加性白噪聲下基帶延遲鎖定環跟蹤精度的計算

余金峰,楊文革,路偉濤,孟生云

(1.裝備學院, 北京101416;2.中國洛陽電子裝備試驗中心,河南 洛陽471003)

1 引 言

在擴頻測量系統和衛星導航系統中,接收機完成了信號的捕獲之后,就轉入對接收信號的跟蹤。本地參考信號對接收信號的跟蹤包括載波和擴頻碼序列跟蹤兩部分。載波的跟蹤采用鎖相環技術(PLL),擴頻碼序列的同步跟蹤通常采用延時鎖定環路(DLL)。DLL 與PLL 在技術原理上是一致的,都是通過反饋環路來實現輸出信號對輸入信號的跟蹤與同步,其差異在于產生誤差信號的相位鑒別器不同。在PLL 中,環路的誤差信號是由鑒相器或乘法器產生的,而在DLL 中,環路的誤差信號是由延遲鎖定鑒別器產生的。

在測量和導航設備中,測距功能的實現是以擴頻碼的跟蹤為基礎的。在噪聲環境下,噪聲與輸入信號一同進入同步跟蹤環,使得環路輸出信號也受到噪聲的影響,使跟蹤信號產生跟蹤抖動,從而影響測距性能。因此,碼跟蹤環在高斯白噪聲下的跟蹤精度是測控和導航系統中的一個重要問題。文獻[1-4]中都對這一問題進行了研究。

文獻[1]在對碼鑒相器建模時,對輸入信號和噪聲采取了不同的處理方法,輸入信號與本地信號進行相關運算,也就是相乘并積分的過程,而對噪聲則僅考慮了相乘運算,繞過了積分過程。這樣處理的結果是使得鑒相器輸出端的噪聲仍然是白噪聲,該白色噪聲特性與積分時間無關。此噪聲經環路濾波后在輸出端產生噪聲,也就使得給出的跟蹤精度公式與環路帶寬有關,而與積分時間無關。

文獻[2]中則考慮了積分過程對噪聲的作用,沒有把噪聲當白色噪聲處理,但其沒有對噪聲進行全面分析,僅給出了噪聲的方差,該方差與積分時間有關。同時,文獻[3]中還以鑒相器等效輸入噪聲特性代替環路輸出端等效噪聲特性作為環路跟蹤精度,忽略了環路對等效輸入噪聲的作用,這實際上是降低了環路對噪聲的抑制作用。所以,其給出的精度公式與積分時間有關,而與環路帶寬無關。

本文在已有研究的基礎上,系統研究了碼跟蹤環在加性白噪聲下的跟蹤精度問題。在碼鑒相器中,將輸入信號與輸入噪聲作同樣的相關處理,得到了等效輸入噪聲相關特性和功率譜密度,并考慮跟蹤環路對噪聲的作用,最終得到了跟蹤環路輸出信號的跟蹤精度,使得兩種不同的結論得到了統一。

2 碼延遲鑒別器的等效線性模型

在系統穩定工作的情況下,接收機載波環能夠提供相干載波。因此,在分析碼跟蹤精度時,可以忽略載波的作用,采用基帶模型。數據信號D(t)在延遲鎖定環中的作用是影響相關積分結果的極性,使得一直為正的相關積分結果隨著數據位極性的變化而改變。但通過對積分結果的處理,可以消除數據位極性的影響,只是積分時間的選擇應避免跨越數據位的跳變。因此,本文不考慮數據位的影響。

基帶相關延遲鎖定環由延遲鑒別器、回路濾波器、壓控振蕩器和碼產生器等組成,其結構如圖1 所示。圖1 中,延遲鎖定環把接收信號與超前碼和滯后碼進行相關處理,相關處理的結果相當于在相關函數峰的上升沿和下降沿分別進行采樣。兩個采樣信號的差值是本地碼和輸入碼之間延遲差的非線性函數。對采樣信號通常采用稱為零搜索的控制方式,也就是說,零搜索方式控制本地碼的延遲,使得超前相關器與滯后相關器輸出信號差別趨零。超前和滯后相關器之間的固定時間間隔稱為相關器間距,通常用碼元Tc為單位來表示, dTc表示相應的時間間距。

圖1 碼延遲鎖定環結構圖Fig.1 The structure diagram of DLL

設輸入信號r(t)為輸入碼和噪聲之和:

式中, Cx(t-τ)為輸入碼信號分量, n(t)為輸入基帶噪聲分量。本節討論信號分量。

超前和滯后支路的輸出信號SE和SL為

記Δτ=τ- τ,上式用相關函數表示為

鑒別函數通過將滯后采樣減去超前采樣得到:

