利用延時預處理的DOA估計方法

司偉建，林晴晴

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，黑龍江哈爾濱150001)

波達方向(direction of arrival，DOA)估計是陣列信號處理領域的一個重要研究方向，在雷達、聲吶、通信及醫學成像等領域有著廣泛的應用前景.其中子空間類測向算法因其可同時對多個到達信號進行測向，測角精度也遠高于的傳統測角方法而成為研究熱點.MUSIC算法［1］是其中一種經典的子空間類算法，該算法主要是利用噪聲子空間與信號子空間的正交性進行DOA估計.由MUSIC算法的分辨力門限［2-3］可知，其分辨力與信噪比、快拍數等因素有關，而在實際測向系統中這些影響因素均受到條件限制［4］，因此也限制了MUSIC算法的分辨力.基于四階累積量的波達方向估計方法［5-6］可以提高陣列的分辨力，但是四階累積量協方差矩陣的構造以及新陣列流型的譜峰搜索過程非常復雜.文獻［7］提出的算法提高了陣列的分辨力，但是需要先估計變換矩陣，計算變得復雜，且對變換矩陣的估計精度會影響DOA估計的精度.經典MUSIC算法利用零延遲相關函數計算接收數據協方差矩陣，隱藏在非零延遲相關函數中的信息沒有得到充分利用.文獻［8］利用高階累積量算法將延遲相關函數應用于波達方向估計的預處理中，但基于高階累積量測向算法的計算量卻增大很多.劉劍等［9-10］利用延遲相關函數及其共軛信息提出了二階預處理的SO-CAM算法，但是僅利用了部分相關信息.本文提出了一種利用延時預處理的DOA估計方法，引入變尺度混沌優化算法來簡化空間譜函數的構造和譜峰搜索過程，在保證一定的測角精度的情況下減少算法的計算時間.

1 信號模型

假設有D個窄帶不相關的信號從遠場入射到空間M元陣列上，第i個信號的入射角度信息為(θi，φi)，噪聲是均值為零、方差為σ2加性高斯白噪聲.以原點為參考點，第m個(m=1，2，…，M)陣元的位置為(xm，ym)，其接收數據為

式(1)寫成矩陣矢量形式:

式中:X(t)為陣列的M×1維接收數據矢量，S(t)為空間信號的D×1維矢量，N(t)為陣列的M×1維噪聲數據矢量，A=［a1a2…aD］為陣列的M×D維流型矩陣，且

陣列輸出的協方差矩陣為

式中:Rs=E［S(t)SH(t)］為信號協方差矩陣，σ2I為噪聲協方差矩陣.

對協方差矩陣進行特征分解有

式中:λi為特征值，對其進行由大到小排序:λ1≥…≥λD≥λD+1≥…≥λM;ΛS=diag(λ1，…，λD)是前D個大特征值構成的對角陣，US=［e1，…，eD］是由其對應的特征向量張成的信號子空間;ΛN= diag(λD+1，…，λM)是由后M－D個小特征值構成的對角陣，UN=［eD+1，…，eM］是由其對應的特征向量張成的噪聲子空間.由

構造MUSIC算法的空間譜估計函數，通過搜索其極值點得到入射信號的波達方向.

2 利用延時預處理的DOA估計方法原理

MUSIC算法理論上有優良的分辨性能，但是在實際測向系統中，由于信噪比及快拍數都有限，限制了MUSIC算法的分辨率和測角精度.本文提出的基于陣元間接收數據的延時相關函數的DOA估計算法，充分利用了蘊含在接收數據的延時相關函數中的信號角度信息，可以有效提高陣列的分辨率和測角精度.

構造任意2個陣元(第m和第n個陣元，m，n= 1，2，…，M)接收數據的延時相關函數為

式中:Rsi(τ)=E［si(t)(t－τ)］為入射信號si(t)的自相關函數;Rnmnn(τ)=E［nm(t)(t－τ)］為噪聲的互相關函數.

