雙錐面二次包絡環面蝸桿傳動多目標優化設計

邱清盈，舒勤業，馮培恩，朱肖虎，曹磊

(浙江大學機械工程學系，浙江杭州310027)

環面蝸桿副傳動相對于普通圓柱蝸桿傳動，具有同時嚙合齒數多、嚙合時呈雙線接觸、接觸點的法向速度大、綜合曲率半徑大、接觸應力小、易形成油膜等優點，因此具有更高的傳動效率和承載能力，更長的使用壽命.環面蝸桿副傳動在冶金、采礦、軍工、化工、造船等領域已得到了廣泛的應用.環面蝸桿按產型面的不同可分為直廓環面蝸桿、平面包絡環面蝸桿、錐面包絡環面蝸桿以及雙錐面包絡環面蝸桿，根據是否以一次包絡所得的滾刀產型面來加工蝸輪又可分為一次和二次包絡環面蝸桿傳動.

國內外學者針對各種類型的蝸桿傳動副，在模型建立、嚙合性能分析、加工修型、優化設計等各方面開展了長期的研究［1-4］.在環面蝸桿副的優化設計方面，學者也做了相關的研究［5-9］，建立了各種不同類型，不同優化目標的優化設計模型.

雙錐面二次包絡環面蝸桿傳動不僅具有環面蝸桿副的承載能力大、傳動效率高及使用壽命長的優點，而且不易引起蝸桿邊齒頂變尖和根切等加工問題.在加工時，由于其左右側齒面同時進行磨削，在生產效率方面也有很大的優勢.但國內外針對雙錐面二次包絡環面蝸桿副的研究卻較少.本文以雙錐面二次包絡環面蝸桿作為研究對象，結合自主研發的加工和檢測設備，對該種環面蝸桿傳動進行多目標優化設計，以期獲得一種比較通用的設計方法，使雙錐面二次包絡環面蝸桿副達到更優的性能.

1 雙錐面二次包絡環面蝸桿副模型

選擇如圖1所示的坐標系，建立蝸桿副的數學模型.其中σo1(O1;io1，jo1，ko1)為蝸桿靜坐標系，σo2(O2;io2，jo2，ko2)為蝸輪靜坐標系，σod(Od;iod，jod，kod)為刀座靜坐標系.σo1、σo2、σod均與機架固連.σ1(O1;i1，j1，k1)、σ2(O2;i2，j2，k2)、σd(Od;id，jd，kd)分別與蝸桿、蝸輪、刀座固連.k1=ko1，k2=ko2，kd= kod.蝸桿轉角為φ1，蝸輪轉角為φ2，φ2=i21φ1，i21為蝸輪蝸桿的傳動比，初始位置φ1=φ2=0°，σ1與σo1重合，σ2與σo2重合.刀座轉角為φd，蝸桿毛坯轉角為φ，φd=id1φ，id1為刀座與蝸桿毛坯的速比，初始位置φ=φd=0°，σd與σod重合.

圖1 雙錐面二次包絡環面蝸桿副的坐標系Fig.1 Coordinate system for dual-cone double enveloping hourglass worm gear pair

如圖2所示，砂輪的齒形角為αd，齒頂寬為sa.取坐標系σa(Oa;ia，ja，ka)與砂輪固連.產形雙錐面Σd在σa里的方程為

式中:xa=－ucosαdcos θ+rdcos θ，ya=－ucosαdsin θ+ rdsin θ，za=±(usinαd+0.5sa).

式中:za取正，表示砂輪右側;za取負，表示砂輪左側.

在Σd任一點Q處的切平面上建立活動坐標系σd(Q;αξ，aη，n).對式(1)進行σa→σd坐標變換，可得到產形雙錐面Σd在σd里的方程:

式中:R［id，－(90°－β)］的意義是表示矢量繞id轉過－(90°－β)角度的回轉矩陣.

式(2)通過σd→σod→σo1→σ1的轉換，最終可將產形面上的嚙合點在刀座動坐標系中的位置表達，轉換到蝸桿動坐標系:

一次包絡共軛條件方程為

根據式(4)，可求出砂輪上的嚙合點，將求得的嚙合點參數代入式(3)，即可得到在σ1里蝸桿上的各個接觸點.這些接觸點就組成了在σ1里的蝸桿螺旋面Σ1.

