《幾個常用函數的導數》教學實錄及反思

■武漢市郭希連名師工作室駱惠

《幾個常用函數的導數》教學實錄及反思

■武漢市郭希連名師工作室駱惠

第一部分教學過程簡錄

一、創設情境，明確目標

前面我們學習了導數的幾何意義是曲線上某點處切線的斜率，切線問題是微分學的中心問題，曲線的切線問題又是我們學習導數應用的一個熱點問題。請看下面問題：

教師：確定一條直線需要兩個條件，從題中可以分析得切線哪兩個條件呢？

學生：易知點P（1，1）即為切點，又由導數的幾何意義可得切線的斜率k=f＇(1)。

教師：函數在某點處的導數是導函數在該點所對應的函數值，因此解題的關鍵就在于如何求函數的導數。在導數問題中常常需要求出函數的導數，如何求出函數的導數呢？這節課我們就來研究幾個常用函數的導數。

二、合作探究，研究新知

1.例題導析

教師：事實上，導數定義本身，就給出了求導數的最基本的方法，瞬時變化率就是導數，求函數y=f(x)的導數就是求出Δx當趨近于0時，所趨近于的那個值。

（師生共同完成下面求導過程，并強化學生對導數里的概念符號的熟悉和運用）

提煉方法：由導數定義求導數的方法。

教師：下面大家利用所得函數的導數求出前面曲線的切線方程。

教師：求出函數的導數往往是解決導數問題的必經之路，雖然導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由于直接運用定義求導數這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，我們需要知道一些常用的函數的導數，以方便導數的運算。下面再來求幾個常用函數的導數。

2.試一試：你能求出下列幾個常用函數的導數嗎？（三個學生演排，仿照前例求導）

（1）函數y=f(x)=c的導數（學生演板過程略）；

（2）函數y=f(x)=x的導數（學生演板過程略）；

（3）函數y=f(x)=x2的導數（學生演板過程略）。

3.在例題解析中，師生共同重點討論以下內容，討論有關方法：

（1）規范的過程（讓其他學生上黑板糾錯）；（2）理解當Δx趨近于0時，為常數時所趨近于的那個值就是本身；

教師：在常函數和一次函數的求導中都出現了平均變化率為常數的情況，怎樣理解當Δx趨近于0時，為常數時所趨近于的那個值就是本身呢？平均變化率為常數意味著平均變化率受不受Δx值的影響？

學生：不受影響。

（3）對（2）作變式處理：求函數y=2x，y=3x，y=4x的導數，引伸到函數y=kx (k≠0)的導數（為下面幾何意義的探究做好鋪墊）。

教師：導數是近代數學中微積分的核心概念之一，它的產生有著深厚的物理背景。這三個常用函數的導數蘊涵著怎樣的物理意義呢？

探究物理意義：分析上述三個常用函數的導數的物理意義。

教師：如果我把這三個常用函數都看成是路程關于時間的函數（x是時間，y是路程），它們的物理意義又分別是什么？（復習導數物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度，學生思考作答）

①y＇=0可以解釋為某物體每個時刻的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止狀態。

②y＇=1可以解釋為某物體每個時刻的瞬時速度始終為1，即物體在做瞬時速度為1的勻速運動。

③y＇=2x可以解釋在時刻的瞬時速度為2x，即隨時間x的改變物體瞬時速度2x也在隨著改變，故物體在做變速運動。

函數y = c y = x y = x2導數y＇= 0 y＇= 1 y＇= 2 x物理意義物體靜止勻速運動變速運動

教師：三個常用函數的導數的物理意義分別是運動物體的三種不同運動狀態。

探究幾何意義：分析常用函數的導數的幾何意義。

教師：常用函數的導數中又蘊涵著怎樣的幾何意義呢？我們先來看課本提出的一個探究問題：

根據導數的定義，y=2x，y=3x，y=4x求函數的導數。并在同一平面直角坐標系中，畫出它們的圖象。

（1）從圖象上看，它們的導數分別表示什么？

（2）這三個函數中，哪一個增加得最快？哪一個增加得最慢？

（3）函數y=kx (k≠0)增（減）的快慢與什么有關？

教師：通過前面的學習我們已經得到（1）的答案是什么？

學生：y＇=2，y＇=3，y＇=4導數分別為這些直線的斜率。

教師：很好！（2）聯系著（1）進行思考并說明一下為什么。

學生：y=4x增加得最快，y=2x增加得最慢，因為函數y=4x的斜率比函數y=4x的斜率要大。

教師：（3）在（1）（2）的問題上就不難得到答案是什么。

學生：函數增（減）的快慢與斜率k值有關。

教師：由（1）知導數分別表示斜率，而斜率又是導數的幾何意義，那不就是函數的增（減）的快慢與其導數有關，它們又有著怎樣的關系呢？下面我們進一步來觀察一下函數y=x2與函數圖象的變化情況與其導數是否存在這種關系。

教師：（打開幾何畫板）大家帶著三個問題觀察圖像，隨著x變大，（1）圖像的增（減）變化情況；（2）增（減）的快慢情況（啟發：如何看增（減）快慢呢？鼠標像右拖動一格看圖像上升下降多少）；（3）導數絕對值的變化情況。

