粗糙模糊子格＊

郝 景，李慶國(guó)

（湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410082）

Pawlak提出粗糙集是為了處理不確定信息和不明確信息.粗糙集理論作為一種信息處理的工具，近年來(lái)飛速發(fā)展，并廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘、智能模式識(shí)別、圖像處理等領(lǐng)域.

近似空間在粗糙集理論中有極其重要的地位，其發(fā)展主要分布在以下幾個(gè)方面.第一，等價(jià)關(guān)系的一般化.Pawlak提出的粗糙集是基于等價(jià)關(guān)系，隨著該理論的應(yīng)用研究，把等價(jià)關(guān)系推廣到一般關(guān)系上，以解決更一般的問(wèn)題，從而提出了廣義粗糙集.第二，粗糙集的模糊化.模糊粗糙集最早由D.Dubois等［1］提出.此后，出現(xiàn)了各種各樣的模糊粗糙集.第三，粗糙代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究.如Biswas等［2］.提出了粗糙群、粗糙子群的概念并且詳細(xì)討論了其性質(zhì).隨后，一些學(xué)者詳細(xì)討論了粗糙環(huán)、粗糙模等.Estaji等［3］研究了粗糙模糊子格，但他們討論的是基于格上經(jīng)典的同余關(guān)系的粗糙模糊子格.

在本文中，我們提出了格上的模糊同余關(guān)系，并基于該模糊同余關(guān)系，研究了粗糙模糊子格的一些性質(zhì).最后，我們提出了模糊關(guān)系同態(tài)，討論了模糊關(guān)系同態(tài)所定義的模糊同余關(guān)系，并得到了如下結(jié)論：這類同態(tài)保持粗糙上逼近.

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中，我們用完備剩余格作為真值結(jié)構(gòu).剩余格（L，?，→，∨，∧，0，1）滿足：（L，∨，∧，0，1）是有界格，0，1分別是其最大最小元；（L，?，1）是一個(gè)可換的幺半群；（?，→）是一個(gè)伴隨對(duì)，也就是說(shuō)x?y≤z當(dāng)且僅當(dāng)x≤y→z.

下面我們重新回顧一下剩余格的一些基本性質(zhì)，請(qǐng)參考［4－5］.?關(guān)于左右兩項(xiàng)是單調(diào)增的，→關(guān)于第一項(xiàng)是單調(diào)減，關(guān)于第二項(xiàng)是單調(diào)增.剩余格L上的預(yù)補(bǔ)運(yùn)算如下定義：?：L→L，?a＝a→0.對(duì)于所有的x，y∈L，｛xi｝?L，下面的性質(zhì)成立：

給定一個(gè)集合X，它的L模糊子集A是從X到L的映射，參見(jiàn)文獻(xiàn)［6］.對(duì)于任意的A，B，∈LX，新的模糊集可構(gòu)造如下：

L模糊關(guān)系R是從X×X到L的映射.稱R是自反的，如果R（x，x）＝1，?x∈X；R是對(duì)稱的，如果R（x，y）＝R（y，x），?x，y∈X；R是傳遞的，如果R（x，y）?R（y，z）≤R（x，z），?x，y，z∈X.若R是自反，對(duì)稱，傳遞，則稱R是L模糊等價(jià)關(guān)系.

（X，R）是L模糊近似空間，其中X非空，R是X上的L模糊關(guān)系.對(duì)于任意的A∈LX，x，y∈X，上下逼近算子定義如下：

L模糊近似空間的具體性質(zhì)請(qǐng)參考文獻(xiàn)［7］.

2 粗糙模糊子格

在本文中，我們總是假定L是一個(gè)完備剩余格.下面的定義參考文獻(xiàn)［8－9］，是文獻(xiàn)中的推廣.

定義1 假定（X，∨，∧）是格.A∈LX，如果對(duì)x，y∈X，A（x）?A（y）≤A（x∨y）∧A（x∧y）.那么稱A為X的模糊子格.

定義2 假定（X，∨，∧）是格，A∈LX.

1）如果A（x）?A（y）＝A（x∧y）對(duì)任意的x，y∈X成立，則稱A是一個(gè)模糊濾子；

2）如果A（x）?A（y）＝A（x∨y）對(duì)任意的x，y∈X成立，則稱A是一個(gè)模糊理想.

