一類(lèi)控制方向未知的非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)

張戌希

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制與仿真中心，黑龍江哈爾濱150001)

輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題是設(shè)計(jì)一個(gè)反饋控制律使得被控系統(tǒng)的輸出能夠漸近的跟蹤一個(gè)由外部系統(tǒng)產(chǎn)生的參考輸出，并且漸近抑制由外部系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾.從20世紀(jì)90年代開(kāi)始，非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題成為控制理論的核心問(wèn)題之一［1-4］.當(dāng)外部系統(tǒng)是線性的時(shí)候，輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題得到了廣泛深入的研究［5-7］.然而，當(dāng)外部系統(tǒng)是非線性時(shí)，相關(guān)的研究卻很少［8-9］.

在控制方向已知的條件下，應(yīng)用魯棒控制方法，文獻(xiàn)［9］研究了具有非線性外部系統(tǒng)(2)的非線性系統(tǒng)(1)的全局魯棒輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題.眾所周知，魯棒控制方法本質(zhì)上是一個(gè)高增益反饋控制.當(dāng)控制方向未知時(shí)，文獻(xiàn)［9］中的方法就不適用了.然而，Nussbaum增益技術(shù)是處理控制方向未知的強(qiáng)有力的方法［10］.當(dāng)控制方向未知的時(shí)候，還沒(méi)有關(guān)于具有非線性外部系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)全局魯棒輸出調(diào)節(jié)的研究結(jié)果.因此，本文將Nussbaum動(dòng)態(tài)增益技術(shù)、自適應(yīng)控制方法和魯棒穩(wěn)定性技巧結(jié)合起來(lái)，研究了具有非線性外部系統(tǒng)和控制方向未知的不確定非線性系統(tǒng)全局魯棒輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題.

1 問(wèn)題的提出

考慮如下的不確定非線性系統(tǒng):

式中:x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)，y∈R是系統(tǒng)輸出，u∈R是系統(tǒng)輸入，e∈R是跟蹤誤差，w∈Rnw是不確定參數(shù)，h(w)表示控制方向，v∈Rnv是外部干擾或參考輸入，并且由如下的外部系統(tǒng)生成:

假設(shè)系統(tǒng)(1)和(2)中的所有函數(shù)都是光滑的，且對(duì)所有的不確定參數(shù)w∈Rnw，都有G(0，0，w)=0，K(0，0，w)=0，D1(0，w)=0，D2(0，w)=0，q(0，w)=0，a(0)=0成立.

全局魯棒輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題就是設(shè)計(jì)一個(gè)只依賴(lài)于e和v的反饋控制器，使得對(duì)任意的v(0)∈V和w∈W，其中V，W分別是Rnv和Rnw上的任意已知緊集，對(duì)任意的初始條件，閉環(huán)系統(tǒng)的軌線在［0，+∞)都存在并且有界，跟蹤誤差e(t)漸近趨于0.

2 內(nèi)模設(shè)計(jì)與問(wèn)題轉(zhuǎn)化

首先，引入如下假設(shè):

假設(shè)1［8］對(duì)系統(tǒng)(1)和(2)，存在一個(gè)充分光滑的函數(shù):

滿足x(0，w)=0，使得對(duì)任意的(v，w)∈Rnv×W，都有

假設(shè)2 對(duì)任意的w∈Rnw，有h(w)≠0.

注1 在假設(shè)2下，可知系統(tǒng)(1)的控制方向是未知的.然而，存在正數(shù)hM和hm，使得對(duì)任意的w∈W，都有hM＞|h(w)|＞hm.

此外，在假設(shè)1和假設(shè)2下，令

那么，x(v，w)，y(v，w)，u(v，w)就組成系統(tǒng)(1)和(2)的調(diào)節(jié)器方程的解.

對(duì)于非線性外部系統(tǒng)(2)，存在一個(gè)正整數(shù)k≥2，和一組矩陣A1，A［i］∈Rnv×nv，i=2，…，k，使得系統(tǒng)(2)可以表示為［8］

其中a［i］(v)，i=2，…，k，是充分光滑的函數(shù)，滿足a［i］(0)=0.