圖2 雙錐面砂輪在坐標系中的位置Fig.2 The position of dual-cone grinding wheel at the coordinate system

雙錐面二次包絡蝸輪的加工過程，是以滾刀齒面作為成型面，進行二次包絡對蝸輪齒面的成形.因此，建立蝸輪齒面模型即為求解二次包絡過程中產出的蝸輪齒面嚙合點.

通過σ1→σo1→σo2→σ2的轉換，可獲得嚙合點在蝸輪動坐標系中的位置表達:

蝸桿副二次包絡共軛條件方程為

根據式(6)，可求出滾刀上的嚙合點，將求得的嚙合點的參數代入式(5)中，即可得在σ2里蝸輪上的各個接觸點.而所有的接觸點就構成了在σ2里蝸輪齒面Σ2.

2 優化模型的建立

2.1 優化參數的選擇

設計開發一套新的蝸輪蝸桿減速器，首先應提出中心距a和傳動比i這2個基本條件.蝸桿的頭數z1和蝸輪的齒數z2根據傳動比i的要求進行選擇.此外，針對雙錐面二次包絡環面蝸桿傳動，還需要確定其他3個重要的參數，分別是蝸桿分度圓直徑系數k1、主基圓直徑系數k2和產型面傾角β.如表1所示，這3個參數又影響到蝸桿副其他的幾何參數，從而影響蝸輪蝸桿減速器的綜合性能.常規設計時，k1、k2和β都是根據經驗在推薦的一定的范圍內選取的，為此，本文選擇這3個參數作為所建立的優化模型的優化參數，即:

表1 雙錐面二次包絡環面蝸桿副部分幾何參數Table 1 The geometric parameters of the dual-cone double enveloping hourglass worm gear pair

由第1節可知，蝸輪蝸桿副的齒面模型，與參數αd、sa、a0、β、a、rd有關.其中a根據設計要求確定，rd根據加工的條件決定，均可設為一定值;αd、sa與蝸桿副中的主基圓直徑db、蝸桿分度圓壓力角α等密切相關，受優化參數k2的影響;a0=a－0.5df1－rd，受優化參數k1的影響;而β即為優化參數之一.可見，蝸桿分度圓直徑系數k1、主基圓直徑系數k2和產型面傾角β這3個參數的選擇，對蝸桿副的齒面模型有著直接的影響.

2.2 優化目標

在現有的平面環面蝸桿優化研究中，一般以提高潤滑性能和減小傳動副體積為優化目標，但只是以環面蝸桿的一次接觸性能為基礎進行分析，沒有將環面蝸桿雙線接觸的傳動特性進行綜合分析，而且也沒有考慮二次接觸線的分布位置.

本文對雙錐面二次包絡環面蝸桿優化設計的研究，基于優先提高性能的考慮，追求更高的傳動效率和更優的承載能力2個方面性能.傳動效率主要取決于潤滑條件，可以蝸桿副傳動時的油膜厚度為參考因素，承載能力則受接觸線分布情況影響較大，因此選擇油膜厚度最厚、一次和二次接觸線分布范圍最廣作為優化目標.

2.2.1 油膜厚度的幾何系數

根據彈性流體動壓潤滑理論，蝸桿副接觸齒面間油膜厚度，可按道森(Dowson)公式進行計算:

式中:κ12N表示蝸桿副沿瞬時接觸線法向的誘導法曲率;W表示作用在單位齒寬上的載荷;Ch表示與潤滑油的運動粘度、壓粘系數及蝸桿蝸輪材料的彈性模量和泊松比有關的系數;vn表示相對卷吸速度.

蝸桿副沿αξ和αη方向的誘導法曲率為

式中:Nξ和Nη為蝸桿副瞬時接觸線上任一點處的法矢量N沿αξ和αη方向的分量，Ψ為蝸桿副二次包絡曲率干涉界限函數.