1.函數y=x2的導數是y＇=2x。（幾何圖略）

當x>0時y＇>0，隨著x的增加y＇在增大，函數y=x2增加得越來越快。

教師：通過對兩個函數圖像與導數值的變化情況的觀察的結論，我們可以歸納得如下結論：函數圖象增（減）的快慢與函數的導數間的關系。

當y＇>0時，導數值越大函數增加得越快，導數值越小函數增加得越慢。

教師：此結論說明導數可以反映函數的變化快慢。

教師：下面再來求一個較為復雜點的函數的導數。

（給時間學生在下面求導，稍后師生共同探討）

教師：求導過程中大家遇到什么難題沒有？

教師：你們怎么解決的呢？

有學生搶答：分子實數化。

教師：精彩！分子實數化是無理式常用的變形方法，我們在變中求“通”變中求“活”！

（利用實物投影儀展示學生解答）

函數導數y=x■y＇=1 2x■

探究規律：探究五個函數特點，五個函數與其導數之間的規律。

教師：我們求出了五個常用函數的導數，其實這幾個常用函數有一個統一的名稱叫冪函數（學生回答）。冪函數的求導有沒有統一的規律呢？

教師：請觀察，觀察結構特征、觀察數據特點、觀察系數是怎么來的、觀察指數是怎么變化的?

學生：導函數的系數是原函數的指數，導函數的指數是原函數的指數減1。

教師：按這個規律我們大膽猜想冪函數y=f(x)=xn(n∈Q*)的導函數是什么？

學生：y＇=nxn-1.

推廣：若y=f(x)=xn(n∈Q*)，則f＇(x) =nxn-1

教師：這就是數學所展現出的美與魅力！

教師：它就是下節課中冪函數的導數公式。常用的函數還有很多，如三角函數、指數函數、對數函數。它們的導數都是什么?一個復雜點的函數往往還要進行加減乘除運算，還有復合函數，導數的運算法則又是怎樣的.這些我們將在下節課進一步學習。

三、鞏固提高

（師生共同探討，當堂實驗以下習題）

1.（1）f(x)=0的導數是（）

A.0B.1C.不存在D.不確定

（3）.如果函數f(x)=5，則f＇(1)=（）

A.5B.1C.0D.不存在

四.引導小結

1.用導數定義推導了幾種常用函數的導數，它們都是公式要熟記。

______函數______y=c ______y=x導數_ _ y＇=0_ _ y＇=1_ _物理意義物體靜止勻速運動______y=x_____ __2y＇=2x變速運動y=1 ________x y＇=-1 x2y=x■y＇=1__ _________________ ______2x■y=f(x)=xn(n∈Q*) y＇=nxn-1

2.探究了常用涵數導數的幾何意義及物理意義。

3.學習了常用函數導數的基本應用，下節課將進一步學習導數的運算及其應用。

五、分層作業

必做題：1.課本18面習題1.2A組第1題；

選做題：（2010·江蘇，8）函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak，ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1，其中k∈N*，若a1=16，則a1+a2+a3的值是________.

第二部分教學反思

一、基本情況

本節課是我參加武漢市高中數學“課內比教學”的一節參賽課，施教對象為武漢市育才高中平行班學生。由于學生基礎不是很好，學生學習導數的知識也才幾節課，因此對導數的概念掌握不是很熟練，理解得也不是很透徹，對符號的表示和運用也有些困難，于是教師在教學中就格外注意在探究新知識的同時強化舊知識復習，加深學生對概念的理解，培養學生語言表達及符號運用的能力。

二、教學設計指導思想

本課初看課題感覺本節課內容太單一、太簡單,教學中，一般教師不會太重視。通過仔細研讀教材、教參，查閱一些資料后，我放棄常規使用的從舊知識的復習入手的方法，改為利用教材中的探究問題即以曲線的切線這個高中導數應用的熱點問題引入，首先就讓學生明白我們為什么要學習幾個常用函數的導數，進一步思考怎樣去求函數的導數，而舊知識的復習則采用隨著學習的需要逐步進行。

本節課五個常用函數的求導都運用的是導數的定義求導，教學中讓學生認識到導數的定義本身就給出了求函數導數最基本的方法，并讓學生明確其步驟,本節課的學習又不能僅僅停留在五個常用函數的導數公式的推導上。在教學設計上，教師怎樣充分利用五個常用函數的導數來挖掘更深層次的東西，準確表達教材意圖，設計了三個探究問題讓學生感受導數蘊涵的內涵。一是利用三個函數y=c，y=x，y=x2的導數，讓學生感受導數的物理背景；二是利用函數y=x2及函數y=1 x的導數,讓學生感受導數中所蘊涵的幾何意義；三是利用五個常用函數與其導數間存在的內在規律,讓學生感受數學的美與魅力。

最后，讓學生在導數問題中感受導數公式給我們帶來的便捷，讓學生在期盼中去學習下節課更多的導數公式。

（作者單位：武漢市黃陂區第一中學）

責任編輯 王愛民