當存在一定的時延τ時，這里可以令時延τ遠小于入射信號帶寬的倒數，在時間τ內入射信號包絡的變化可以忽略，而噪聲不再具有相關性，此時信號和噪聲存在一個可分離特性.在實際系統中，信號在時間上具有相關性，當接收機的帶寬較寬時，噪聲的功率譜近似為一條直線，在時間上可以認為噪聲是不相關的，因此有

則式(7)可以寫為

式中:RS(τ)=［Rs1(τ)Rs2(τ) … RsD(τ)］T，Cm，n=［exp{－j(μm1－μn1)} … exp{－j(μmD－μnD)}］.

可以將Cm，n寫成2個矩陣相乘的形式，即

式中:Bn=diag(exp(jμn1)，exp(jμn2)，…，exp(jμnD))為對角陣，Am為陣列流型矩陣 A的第m行，且Am=［exp(－jum1)，exp(－jum2)，…，exp(－jumD)］.

由此可得陣元間的延時相關函數為

式中:Yk(τ)為Y(τ)的第k列(k=1，2，…，M)數據，結合式(10)可得

由延時相關函數構造新的協方差矩陣為

式中:RSS=E［RS(τ)R(τ)］為信號的協方差矩陣，為經過延時相關處理的信號的協方差矩陣.由上式看到新的協方差矩陣不受加性高斯白噪聲的影響，即本算法可以有效地抑制噪聲.

對比式(4)，經過延時相關處理得到的協方差矩陣保留了原協方差矩陣的流型矩陣，改變了信號的協方差矩陣，這對信號子空間與噪聲子空間的構成沒有影響，因此可以利用子空間類算法估計信號的到達角.

經過延時相關處理得到的協方差矩陣充分利用了所有陣元間的延時相關信息，增加了協方差矩陣的信息量，可以有效提高陣列的分辨率和測角精度.

實際接收數據是有限長的，因此得到的協方差矩陣為其估計值，即式(8)右側不為零，但是其值為接近于零的一個很小的值，噪聲項依然可以得到有效抑制.設一次估計所用的快拍數為N，則數據協方差矩陣的最大似然估計為

對式(14)進行特征分解，得到M個特征值并由大到小進行排序，取M－D個小特征值對應的特征向量構成噪聲子空間U^N.

空間譜估計函數的構造和譜峰搜索過程是一個復雜且耗時的過程，影響著信號波達方向估計的測角精度和實時性.為了解決該問題，引入混沌優化的思想，用變尺度混沌優化算法［11-12］來簡化空間譜函數的構造和譜峰搜索過程.具體過程如下:

采用Logistic映射產生混沌變量:

1)初始化.設置循環數L和N，以及搜索到較優值的次數K，令k=0.在［0，1］內隨機選取i個(i= 1，2，…，D)微小差異的初始值xi，0，并令=xi，0，優化變量區間［ci，bi］，設置優化函數的初始值p*(x)為一個較小的數;

2)把xi，n分別映射到對應的定義域中:xi，n'= ci+xi，n(bi－ci)，將其代入到優化函數中并進行比較:若p(xi，n')＞p*(x)，則令p*(x)=p(xi，n')，;若k≥K，則轉入步驟4)，否則進入步驟3).

這里的優化函數由式(6)來計算，即優化函數可以寫為

3)將xi，n代入Logistic式中得到:

5)令m=m+1.如果m＜L，則令ci=ci'，bi= bi'，并且返回步驟2)，否則進入步驟6);

6)滿足搜索停止條件，從較小的p*(x)中得到最優參數值.

傳統的譜峰搜索過程計算量很大，尤其對于二維DOA估計，需要在方位角和仰角范圍內計算空間譜函數值，然后進行譜峰搜索，也就是將某一譜函數值與相鄰的4個值不斷的進行比較來找出譜峰值.并且需要設置合適的角度搜索步長，搜索步長的大小與計算時間成反比.步長設置較小可以保證高的測角精度和分辨率，但是計算時間會急劇增大;步長較大可以縮短計算時間，但是測向性能會下降.而本文方法是通過生成混沌變量，將混沌引入到譜估計函數中，生成一個混沌狀態，最后利用變尺度混沌優化算法來進行譜估計函數的構造和譜峰搜索便可得到入射信號波達方向.