定義3 給定（X，∨，∧）是格，R∈LX×X且R是模糊等價(jià)關(guān)系.對(duì)任意的xi，yi∈Z，i＝1，2，如果

成立，那么我們稱R是模糊同余關(guān)系；

如果

成立，那么我們稱R是強(qiáng)模糊同余關(guān)系.

命題1 給定（X，∨，∧）是格，A∈LX且A是模糊理想，Z?X.那么

證明：對(duì)于任意的x∈↓Z，存在z∈Z使得x≤z，那么由于A是模糊理想，我們有A（x）?A（z）＝A（x∨z）＝A（z），從而A（x）≥A（z）.

同樣可以證明第二個(gè)式子.

定理1 給定（X，∨，∧）是格，A∈LX.

證明：1）對(duì)于?x，y∈X，

因R是模糊同余關(guān)系，所以第一個(gè)不等式成立.同樣，可以有ˉR（A）（x）?ˉR（A）（y）≤ˉR（A）（x∧y）.已證.

2）因?yàn)镽是強(qiáng)模糊同余關(guān)系，所以對(duì)于任意x1，x2，y1，y2∈X，有

從而對(duì)任意x，y∈X，有

定理2 給定（X，∨，∧）是格，A∈LX.R是X上的強(qiáng)模糊同余關(guān)系，則有下面關(guān)系成立：

證明：同定理1中1）的證明.

定理3 給定（X，∨，∧）是格，A∈LX.R是X上的強(qiáng)模糊同余關(guān)系，則有下面關(guān)系成立：

證明：同定理1中2）的證明.

引理1 假定X是任意的集合，R1，R2是X上的模糊等價(jià)關(guān)系.那么R2是等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)R2＝R1.

證明：自反性和對(duì)稱性顯然成立.下面僅證傳遞性.對(duì)所有的x，y，z∈X，有

注：由引理1，我們?nèi)菀椎贸?，R1，R2是格X上的模糊同余關(guān)系.R2是模糊同余關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)R1o R2＝R1.

定理4 給定（X，∨，∧）是格，A∈LX.R2是模糊同余關(guān)系且R2＝R1，那么

定義4 給定X，Y是格，f∈LX×Y.如果f滿足：任意x1，x2，y1，y2∈X，

那么稱f為模糊關(guān)系同態(tài).

注：X，Y如定義4給定.

1）對(duì)于A∈LX，B∈LY，分別可以定義f（A）∈LY，f－1（B）∈LX如下，

2）我們可以分別定義X，Y上的等價(jià)關(guān)系如下：

［9］，容易得出，分別是X，Y的等價(jià)關(guān)系.若X，Y是格，則，分別是X，Y上模糊同余關(guān)系.

定理5 給定X，Y是格，f是模糊關(guān)系同態(tài)，A∈LX，那么f（（A））＝f（A）.

證明：對(duì)于y∈X，從而（a→b）?c≤a→（b?c），所以第一個(gè)不等式成立.已證.

定理6 給定X，Y是格，f是模糊關(guān)系同態(tài)，A∈LX.那么

3 結(jié) 論

在本文中，我們討論了粗糙模糊子格、粗糙模糊理想、濾子的一些性質(zhì).并且討論了兩個(gè)格在模糊同態(tài)關(guān)系下，模糊粗糙集的性質(zhì).

參考文獻(xiàn)

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［2］ BISWAS R，NANDA S.Rough groups and rough subgroups［J］.Bulletin of the Polish Academy of Sciences，1994，42：251－254.

［3］ ESTAJI A A，KHODAII S，BAHRAMI S.On rough set and fuzzy sublattice［J］.Information Sciences，2011，181（18）：3981－3994.

［4］ BLOUNT K，TSINAKIS C.The structure of residuated lattices［J］.International Journal of Algebra and Computation，2003，13（4）：437－461.

［5］ WARD M，DILWORTH R P.Residuated lattices［J］.Transactions of the American Mathematical Society，1939，45：335－354.

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［8］ ATTALLAH M.Completely fuzzy prime ideals of distributive lattices［J］.The Journal of Fuzzy Mathematics，2000，8（1）：151－156.

［9］ IGNJATOVIC J，CIRIC M，BOGDANOVIC S.Fuzzy homomorphisms of algebras［J］.Fuzzy Sets and Systems，2009，160：2345－2365.