假設(shè)3［8］存在一列實(shí)數(shù)a1，a2，…，ar，滿足

使得

假設(shè)4［8］對(duì)i=2，…，k，存在矩陣Φ［i］滿足

令

式中:T是任意的可逆陣，并且

那么，(θ，α，β)是一個(gè)具有輸出u的線性可觀測(cè)穩(wěn)態(tài)生成器［8］，滿足

選取可控矩陣對(duì)(M，N)，其中M∈Rr×r是Hurwitz矩陣，則下面的Sylvester方程:

存在唯一的非奇異解T.

進(jìn)一步，構(gòu)造動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器

那么系統(tǒng)(7)就是一個(gè)內(nèi)模系統(tǒng)［8］.

結(jié)合系統(tǒng)(1)和(7)，再作如下的坐標(biāo)變換和輸入變換:

可得

系統(tǒng)(8)稱(chēng)為系統(tǒng)(1)和(2)的增廣系統(tǒng)，對(duì)任意的(v，w)∈Rnv×W，具有如下性質(zhì):

引理1［8］假設(shè)存在一個(gè)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制律

式中:ξ∈Rnξ，nξ是一個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，f和g分別是滿足f(0，0)=0和g(0，0)=0的光滑函數(shù)，使得對(duì)任意的w∈W和v(t)，閉環(huán)系統(tǒng)的解是有界的，且e(t)是漸近趨于零的.那么，下面的控制律:

可解決系統(tǒng)(1)和外部系統(tǒng)(2)的全局魯棒輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題.

為了解決系統(tǒng)(8)的全局魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題，再引入一個(gè)假設(shè).

假設(shè)5［9］對(duì)任意的w∈W，矩陣F(w)都是Hurwitz的，并且對(duì)任意的由系統(tǒng)(2)產(chǎn)生的v(t)，系統(tǒng)

是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

注3 在假設(shè)5的條件下，存在2個(gè)正定矩陣Q(w)和P(t)分別滿足下面的Lyapunov方程:

式中:對(duì)任意的t≥0，矩陣P(t)和R(t)滿足:

I是單位矩陣，a2≥a1＞0，b＞0是一些適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù).

3 動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)

引理2 在假設(shè)1－假設(shè)5的條件下，存在一個(gè)正定函數(shù):

式中:Q(w)和P(t)分別是滿足方程(12)和(13)的正定矩陣和是滿足如下條件的正數(shù):

q(v，w)和a(e)是光滑的正函數(shù).

注4 當(dāng)h(w)是正的情況下，文獻(xiàn)［9］證明了引理2.類(lèi)似于文獻(xiàn)［9］的證明，當(dāng)h(w)符號(hào)未知時(shí)，可以證明引理2仍成立.

定理1 考慮系統(tǒng)(8)，在假設(shè)1～假設(shè)5的條件下，設(shè)計(jì)如下控制律:

式中:α=N(k)ρ(e)e，ρ(·)是一個(gè)待設(shè)計(jì)的非負(fù)光滑函數(shù).N(k)=k2cos(k)是一個(gè)Nussbaum型的函數(shù)，是h(w)的估計(jì).那么，存在一個(gè)正定函數(shù)V2，使得V2關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)滿足:

式中:l1和l2是正數(shù)

證明 令

那么，V2關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)滿足

利用Young不等式，得到

再根據(jù)公式(15)，有

再由Young不等式，得到

式中:l1=c1－‖H(w)‖2，l2=c2－‖ΨT－1h(w)‖2，a2(e).結(jié)合公式(15)和(17)，可得

因?yàn)閷?duì)任意給定的b＞0，存在ε＞0滿足

那么，存在一個(gè)正數(shù):

使得l2＞0.

由于W是Rnw上的一個(gè)已知緊集，存在一個(gè)正常數(shù)H0，對(duì)所有的w∈W都有H0≥‖H(w)‖2.那么，對(duì)給定的ε＞0和，存在

使得l1＞0.