根據式(9)、(10)，可求出蝸桿副沿瞬時接觸線法向的誘導法曲率為

計算蝸桿副齒面間油膜厚度時，還需要求相對卷吸速度，即

式中:v1和v2分別為蝸桿副嚙合點處的蝸桿和蝸輪的線速度

在不考慮潤滑油和蝸輪蝸桿材料性質，以及具體載荷的情況下，可選擇油膜厚度的幾何系數作為油膜厚度的評定參數［5］:

在蝸桿副不同的嚙合角度和蝸桿齒面不同的嚙合位置，油膜厚度的幾何系數各不相同.為了獲得最優的潤滑條件，需要使接觸面間的最小油膜厚度最大.由于蝸桿副嚙入端蝸桿齒根處的油膜厚度最小，因此，以該位置處的油膜厚度幾何系數建立優化目標模型，即

2.2.2 接觸線分布

雙錐面二次包絡環面蝸桿具有雙線接觸的特性，包括一次接觸線和二次接觸線，其中一次接觸線是產型面上接觸線在蝸輪齒面上的再現，二次接觸線是滾刀加工蝸輪的過程中產生的新接觸線，傳動過程中2類接觸線同時作用.從工作起始角處開始，一次和二次接觸線由蝸輪兩側面逐漸向蝸輪中心對稱面附近移動.雙錐面二次包絡環面蝸桿副的一次和二次接觸線在蝸輪齒面上的分布，不能過寬，也不能過窄.分布過寬時，工作起始角處的接觸線在蝸輪齒面的外側，這表示從工作起始角處開始的一定角度內，蝸輪外側齒面未參與嚙合，這將減少參與嚙合的蝸輪齒數，從而降低了蝸桿副的承載能力.反之，當接觸線在蝸輪齒面分布過窄時，接觸線會集中于蝸輪齒面的中心對稱面處，從而降低齒面強度，縮短了蝸桿副的使用壽命.

為了獲得較好的分布區域，即接觸線分布范圍和蝸輪齒面的重合度更高，需要使工作起始角處的接觸線，即最外側的接觸線，與蝸輪側面的距離越小越好.為了具有代表性，選擇該接觸線位于蝸輪分度圓處的接觸點為參考點建立目標模型，即

式中:zj表示接觸線的位置方程，j=1表示一次接觸線，j=2表示二次接觸線，其計算見式(5);B表示蝸輪齒寬.

2.3 約束條件

如2.1節所述，與蝸桿分度圓直徑系數k1、主基圓直徑系數k2和產型面傾角β相關的約束主要考慮避免環面蝸桿根切和蝸桿齒頂變尖.

2.3.1 避免環面蝸桿根切

為了在加工環面蝸桿的過程中避免發生根切，需要保證一次包絡的曲率干涉界線Ψd在蝸桿齒根環面之內.為建模方便，只需要保證根切曲線與蝸桿齒根環面之間的最小徑向距離處不發生根切即可.經計算分析，可得一次包絡曲率干涉界限在蝸輪齒面內的變化，如圖3所示.

圖3 一次包絡曲率干涉界線Fig.3 Once-enveloping curvature interference limit line

曲率干涉界限徑向距離變化趨勢，如圖4所示.可見，在工作起始角處，對應根切曲線的最右側位置，其徑向距離最小.所以選擇約束條件:

式中:L表示根切曲線與蝸桿齒根環面之間的最小徑向距離.

圖4 L隨φd的變化趨勢Fig.4 The curve of L and φd

2.3.2 避免蝸桿齒頂變尖

環面蝸桿與普通圓柱蝸桿相比，成型面在蝸桿齒面上的嚙合點隨著刀座轉角的變動而變動，所以蝸桿的齒頂寬度隨著刀座轉角變化.利用蝸桿左右兩側的齒面方程對蝸桿齒頂寬進行計算［10］，可知蝸桿邊齒頂寬最小.為了避免蝸桿齒頂變尖，則需要保證:

式中:ks表示邊齒頂寬度系數;sb表示邊齒頂寬;mt表示蝸輪端面模數.

2.4 模型的建立與求解

通過以上優化模型建立各要素的討論，可確定雙錐面二次包絡環面蝸桿副多目標優化模型:

利用浙江大學機械設計研究所開發的柔性優化軟件FlxOpt，建立上述優化模型.設定油膜厚度的幾何系數和接觸線分布的權重各為0.5，而在油膜厚度幾何系數和接觸線分布中，又分別設定一次接觸線二次接觸線的權重為0.5，如圖5所示.

