固支/對邊固支對邊自由矩形板模型

羅加智，劉土光，張濤

(華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074)

復合材料優越的可設計性、高比強度、高比剛度，在工程結構中的應用日益廣泛.由于同等剛度前提下，復合材料板一般比鋼板厚度大得多，厚板結構在工程中更加常見，矩形板結構是主要的工程結構之一，有關矩形板的撓度問題是公認的難題.

文獻［1］利用Galerk in方法分析了von-Karman型兩鄰邊鉸支兩鄰邊夾緊正交各向異性矩形板;文獻［2-3］分別基于Kirchhoff薄板理論，解決了三邊固定一邊自由矩形板和兩對邊固定兩對邊自由矩形板的彎曲;文獻［4］用重三角級數分析對邊簡支對邊自由的矩形薄板在均布荷載作用下的彎曲變形;文獻［5］對矩形夾芯板振動作了幾何非線性分析;文獻［6］以3個位移分量及其一階導數為狀態變量，建立狀態方程，考慮四邊簡支邊界條件，得到了四邊簡支正交各向異性三維矩形板的精確解;文獻［7-8］對各向同性軸對稱復合圓板進行了三維線性分析.

經典薄板理論作了直法線假定，忽略了橫向剪應力的影響.對于薄板小變形，它具有足夠的精度，計算簡便，但當厚度較厚或大變形時，橫向剪切應力影響變得比較明顯時，經典薄板理論不再適用.

一階剪切理論由Mindlin［9］提出，假定板殼法線受力后仍為直線，但不再與中面垂直，引入了平均轉角φx、φy，由此可得出橫向剪切應力在厚度方向上均勻分布的結論，不能精確計算邊界效應和層間應力.后來不少學者引入了剪切應力修正系數，改善一階剪切理論的不足，但效果并不十分理想.

Reddy［10-11］在高階剪切理論基礎上，假定厚度方向不可壓縮，得出了5參變量位移模型，在一定程度上減小了高階剪切理論求解難度，相比一階剪切理論，計算精度有了很大提高，但在計算橫向剪切應力時誤差比較大，不能滿足工程設計需求.文獻［12-13］均強調了橫向剪切應力對厚板結構的影響，尤其對層合板結構的影響.

三維理論分析不做任何假定，可以精確反映面內和橫向應力、應變，但很難得出精確的解析解.

本文提出了一種新的模型，該模型具有較少參變量，兼顧了應變在厚度方向的變化，保留了橫向應力，并以均布橫向載荷，四邊固支及對邊固支對邊自由邊界條件為例進行了探討.

1 正交異性矩形板的邊界條件

均布橫向載荷下正交異性矩形板幾何尺寸及坐標系見圖1.

圖1 矩形板坐標系統及形狀Fig.1 Geometry of a rectangular plate

為簡化及更具有一般性，設定短邊為寬度2B，長邊為長度2A，以半寬B為尺度，建立新的無量綱體系，即

式中:W、U、V分別為z向撓度和x向、y向位移.

正交異性復合材料幾何方程為

物理方程為

上、下自由表面有:z=±h，τyz=0，τxz=0.

邊界條件如下:

1)四邊固支邊界CCCC:

2)對邊固支、對邊自由邊界CFCF:

本文假設x=±a邊為固支，則邊界條件為x= ±a，z=0時為自由邊，位移在y向變化小，τyz為小量，忽略周邊自由邊界條件的影響，即:不考慮y=±1，z=0時，τyz=0.

2 位移數學模型

本文在分析時，假設:撓度與板厚相比為小量，撓曲面的斜率很小，忽略不計;彎曲后的中面保持無應變.設位移函數為

其中，ui、vi、wi為(x，y)的函數，則

當z=±h時，γxz=γyz=0，可以得出:

于是w1=c0，從而:

則橫向剪應變為

2.1 CCCC下的待定函數

具有四邊固支邊界的矩形板，在均布載荷下，當復合材料鋪設角為零時，撓度具有雙向對稱性，面內位移具有垂向反對稱性和切向對稱性(垂向是指與位移垂直的方向，切向為與位移平行的方向，下文中如無特殊說明，定義相同)，同時，要滿足撓度對面內坐標偏導在中面邊界為零的條件，設定w0是 (a2－x2)2(1－y2)2的函數，w2是(1，x2，y2)的函數，令

由式(4)可知，式(2)顯然完全滿足了四邊固支邊界條件，其中ci全部為待定系數.將式(4)代入式(3)，然后將結果代入式(1)，可求出橫向剪應力，上下表面剪應力邊界條件得到了滿足，但周邊剪力邊界條件不滿足.為滿足剪力邊界條件，可將式(4)中的u3、v3改為

式中:c9=(3q/4h3－e55c8)/e44，其他ci為待定系數.

