一種基于非均勻馬爾可夫隨機場的圖像分割方法

張 輝，胡陽漣

（1．咸陽師范學院 數學與信息科學學院，陜西 咸陽 712000；2．西安理工大學 理學院，陜西 西安 710054）

在圖像處理和計算機視覺領域，圖像分割是其中的一個難點，也是重點。它的目的是將我們感興趣的目標從圖像復雜的背景中提取出來，以便進行更深入的分析和處理。圖像分割方法多種多樣，如基于閾值的分割方法，基于邊緣的分割方法，基于內容的分割方法，基于統計的分割方法等?；隈R爾可夫隨機場（MRF）模型的圖像分割方法[1]，是一種基于統計的分割方法，以其模型參數少，空間約束能力強，易于和其他方法相結合等優點，在圖像分割以及其他圖像分析領域中得到了廣泛的應用。

基于MRF模型的圖像分割是基于貝葉斯后驗概率理論的。一般采用雙MRF，一個隨機場對應于觀測圖像，另一個隨機場對應于未知的分類標號，通過迭代算法將圖像的局部信息逐步傳遞到整個圖像，以求得分割標號的最大后驗概率（MAP）。傳統的基于 MRF模型的圖像分割都是基于均勻MRF隨機場的，即假定MRF中的耦合系數是一個常數。然而，在許多圖像中，不同的紋理特征有不同的耦合系數，假定一個耦合系數會帶來分割效果的明顯變差，且不具有自適應性。近年來，許多學者提出了基于非均勻MRF的圖像分割[2]，將圖像建模為一個非均勻的MRF，改善了分割效果。非均勻MRF與均勻MRF的不同之處在于非均勻MRF采用的是可變的耦合系數，而均勻MRF的耦合系數是一個常數。一般將圖像分為大小相等的子塊，再用期望最大化（EM）算法[3]估計每個子塊中心象素點的耦合系數，利用線性插值，得到每個象素點的耦合系數。由于子塊的劃分沒有利用任何統計信息和邊緣信息以及相鄰像素之間的相互影響，因此這種估計方法并不準確。本文提出在圖像預分割的基礎上，結合圖像的統計性質和邊緣信息對圖像進行四叉樹分解，把圖像分成不同大小的子塊。再根據每個子塊的大小以及子塊內邊緣信息的豐富程度，估計出非均勻MRF的耦合系數。實驗表明，本文的估計方法較為準確，將它應用到圖像分割中，能增強圖像分割的自適應性，改善分割效果。

1 基于非均勻MRF的圖像分割

圖像分割問題實際上可以看作是圖像的標記問題。平面上的象素點集為 S，滿足 S={s1，s2，ΛΛ，sM×N}，圖像象素點的總數為M×N。假定得到觀測的圖像數據為F，ω為圖像的標記場，ω=（ωs1，ωs2ΛΛ，ωsM×N），ωs∈Λ={1，2，ΛΛ，L-1}，L 是類別的總數。圖像分割問題轉化為求解標記場ω，使得Bayes后驗概率達到最大。

其中P（ω）是標記場ω的先驗概率，是關于圖像結構一般性知識的概率描述；P（F|ω）是觀察值F的條件概率分布（也稱為似然函數）。P（F）是觀測場的概率。因為觀測數據F是給定的，所以P（F）是一個常量。因此有：

因此只要定義出先驗概率P（ω）和似然函數P（F|ω）就可以把圖像分割問題轉化為如下的最優化問題：

根據大數定理，假設概率P（F|ω）服從高斯分布，且類別λ用它的均值μλ和方差σλ來表示，則似然能量函數可以表示如下：

對于先驗模型，假設它符合MRF模型。由Hammersley-Clifford定理[4]可知，一個馬爾可夫隨機場與一個 Gibbs隨機場等價。因此只要定義了Gibbs隨機場的能量函數[5]，那么這個MRF也就確定了。Gibbs隨機場的概率密度函數可以表示為：

圖1 8-鄰域系統Fig．1 Eight-Neighborhood

因此勢團勢能計算公式可以表示為

相應的先驗能量函數為

其中 βs即為像素點 S的耦合系數， 通常在區間[0．1，2．4]上取值，它控制區域的同構性，在均勻MRF中，βs是一個常數。在非均勻MRF中，βs是需要根據圖像特征去估計的一個變數，這也是均勻MRF和非均勻MRF的不同之處。下面將介紹一種估計耦合系數βs的新算法。

2 基于四叉樹分解的耦合系數估計方法

2．1 同構性的度量

在非均勻MRF中，耦合系數不是一個常數，是隨著圖像中局部的紋理特征而變化的。耦合系數表征了圖像的同構性。在圖像中灰度值分布散亂的區域，其同構性比較弱，耦合系數也就較小；而在圖像的“塊”較大的區域，同構性比較強，耦合系數比較大。圖2顯示了耦合系數和圖像特征之間的關系。

圖2 耦合系數與圖像特征的關系Fig．2 Relation of isomorphic coefficient and image feature

在同一幅圖像中，耦合系數往往β不是均勻分布的。如圖3中的耦合系數隨著圖像的散亂程度從左到右逐漸變大。圖4為圖3的耦合系數的圖像表示。

圖3 散亂程度漸變的圖像Fig．3 Scattered degree gruadually changed image

圖4 耦合系數的圖像表示Fig．4 Isomorphic coefficient image

通過觀察發現在同構性小的區域，在進行初始分割后，其邊緣信息比較豐富。因此用邊緣信息的豐富程度，來度量圖像在局部的同構性。具體做法如下：假如Mi為圖像的一個子m×m的子塊，di為該子塊內邊緣點的個數，定義耦合度為：