鑒別函數如圖2 所示,圖中所示為d=1 時的情形,其圖形簡稱為S 曲線。其中間部分呈現線性特性,靠近原點處的斜率為

圖2 碼延遲鎖定環鑒別函數(d=1)Fig.2 The function of discriminator in DLL when d=1

因此,對于碼延遲差Δτ=(τ- τ)來說,等效鑒相器增益為k′d=2 C/Tc。鑒相器等效框圖如圖3(a)所示。鑒相器輸出信號vd為

圖3 碼延遲鎖定環鑒相器等效框圖Fig.3 Equal effects of the discriminator in DLL

對于經碼元時間Tc 相位化后的碼延遲相位差Δτ/Tc=(τ- τ)/Tc 來說,等效鑒相器增益為kd =2 C。相應的鑒相器等效框圖如圖3(b)所示。鑒相器輸出信號vd為

式(6)與式(7)的輸出信號相等。

3 同步跟蹤回路輸入噪聲的等效處理

本節討論在碼延遲鑒相器輸入輸出端的噪聲分量。假設輸入噪聲是均值為零、功率譜密度為N0/2的白噪聲。

設噪聲在超前與滯后支路的輸出信號分別為

兩個支路的差值Nd(t)為

Nd(t)的均值為零,相關函數為

對上式求傅里葉變換,得Nd(t)的功率譜密度:

因此,鑒相器輸出端的Nd(t)是均值為零、功率譜密度為SNd(f)的噪聲。Nd(t)的相關函數和功率譜密度如圖4 所示。

圖4 鑒相器輸出端噪聲的相關函數和功率譜密度Fig.4 The correlation function and PSD of the noise in discriminator

如前所述,碼延遲鑒相器的等效增益kd=2 C,Nd(t)在鑒相器輸入端的等效輸入可記為Nτ/Tc:

則Nτ/Tc均值為零,功率譜密度為

由上述討論可知,輸入噪聲經碼延遲鑒相器處理之后,相當于在等效線性鑒相器輸入端碼延遲相位信號τ/Tc上附加了一個均值為零、功率譜密度由式(13)表示的非白噪聲Nτ/Tc。

4 碼延遲鎖定環等效線性相位模型

設回路濾波器傳輸函數為F(f), 沖激響應為h(t)。回路濾波器的輸出v(t)是鑒相器輸出vd(t)與h(t)的卷積積分:

濾波器的輸出信號v(t)送往VCO 作為控制信號,通過控制振蕩器的振蕩頻率來調整本地碼的時延,使本地碼延遲與輸入碼延遲的差值趨零。

根據VCO 輸出信號與控制電壓的關系,可以寫出以下的相位關系等式:

式中, f0是VCO 靜態工作頻率, k0是VCO 的控制靈敏度。

整理上式,并以積分算子p 代替積分號,可得:

由上式可得回路方程:

由回路方程可給出碼跟蹤環的等效相位模型圖,如圖5 所示。

圖5 碼延遲鎖定環等效線性相位模型Fig.5 The equivalent linear phase model of DLL

回路閉環傳遞函數HL(s)為

5 加性白噪聲下碼跟蹤精度計算

在第3 節中已經說明,鑒相器輸出的噪聲分量Nd,在鑒相器等效增益為kd的情況下,可以等效為鑒相器輸入端的等效碼延遲噪聲Nτ/Tc,其等效模型如圖5 中虛線框中所示。

利用環路閉環傳輸函數H(j2πf)和輸入相位噪聲功率譜密度SNτ/Tc(f),可求得輸出相位噪聲功率譜密度SNτ/Tc(f)為

環路輸出端等效相位噪聲方差為

對上式的計算,根據積分帶寬(1/T)與環路帶寬BL的關系,可以采用兩種簡化方法:第一種是當環路帶寬遠小于積分帶寬時,環路帶寬對輸出相位噪聲起主要作用,簡化積分帶寬的作用;第二種是當積分帶寬遠小于環路帶寬時,積分帶寬對輸出相位噪聲起主要作用,簡化環路帶寬的作用。

第一種情況下,環路帶寬遠小于積分帶寬,可以用輸入噪聲零頻率處的譜密度來近似計算輸出噪聲的譜密度:

從而,整個環路的碼延遲跟蹤精度為

第二種情況下,積分帶寬遠小于環路帶寬,可以用傳遞函數零頻率處的值來近似計算輸出噪聲的譜密度:

從而,整個環路的碼延遲跟蹤精度為

由式(20)可以看出,環路跟蹤精度不僅與相關器間距d、碼元寬度Tc 和信噪比C/N0有關,還與積分時間T 和環路閉環傳遞函數HL(j2πf)有關。在對式(20)進行簡化處理后,可以得到式(22)和(24)。在式(22)和(24)中,d 、Tc和C/N0是一樣的,不同的是兩式中分別有參數T 和BL,并且1/T 和2BL具有相同的位置。對兩個公式的選擇,取決于積分時間T和環路帶寬BL 的相對關系,選用數值小者進行計算,因為它對噪聲的濾波起主要作用。同時,在設計跟蹤環路時,也可以根據情況靈活選擇參數,對一個參數提高要求時,對另一個參數就可以適當放寬要求。

6 有關結論的比較與分析

文獻[1]中,在對鑒相器建模時,對碼信號和噪聲采取了不同的處理方法。考慮了積分器對信號的作用,而忽略了積分器對噪聲的作用,這樣的處理使得輸出端仍然是白色噪聲,實際上是忽略了積分器對噪聲的過濾作用。而由本文前述內容可以看出,輸入端白噪聲經積分器作用后,在輸出端不再是白色噪聲,而是功率譜有效寬度與積分時間T 有關的有色噪聲,其相關函數成三角形,功率譜密度成S2a(x)形。

同樣在文獻[1]中,對環路輸出端噪聲的處理是以相位抖動的方式給出的,沒有給出以碼延遲抖動形式表示的跟蹤精度。本文給出了以跟蹤環輸出端噪聲標準差作為跟蹤精度的計算方法,更為直接,更為合理。對文獻[1]中給出的公式作進一步的推導,可以得到與式(22)相同的表達式。因此,可以認為,文獻[1]中的結論符合本文討論的第一種情況,適合于環路帶寬較小、對輸出相位噪聲起主要作用的情況。

文獻[2]中則是以輸入端的碼延遲抖動標準差作為跟蹤精度,忽略了跟蹤環路對噪聲的過濾作用,其給出的計算公式與式(24)相同。所以,文獻[2]中的結論符合本文討論的第二種情況,適合于積分帶寬較小、對輸出相位噪聲起主要作用的情況。

綜上所述,可以認為,本文的討論綜合了文獻[1]和文獻[2]中兩個相矛盾的結論,分析了兩個結論的適用情況,是對兩者的統一。

7 結束語

本文在已有研究的基礎上探討了加性白噪聲下基帶碼延遲跟蹤環跟蹤精度的計算問題。以基帶碼延遲鑒別器的等效相位模型為基礎,研究了在線性鑒別器特性下輸入加性噪聲的等效模型,得到了鑒相器輸出端有色噪聲的相關函數和功率譜密度公式;推導了以跟蹤環輸出端噪聲標準差作為跟蹤精度的計算方法;在積分時間和環路帶寬分別起主導作用的情況下,得到了跟蹤精度的兩種簡化計算方法,兩種簡化方法的結果分別與有關文獻的結果相一致,使兩種不同的結論得到了統一。文中給出的結果是以有關研究為基礎的,并進行了一定的改進和拓展,所得結果要更為合理和全面。

[ 1] Peterson R L, Ziemer R E, Borth D E.擴頻通信導論[M] .侯永宏,馬蘭, 譯.北京:電子工業出版社,2006:81-85.

Peterson R L, Ziemer R E, Borth D E.Introduction to Spread Spectrum Communications[M] .Translated by HOU Yonghong,MA Lan.Beijing:Publishing House of Electronics Industry, 2006:81-85.(in Chinese)

[ 2] Misra P, Enge P.全球定位系統-信號、測量與性能[M] .羅鳴,曹沖, 肖雄兵, 等, 譯.北京:電子工業出版社,2008:323-330.

Misra P,Enge P.Global Positioning System Signals,Measurements,and Performance[M] .Translated by LUO Ming,CAO Chong,XIAO Xiong-bing, et al.Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2008:323-330.(in Chinese)

[3] 沈允春.擴譜技術[M] .北京:國防工業出版社, 1995:178-186.

SHEN Yun-chun.Spread spectrum technology[M] .Beijing:National Defense Industry Press,1995:178-186.(in Chinese)〗

[4] 田日才.擴頻通信[M] .北京:清華大學出版社, 2007:208-214.

TIAN Ri-cai.Spread spectrum communication[M] .Beijing:Tsinghua University Press,2007:208-214.(in Chinese)

[5] 陳世偉.鎖相環路原理及應用[M] .北京:兵器工業出版社,1990:102-105.

CHEN Shi-wei.The principle and application of phase -locked loop[M] .Beijing:Arms Industry Press, 1990:102 -105.(in Chinese)

[6] 張厥盛, 鄭繼禹, 萬心平.鎖相技術[M] .西安:西安電子科技大學出版社,1994:63-65.

ZHANG Jue-sheng,ZHENG Ji-yu,WAN Xin-ping.Phase-lock technique[M] .Xi′an:Xidian University Press, 1994:63-65.(in Chinese)