其中的彈性項，得

4.2 裂尖前端的損傷單元

將含有裂紋的板看成是一系列微小單元δa組成的，如圖4所示，設(shè)每次載荷循環(huán)均造成單元的疲勞損傷，設(shè)第j次載荷作用下第i個單元的疲勞壽命為Ni,j，載荷作用1次所產(chǎn)生的損傷量為1/Ni,j，n次載荷循環(huán)后，單元i的總損傷量當(dāng)單元累積損傷Di=1時，單元破裂，裂紋擴展δa。由此逐單元計算循環(huán)載荷下裂尖附近材料的累積損傷，得出裂紋長度與壽命的a-N關(guān)系。

由于塑性區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變占據(jù)主導(dǎo)地位，所以累積損傷的計算區(qū)域設(shè)定為塑性區(qū)。對應(yīng)R≥0的情況，預(yù)先估計Kmax的最大值，由公式（1）確定最大單調(diào)塑性區(qū)的尺寸rm,max，并將其設(shè)為計算區(qū)域的長度

圖4 裂尖前端材料單元模型Fig.4 The material element model before crack-tip

5 計算方法

通過上述討論，裂紋長度a隨載荷循環(huán)數(shù)n的變化情況可由如下步驟求出：

（1） 由（17）式確定分析區(qū)域尺寸 rm,max，及單元總數(shù)nmax；

（2）根據(jù)（1）式計算出循環(huán)塑性區(qū)rc,i和單調(diào)塑性區(qū)的尺寸rm,i；

（3） 判斷單元的位置，由（7）、（8）式分區(qū)域計算 Δσi、Δεi，應(yīng)力 σy,j選用不同的應(yīng)力公式：

（4）當(dāng)載荷為j時，第i個單元的累積損傷為

（5）在計算損傷的同時，判斷各單元的累積損傷量Di，若Di≥1，則單元破壞，此時裂紋長度ai=其中m為每一載荷循環(huán)所破壞的單元數(shù)。

（6）根據(jù)計算結(jié)果，最后獲得a-N曲線。

6 算 例

為了驗證本文方法的可行性，以350WT鋼[11-12]和2024T3鋁合金[13]中心裂紋試件為例，分析了他們在變幅載荷下的裂紋擴展情況。試件如圖5所示，兩種材料特性列于表1中[13-14]。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material properties

圖5 中心穿透裂紋試件Fig.5 Central through crack specimen

350WT鋼試件的尺寸為a=11.17 mm，W=50 mm，L=300 mm，t=5 mm，受圖 6（a）所示的變幅載荷作用。基線載荷的大小為恒幅部分的Pmax=57 MPa，載荷比R=0.1，在第50 000個和165 000個載荷循環(huán)處分別有兩個過載，過載大小Pol=95.47 MPa。圖6（b）為本文分析結(jié)果與實驗結(jié)果的比較。

2024T3鋁合金中心裂紋試件的尺寸為a=6.35 mm，W=114.5 mm，L=610 mm，t=4.1 mm。 兩種恒定 Δσ的變幅載荷分別作用于試件，載荷規(guī)律如圖7（a）、（b）所示。兩種載荷均在保持應(yīng)力幅不變的前提下，由三種不同最大應(yīng)力（96.5 MPa、82.7 MPa、68.9 MPa）的恒幅塊載組合而成，每 48循環(huán)重復(fù)一次。 圖 7（c）、（d）為實驗分析與結(jié)果實驗結(jié)果的對比。從裂紋擴展曲線可看出，本文提出的方法可以很好地描述變幅載荷下疲勞裂紋的擴展規(guī)律。

圖6 350WT鋼試件的載荷譜與疲勞裂紋擴展曲線 （a） 載荷； （b） 壽命曲線a-NFig.6 Loading spectrum and fatigue crack growth curve‘a(chǎn)-N’of 350WT steel(a)loading spectrum;(b)‘a(chǎn)-N’ curve

7 結(jié) 論

本文采用循環(huán)應(yīng)力疊加方法計算裂紋尖端彈塑性應(yīng)力，考慮了殘余應(yīng)力對裂紋擴展的影響。同時，根據(jù)累積損傷理論和SWT壽命關(guān)系式，以循環(huán)累積疊加的方式計算疲勞損傷，確定裂紋擴展的a-N規(guī)律。通過與350WT鋼和2024T3鋁合金兩種材料的實驗結(jié)果比較，說明該方法能很好地反映過載時裂紋擴展的遲滯效應(yīng)，具有較高的準(zhǔn)確性，適合變幅載荷下疲勞壽命的評估分析。

圖7 2024T3鋁合金試件的載荷譜與疲勞裂紋擴展曲線 （a）載荷序列1；（b）載荷序列2；（c）載荷序列1的壽命曲線a-N；（d）載荷序列2的壽命曲線a-NFig.7 Loading spectrum and fatigue crack growth curve‘a(chǎn)-N’of Al 2024 T3 alloy specimens(a)Loading spectrum 1;(b)Loading spectrum 2;(c)The‘a(chǎn)-N’curve of loading spectrum 1;(d)The‘a(chǎn)-N’curve of loading spectrum 2

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