2.2 CFCF下的待定函數

具有對邊固支、對邊簡支邊界的矩形板，當固支邊為x=±a，自由邊為y=±1時，在均布載荷下，當復合材料鋪設角為零時，撓度具有雙向對稱性，面內位移具有垂向反對稱性和切向對稱性，同時，要滿足撓度在中面固支邊為零，在自由邊不為零，對面內坐標x的偏導在中面邊界x=±a為零的條件，設定w0是((a2－x2)2，y2)的函數，w2是(1，x2，y2)的函數，令

將式(5)代入式(2)，位移函數顯然完全滿足了固支邊為x=±a，自由邊為y=±1時的邊界條件.當固支邊為x=±1，自由邊為y=±a時，只需要將x和y對調即可.將式(5)代入式(3)，然后將結果代入式(1)，可求出橫向剪應力，但剪力邊界條件不滿足(ci全部為待定系數).為滿足剪力邊界條件，可將式(5)中的u3改為

式中:c10=3q0/4h3e55，其他ci為待定系數.

3 計算示例

將本文提出的方法與有限元Ansys作了計算對比，各向同性材料與已有的經典理論公式［13］進行了對比.Ansys計算時選用了各向異性單元Solid64，單元尺寸0.04b，單元形狀為六面體單元.由于材料性能、幾何尺寸、載荷關于x，y軸對稱，取1/4幾何模型進行分析，在x=0面和y=0面施加對稱約束.材料采用了文獻［6］的正交異性材料和各向同性材料.正交異性材料(Ⅰ)材料常數為:E11=10E22= 10E33，G12=G13=0.6E33，G23=0.5E33，μ12=μ13= μ23=0.25;各向同性材料(Ⅱ)材料常數為:E= 100GPa，μ=0.3.

對于各向同性材料方板，文獻［14］給出了四邊固支邊界條件下方板承受均布載荷時，發生在板中央的最大撓度計算式;文獻［3］給出了對邊固支、對邊自由CFCF邊界條件下方板承受均布載荷時，發生在板中央和自由邊中心的最大撓度計算式.將上式無量綱化，并將抗彎剛度代入得:

1)四邊固支邊界條件CCCC:

2)對邊固支、對邊自由CFCF:

圖2、3為采用正交異性材料Ⅰ，a=2，h=0.2，矩形板上表面撓度與Ansys的比較圖.

圖2 CCCC條件下，矩形板上表面撓度分布Fig.2 Distribution of surface deflection of rectangular plate with CCCC

圖3 CFCF條件下，矩形板上表面撓度縱向分布Fig.3 Distribution of surface deflection of rectangular plate with CFCF

圖2、3表明以下規律:

1)沒有考慮剪力邊界條件時，與Ansys撓度計算值十分接近，二者計算出的上表面最大撓度的相對誤差在四邊固支邊界條件下不超過3%;在對邊固支、對邊自由邊界條件下相對誤差不超過8%.

2)在固支邊界上，所得曲線的斜率接近于零，而Ansys撓度曲線有較大的斜率.這一問題與有限元形函數設定有關，其影響有待于進一步研究.

3)考慮與不考慮剪力邊界條件，在四邊固支邊界條件下及對邊固支對邊自由邊界條件下結果明顯不同.二者計算出的上表面最大撓度的相對誤差在四邊固支邊界條件下，大于10%;在對邊固支、對邊自由邊界條件下相對誤差大于20%.

表1、2中的本文方法沒有考慮剪力邊界條件，對由正交異性材料構成的矩形板，采用不同的厚跨比、不同的長寬比，與Ansys進行了計算對比.