圖5 柔性優化軟件FlxOpt界面Fig.5 Interface of the flexible optimization designing software FlxOpt

3 雙錐面二次包絡環面蝸桿副優化設計實例

設計的雙錐面二次包絡環面蝸桿傳動的中心距為a=75 mm，傳動比i=40，采用單頭蝸桿，蝸輪齒數為40.加工時，取砂輪半徑rd=100 mm.取原始優化參數X=［0.35，0.63，10°］，經優化之后所得參數為X=［0.37，0.62，10.5°］.模型目標經優化后結果如表2所示.

表2 優化結果對照表Table 2 Comparison of optimization results

根據雙錐面二次包絡環面蝸桿副的數學模型，選取u=0的位置，即蝸輪齒根處，對其油膜厚度幾何系數kh進行計算分析，結果如圖6.對雙錐面二次包絡環面蝸桿副的接觸線進行計算分析，結果如圖7、8.

圖7中，線1及1'為工作起始角處(φ2=－17.7°)的一次接觸線和二次接觸線，線2～9和線2'～8'對應的φ2從－14°以4°的增量遞增，最后線10為工作結束角處(φ2=17.7°)的一次接觸線.

圖8中表示了蝸桿副的雙線接觸性能.經計算可知，優化前當φ2=－15.1°時，蝸輪齒面上開始出現二次接觸線，蝸桿副開始具有雙線接觸的性能，而當φ2=13.2°時，齒面上的二次接觸線消失;而優化后，當φ2=－16.8°時，蝸輪齒面上開始出現二次接觸線，當φ2=14.6°時，齒面上的二次接觸線消失.

由表2及圖6～8可見，經過優化后，雙錐面二次包絡環面蝸桿副在約束的范圍內，油膜厚度幾何系數有所提高，其接觸線分布范圍與蝸輪齒面的重合度也有所提高，并且還具有了更長的雙線接觸區域.

為了從實驗中對優化模型的效用進行分析，本文設計并搭建了用于實際數據測試的試驗平臺和數據處理系統.其中試驗平臺設計方案如圖9所示.利用自主研制的雙錐面二次包絡環面蝸桿副加工設備，根據優化前后的設計參數，加工了2套用于對比實驗的環面蝸桿減速器.對這2套環面蝸桿減速器，采用相同的裝配和安裝方式，并且使用同種潤滑油.最后，利用搭建的蝸桿減速器試驗平臺對轉速、轉矩和傳動效率進行了測試.

經過測試可以得到，雙錐面二次包絡環面蝸桿副減速器在優化前最高傳動效率為57.39%，而優化后的最高傳動效率能夠達到62.56%.通過上述實驗數據可知，利用上述多目標優化模型，對雙錐面二次包絡環面蝸桿副進行優化后，其傳動性能有了一定的提高，從而證明該優化模型具有實際的效能.

圖6 優化前后的油膜厚度幾何系數Fig.6 The geometrical coefficient of the oil film thickness before and after optimization

圖7 優化前、后接觸線在齒面上的分布情況Fig.7 The distribution of the contact lines before and after optimization

圖8 優化前、后蝸桿副雙線接觸性能分析Fig.8 Analysis of dual-line contact performance before and after optimization

圖9 試驗平臺設計方案Fig.9 Design of the test platform

4 結論

1)與普通圓柱蝸桿副相比，潤滑性能和雙線接觸體現了雙錐面二次包絡環面蝸桿副優越的傳動和承載性能，本文集中這2個方面的內容為優化目標，建立了多目標優化模型.

2)在考慮潤滑性能這一優化目標時，選取油膜厚度的幾何系數作為油膜厚度的評定參數.而在考慮承載能力這一優化目標時，不僅考慮了一次接觸線的分布，而且同時考慮了二次接觸線的分布情況.

3)通過理論分析和實驗測試對優化前后的雙錐面二次包絡環面蝸桿副進行了對比，驗證了該模型的有效性，為后續深入研究的開展提供了參考的方向.

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