兩個矩陣Fan積和Hadamard積的特征值的界

楊曉英，劉 新

（四川信息職業技術學院 基礎教育部，四川 廣元 628017）

兩個矩陣Fan積和Hadamard積的特征值的界

楊曉英，劉 新

（四川信息職業技術學院 基礎教育部，四川 廣元 628017）

關于非奇異M-矩陣A與B的Fan積A*B，給出A*B的最小特征值τ（A*B）下界的新估計式，同時也給出非負矩陣A與B的Hadamard積AB的譜半徑ρ（AB）上界的新估計式，這些估計式只與矩陣的元素有關，易于計算．數值算例也說明所得估計式改進了現有的結果．

M-矩陣；非負矩陣；Fan積；Hadamard積；最小特征值；譜半徑

1 預備知識

N表示集合{1，2，…，n}．Rm×n表示m×n階實矩陣．Cm×n表示m×n階復矩陣．ρ（P）表示n×n階非負矩陣P的譜半徑．

定義1.1 設A=（aij）∈Rn×n，如果aij≥0（i，j=1，2，…，n），則稱矩陣A為非負矩陣，記為A≥0；若aij＞0（i，j=1，2，…，n），則稱矩陣A為正矩陣，記為A＞0．

其中A11是r×r階子矩陣，A22是（n-r）×（n-r）階子矩陣（1≤r＜n），則稱矩陣A為可約矩陣．若沒有置換矩陣P存在，則稱矩陣A為不可約矩陣．

定義1.3 設A=（aij）∈Rn×n，且aij≤0，i≠j，則稱矩陣A為Z矩陣（簡記為A∈Zn×n）．

定義1.4 設A=（aij）∈Zn×n，A可以表示為A=λI-B，其中B≥0，當λ≥ρ（B）時，則稱A為M-矩陣．特別地，當λ＞ρ（B）時，稱A為非奇異M-矩陣；當λ=ρ（B）時，稱A為奇異M-矩陣．

定義1.5 對于A=（aij）∈Zn×n，記τ（A）=min{Re（λ）：λ∈б（A）} ， （其中б（A）表示矩陣A的譜）， τ（A）稱為A的最小特征值．

在定義1.5的基礎上，有如下基本的事實［1］：

（?。?如果A，B∈Zn×n，且A≥B，則 τ（A）≥ τ（B） ；

定義1.6 設稱為矩陣A與B的Fan積．

如果A，B∈Zn×n是M-矩陣，則A*B也是M-矩陣［2］．

在文獻［1］中，給出了關于τ（A*B）的一個下界估計式：若A，B是M-矩陣，則

τ（A*B）≥τ（A）τ（B）.

2009 年，Liu等在文獻［5］中給出τ（A*B）的一個新的下界估計式：

2010 年，Li等在文獻［6］中給出一個只依賴于矩陣元素的新估計式：

本文將在第二部分給出非奇異M-矩陣A，B的新的τ（A*B）下界的估計式．

2009 年，Liu等在文獻［5］中得出下面的結論：

2 非奇異M-矩陣Fan積的最小特征值下界的估計

引理2.1［7］設A=（aij）∈Cn×n，0≤α≤1，且x1，x2，…，xn是正實數．則矩陣A的特征值位于下列區域之中

引理2.2［7］設A=（aij）∈Cn×n，0≤α≤1，且x1，x2，…，xn是正實數．則矩陣A的特征值位于下列區域之中

定理2.1 設 A=（aij）∈Rn×n，B=（bij）∈Rn×n，是非奇異M-矩陣，則

證明：若A*B不可約，則A，B不可約．設λ是A*B的特征值且滿足τ（A*B）=λ.由引理2.1知，存在i（1≤i≤n），使

若A*B可約，Zn中的矩陣是非奇異M-矩陣的充要條件是它的所有順序主子式為正．令D=（dij）是n ×n階置換矩陣，且d12=d23=…=dn-1，n，n=dn1=1，其余的dij=0，則對于任意正實數t，當t充分小時，使得A-tD，B-tD 的所有順序主子式為正，從而A-tD和B-tD都是不可約非奇異M-矩陣，若用A-tD，B-tD代替A，B并令t→0，則結論仍然成立．

例2.1［6］設

由估計式τ（A*B）≥τ（A）τ（B）=0.191；

應用本文的定理2.1，得τ（A*B）≥2.4725．

事實上，τ（A*B）=3.2296 ．

注：通過例子的數值結果， 可知由定理 2.1的結果有效地改進現有的結果．

3 非負矩陣Hadamard積的譜半徑上界的估計

引理3.1［8］設n階矩陣A≥0，則下列結論之一成立

（1）A不可約；（2） 存在置換矩陣P，使得

其中Aii，（i=1，2，…，n）或不可約，或為0．

引理3.2［8］設A∈Rn×n，如果A有形如（*）式的不可約標準形，則

定理3.1 設A=（aij）∈Rn×n，B=（bij）∈Rn×n，且A，B≥0，則

定理3.2 設 A=（aij）∈Rn×n，B=（bij）∈Rn×n，且A，B≥0，則

例3.1［6］設

注：通過例子， 比較定理3.1、定理3.2的結果與其他相應的結果， 可以發現定理3.1和定理3.2提高了ρ（AB）的上界．

［1］ Horn R A， Johnson C R. Topics in matrix analysis［M］. New York： Cambridge University Press， 1991： 129， 131， 358-359.

［2］ 陳景良， 陳向暉. 特殊矩陣［M］. 北京： 清華大學出版社， 2000： 250， 449.

［3］ Fang M Z. Bounds on eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product of matrices［J］. Linear Algebra Appl， 2007， 425： 7-15．

［4］ Huang R. Some inequalities for the Hadamard product and the Fan product of matrices［J］. Linear Algebra Appl， 2008， 428：1551-1559．

［5］ Liu Q B， Chen G L. On two inequalities for the Hadamard product and the Fan product of matrices［J］. Linear Algebra Appl，2009， 431： 974-984．

［6］ Li Y T， Li Y Y， Wang R W， et al. Some new bounds on eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product of matrices［J］. Linear Algebra Appl， 2010， 432： 536-545.

［7］ 李艷艷， 李耀堂. 矩陣Hadamard積和Fan積的特征值界的估計［J］. 云南大學學報：自然科學版， 2010，（2）：125-129.

［8］ Berman A， Plemmons R J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences［M］. New York： Academic Press， 1979：26-27.

Bounds on Eigenvalues of the Fan Product and the Hadamard Product of Two M atrices

YANG Xiao-ying, LIU Xin
(Basic Education Department,Sichuan Information Technology Vocational College,Guangyuan 628017, China)

If A and B are nonsingular -matrices,a new lower bound on the m inimum eigenvalue for the Fan product of A and B and new upper bounds on the spectral radius of nonnegative matrces A and B are given in the paper. The bounds improve several existing results in some cases and the estimating formulas are easier to calculate for they only depend on the entries of matrices A and B.

Matrix; nonnegative matrix; Fan product; Hadamard product; m inimum eigenvalue; spectral radius

O151.21

： A

：1674-9200（2012）03-0031-05

（責任編輯 劉常福）

2012 - 05 - 04

楊曉英（1984 -），女，山西忻州人，四川信息職業技術學院基礎教育部助教，碩士，主要從事矩陣理論方面的研究．