總結本文算法具體步驟如下:

1)由式(7)、(11)計算陣元接收數據之間的延時相關函數，得到新的陣列輸出矩陣Y(τ).

4)用變尺度混沌優化算法進行譜峰搜索，得到入射信號的波達方向.

3 DOA估計算法性能仿真分析

通過仿真實驗驗證本文所提出算法的性能，并與MUSIC算法及SO-CAM算法進行比較，仿真過程中所采用的陣列形式為均勻分布在圓周上的5元陣，噪聲為加性高斯白噪聲.

3.1 分辨概率

對不同信噪比條件下的分辨概率進行仿真，快拍數取300，進行100次獨立實驗，統計仿真結果如圖1;對不同快拍數條件下的分辨概率進行仿真，信噪比取13 dB，進行100次獨立實驗，統計仿真結果如圖2.實驗中分辨概率的定義為能夠正確分辨出所有角度的次數與實驗次數的比值.

圖1 分辨概率與信噪比的關系Fig.1 The relationship between resolution and SNR

圖2 分辨概率與快拍數的關系Fig.2 The relationship between resolution and snapshots

由圖1、2可以看出，3種算法對2個信號的分辨概率均隨著信噪比的增加而增大，隨著快拍數的增多而增大，相同條件下本文提出算法的分辨概率相對SO-CAM算法和MUSIC算法均有一定的提高.本文算法充分利用了所有陣元接收數據的延時相關函數的信息，對信息的利用更加充分，因此提高了二維入射信號的分辨概率.

3.2 測角精度

對不同信噪比條件下的均方根誤差進行統計，快拍數取300，進行100次Monte Carlo實驗，統計仿真結果如圖3;對不同快拍數條件下的均方根誤差進行統計，信噪比取13dB，進行100次Monte Carlo實驗，統計仿真結果如圖4.第i(i=1，2，…，D)個入射角的均方誤差定義為

由圖3、4可以看到，3種算法估計結果的均方誤差均隨著信噪比的增加而減小，隨著快拍數的增多而減小，同樣的條件下本文算法的均方誤差在3種算法中最小.本文算法相當于利用了所有陣元接收數據的延時相關函數的信息，對信息的利用更加充分，進而提高了測角精度.

圖3 均方誤差與信噪比的關系Fig.3 The relationship between estimated variance and SNR

圖4 均方誤差與快拍數的關系Fig.4 The relationship between estimated variance and snapshots

3.3 計算時間

變尺度混沌優化算法進行譜峰搜索時共有3個常數:混沌搜索次數(內循環次數)、區間縮小次數(外循環次數)和混沌搜索找到較優值的次數.通過大量的仿真證明，三者的取值范圍為100～1 000、 10～30、4～10時可以取得較好的效果.在仿真試驗中，進行100次獨立實驗，對不同快拍數下的計算時間進行統計取平均，結果如表1.

表1 不同快拍數的計算時間Table 1 Computing time of different snapshots ms

引入變尺度混沌優化算法可以簡化空間譜函數的構造和譜峰搜索過程，由實驗結果可以看到，本文算法的計算時間明顯減小.

4 結束語

本文提出了一種利用延時預處理的DOA估計方法，通過仿真實驗表明:相比于傳統MUSIC算法，本文算法具有較好的分辨率和較高的測角精度，這是因為本文算法利用了接收數據延時相關函數中蘊含的信號入射角度信息，對信息的利用更充分;在保證一定的測角精度的情況下，本文算法減小了計算時間，這是由于變尺度混沌優化算法簡化了空間譜估計函數的構造和譜峰搜索過程，降低了運算復雜度.

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