表1顯示了在厚跨比變化時，方板具有的以下規律:1)在四邊固支邊界條件下，最大撓度計算值略大于Ansys計算值，相對誤差不超過5%，且隨厚跨比的增加，相對誤差減小.2)在對邊固支、對邊自由的邊界條件下，最大撓度計算值小于Ansys計算值，相差不超過8%，隨厚跨比的增加，相對誤差變化不大.

表1 材料Ⅰ在a=1，x=0，z=－h時的wE33/2qhTable 1 wE33/2qh of materialⅠwhile a=1，x=0，z=－h

表2 材料Ⅰ在x=0，z=－h=－0.3時的wE33/2qhTable 2 wE33/2qh of materialⅠwhile z=－h=－0.3

表2顯示矩形板在長寬比變化時，具有以下規律:1)在四邊固支邊界條件下，撓度最大值發生在中心，略大于Ansys計算值，當長寬比不大于2時，二者相對誤差不超過5%，當長寬比不大于3時，二者相對誤差不超過10%.2)在對邊固支、對邊自由的邊界條件下，撓度最大值發生在自由邊上，小于Ansys計算值，當長寬比大于2時，二者相對誤差不超過5%，當長寬比小于2時，二者相對誤差不超過8%.

表3、4中沒有考慮剪力邊界條件，對由各向同性材料構成的矩形板，在不同邊界條件下，與Ansys及經典薄板理論進行了計算對比.計算采用了不同的厚跨比、不同的長寬比.表4中引用了文獻［6］給出的對各向同性材料矩形板計算結果.

表3顯示了方板，厚跨比變化時，具有的以下規律:1)在四邊固支邊界條件下，對于各向同性材料方板，不同的厚跨比，最大撓度略大于Ansys計算值，相對誤差不超過5%，且隨厚跨比的增加，相對誤差減小;當跨厚比為0.05時，與經典理論值間的相對誤差小于0.5%，Ansys與經典理論值間的相對誤差為3.6%.2)在對邊固支、對邊自由的邊界條件下對于各向同性材料方板，不同的厚跨比，最大撓度小于Ansys計算值，相對誤差不超過6%，隨厚跨比的增加，相對誤差變化不大;當跨厚比為0.05時，與經典理論值間的租對誤差小于0.5%，Ansys與經典理論值間的相對誤差為1.6%;當跨厚比為0.1時，與經典理論值間的相對誤差小于9.6%，Ansys與經典理論值間的誤差為11.7%.3)當為薄板時，比Ansys更接近與經典理論值.

表4顯示各向同性矩形板在長寬比變化時所具有的規律:1)在四邊固支邊界條件下，撓度最大值發生在中心，最大撓度略大于Ansys計算值，當長寬比不大于2時，二者相對誤差不超過5%，當長寬比小于3時，二者相對誤差不超過10%.2)在對邊固支、對邊自由的邊界條件下，撓度最大值發生在自由邊上，不同的長寬比，最大撓度略小于Ansys計算值，二者相對誤差不超過5%.值得一提的是，當面內應力用本文方法求出后，橫向應力可通過三維平衡方程精確求出，限于篇幅，本文未給出該示例.

表3 材料Ⅱ在a=1，x=0，z=－h時的wE33/2qhTable 3 wE33/2qh of materialⅡwhile a=1，x=0，z=－h

表4 材料Ⅱ在x=0，z=－h=－0.3時的wE33/2qhTable 4 wE33/2qh of materialⅡwhile x=0，z=－h=－0.3

4 結論

本文通過對一階剪切理論、高階剪切理論的分析，以均布橫向載荷，各類邊界條件為例，探討了適用于各類板厚正交異性矩形板的新的數學模型，并通過計算示例得如下結論:

1)通過與Ansys和經典理論計算結果比較可知，不同邊界條件下矩形板在均布橫向載荷作用下，撓度變化規律與Ansys基本一致，表明提出的復合材料矩形厚板受均布荷重的位移函數是合理可行的.

2)當不計及剪力的邊界條件時與Ansys計算結果接近，當計及剪力邊界條件時，位移值略小于Ansys的位移值.

3)當面內應力用本文方法求出后，橫向應力可通過三維平衡方程精確求出.

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