其中τ1為調節因子，它可以調節邊緣信息在計算耦合度時的權重。

2．2 基于四叉樹分解的耦合系數估計方法

四叉樹分解的基本思想是首先將圖像分為4個大小相等子塊，在每個子塊里面計算其圖像特征（如均方差），如果此特征小于某個給定的域值，則再將該子塊劃分為4個相同大小的子塊，如此循環，直到子塊的大小達到預先給定的最小值為止。

這里以耦合度來作為圖像特征，進行四叉樹分解，這樣就可以將耦合度比較大的區域分成比較大的子塊，耦合度比較小的區域被分解成比較小的子塊。在分解之前先進行一次基于均勻MRF的預分割，迭代少數幾次即可。采用遞歸的算法，進行分解。以下是算法的步驟：

Step1：用基于均勻MRF的圖像分割方法，迭代10～20次，對圖像進行預分割；

Step2：對預分割后的圖像I進行初始劃分，把圖像分為4個相同大小的子塊I1，I2，I3，I4， 如果Ii的尺寸大于給定的最小尺寸，則轉到step3，否則退出程序；

Step3：依次計算 I1，I2，I3，I4內的耦合度，如果子塊 Ii的耦合度 βi小于給定域值 βT，則令 Ii等于 I，轉到 step2。

圖5 Lena圖的四叉樹分解Fig．5 Quad-tree decomposing of image Lena

圖5顯示了Lena圖的四叉樹分解。由圖5可以看出，對圖像進行四叉樹分解之后，同構性小的區域被分成比較小的子塊，同構性比較大的區域被分成了比較大的區域。因此可以用子塊的大小來描述耦合系數的大小。由于耦合系數的取值一般是在區間[0．1，2．4]上取值，將區間進行均勻劃分，對應不同的子塊尺寸。表1給出了耦合系數和子塊尺寸之間的對應關系。

表1 子塊尺度與耦合系數的關系Tab.1 The relation of the subblocks’sizes and isomorphic coefficient

3 實驗與分析

為了驗證本文算法的有效性，我們對兩幅256×256灰度圖像分別用傳統的基于MRF的分割方法和本文提出的方法進行了分割。程序的運行平臺為賽揚2．66 CPU，512 MB內存，VC++6．0環境。本文的馬爾可夫隨機場求解方法為模擬退火算法，邊緣檢測算子為Sobel算子，預分割時的耦合系數取常數1．2。基于馬爾可夫隨機場的圖像分割要用到兩組重要的參數，及每個類別λ的均值μλ和方差σλ來。為了精確起見，本文采用樣本訓練的方法得到。如圖6所示，選取方框中的特征塊作為樣本，得到每種紋理的均值和方差。分割模型中參數的取值都取經驗值，其中初始溫度T=6，溫度調節因子α=0．95，加權系數 τ1=0．08。 從圖 6（c），（d），（e），（f）可以看出，在圖像預分割以后再進行四叉樹分解，可以將圖像的邊緣較豐富的區域分成比較小的方塊，而邊緣少的區域被分解成比較大的方塊。而小的方塊對應小的耦合系數，這樣在反復迭代中就能很好的保護邊緣。

圖6 待分割圖像及其四叉樹分解Fig．6 Original images and their quad-tree decomposed Images

文中的分割結果以及傳統的分割結果如圖7所示。

圖7 分割結果Fig．7 Result of segmentation

從實驗結果可以看出，傳統的基于均勻MRF的分割方法中耦合系數過小容易產生較多孤立點（如圖7（b）以及圖7（e）中圓圈內所示），而耦合系數過大又不能很好的保持邊緣（如圖 7（c）以及圖 7（f）中圓圈內所示）。而本文的分割方法采用了自適應的耦合系數估計方法，從而能夠達到更為細膩的分割效果（如圖 7（a）以及圖 7（d）所示），這充分證明了文中方法具有較強的自適應性和魯棒性。

4 結 論

首先簡要闡述了基于非均勻馬爾可夫隨機場的圖像分割原理及基本方法，然后從對耦合度的研究出發，提出了一種基于四叉樹分解的耦合系數估計方法，并將此估計方法與基于馬爾可夫隨機場的圖像分割算法相結合進行了數值實驗。實驗表明，本文方法與傳統的基于馬爾可夫隨機場的圖像分割算法相比效果更好，具有更好的自適應性。

[1]ZHANGYong-yue，Smith S，Brady M．Hidden Markov random field model and segmentation of brain MR images[M]．FMRIB Technical Report TR00YZ1 Oxford University，2000．

[2]Gu D B，Sun JX．Emimage segmentation algorithm based on an inhomogeneous hidden MRF model[C]//IEE Proc．-Vis．Image Signal Process．，2005．

[3]ZHANG Yong-yue，Brady M，Smith S．Segmentation of brain MR image trough a hidden markov random field modle and the expection-maximination algorithm[J]．IEEE Transactions on Medical Imaging，2006，20（1）：45-57．

[4]Geman S，Geman D．Stochastic relaxation， Gibbs distributions and the Bayesian restoration of images[J]．IEEE Trans．Pattern Anal，1984，26（9）：721-741．

[5]Derin H，Elliott H．Modeling and segmentation of noisy and textured images using Gibbs Random Fields[J]．IEEE Trans，Pattern Anal．Machine Intell，1987，9（1）：39-55．

[6]胡陽漣．基于馬爾可夫隨機場的圖像分割研究[D]．西安：西安理工大學，2008．