另一方面，可以選擇一個(gè)函數(shù):

使得ρ(e，v，w)≥1.

進(jìn)而，可得

引理3［11］令V(·)和k(·)是定義在［0，tf)上的兩個(gè)光滑函數(shù)，N(·)是一個(gè)光滑的Nussbaum型函數(shù)，b是一個(gè)非零常數(shù).如果對(duì)任意的t∈［0，tf)，滿足

其中，const表示任意的常數(shù).

那么，在時(shí)間區(qū)間［0，tf)上V(t)，k(t)和都是有界的.

由引理3，可得下面的結(jié)果.

定理2 考慮系統(tǒng)(8)，在假設(shè)1～假設(shè)5的條件下，存在形如式(16)的控制器，使得對(duì)任意的初始條件，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)在［0，+∞)上是存在并有界的，且跟蹤誤差e(t)漸近趨于零.

證明 首先，假設(shè)對(duì)任意初始條件，閉環(huán)系統(tǒng)的解的最大存在區(qū)間為［0，tf)，tf＞0.

由不等式(16)，可得

在式(18)兩邊從0到t積分，可得

由引理3，V2(t)，k(t)和τ在［0，tf)上是有界的.進(jìn)一步，根據(jù)V2的構(gòu)造，能夠得出在［0，tf)上都是有界的.所以，不可能發(fā)生有限時(shí)間逃逸現(xiàn)象.

因此，對(duì)任意的t≥0，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)是有界的.另一方面，從系統(tǒng)(8)得到也是有界的.在式(18)兩邊從0到+∞積分，可知和e在［0，+∞)上平方可積.

最后，應(yīng)用Barbalat引理［12］，可得

4 數(shù)值仿真

考慮下面的非線性系統(tǒng)［9］:

式中:col(x1，x2，y)∈R3是狀態(tài)，u∈R是輸入，v2∈R是由如下非線性系統(tǒng):

生成外部干擾.

假設(shè)參數(shù)w=col(ε1，ε2，μ1，μ2)是不確定的，其中ε1＞0，ε2＞0，μ1＞0，μ2＞0，

并且h(w)≠0.與文獻(xiàn)［9］不同的是，在系統(tǒng)(20)中h(w)是符號(hào)未知的不確定常數(shù).在文獻(xiàn)［9］中，已經(jīng)指出系統(tǒng)(20)和(21)滿足假設(shè)1和假設(shè)3－假設(shè)5.外部系統(tǒng)(21)可以表示為

約定h(w)≠0，但是符號(hào)未知，因此假設(shè)2也滿足.易知，x1(v，w)=0，x2(v，w)=0，y(v，w)=0，u(v，w)=－h(huán)－1(w)v2組成相應(yīng)于系統(tǒng)(19)和(20)的調(diào)節(jié)器方程的解.另一方面，公式(3)和(4)中的矩陣可以分別取為

為了構(gòu)造內(nèi)模系統(tǒng)(7)，選取

可得Sylvester方程(6)的解:

式中:

進(jìn)一步，選取a=b=1，q1=1，q2=2，可得

仿真結(jié)果如圖1～3所示，其中初始條件為

圖1描述了閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，圖2描述了動(dòng)態(tài)控制器狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)，圖3描述了控制輸入的時(shí)間響應(yīng).

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)Fig.1 Time response of the closed-loop system

圖2 動(dòng)態(tài)控制器的狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)Fig.2 Time response of the states of the controllor

圖3 控制輸入的時(shí)間響應(yīng)Fig.3 Time response of the control input

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了具有非線性外部系統(tǒng)和控制方向未知的不確定非線性系統(tǒng)的全局魯棒輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題.當(dāng)控制方向未知時(shí)，我們通過(guò)使用Nussbaum增益技術(shù)，非線性?xún)?nèi)模方法和魯棒穩(wěn)定性技術(shù)進(jìn)一步研究了具有非線性外部系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)全局魯棒輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題.仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文理論的有效性.

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