拉格朗日中值定理證明方法探討及其推廣

張德江

（鹽城生物工程高等學(xué)校電子工程系，江蘇鹽城 224051）

拉格朗日中值定理證明方法探討及其推廣

張德江

（鹽城生物工程高等學(xué)校電子工程系，江蘇鹽城 224051）

用多種方法證明了拉格朗日中值定理，并對(duì)拉格朗日微分中值定理進(jìn)行了推廣.

拉格朗日中值定理；推廣定理；證明方法

在數(shù)學(xué)分析中，微分中值定理占有很重要的地位，因?yàn)槲⒎e分的許多命題和不等式的證明都是以它為依據(jù)，在證明有關(guān)中值問(wèn)題時(shí)具有非常重要的作用.本文用多種方法證明了拉格朗日中值定理，并對(duì)拉格朗日微分中值定理進(jìn)行了推廣.

1 拉格朗日中值定理及其證明

1.1 拉格朗日中值定理[1-3]

定理1設(shè)函數(shù)f滿(mǎn)足條件（1）f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）f在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得：

1.2 證明方法探討

人們對(duì)微分中值定理證明方法的研究，經(jīng)歷了從特殊到一般，從直觀(guān)到抽象，從強(qiáng)條件到弱條件的發(fā)展階段，逐漸認(rèn)識(shí)到微分中值定理的普遍性.對(duì)拉格朗日微分中值定理的證明，除數(shù)學(xué)分析或者高等數(shù)學(xué)課本上證明方法之外，還有很多值得學(xué)習(xí)借鑒的方法，本節(jié)對(duì)兩種典型的證明方法進(jìn)行了總結(jié).

（1）構(gòu)造函數(shù)法[4-5]

將F(a)與F(b)作差化簡(jiǎn)得F(a)=F(b).

于是F(x)滿(mǎn)足羅爾中值定理的條件，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得

證法二構(gòu)造行列式型輔助函數(shù)

由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，所以F(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，根據(jù)羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得

則有f′(ξ)(b-a)=f(b)-f(a)

所以

（2）運(yùn)用區(qū)間套定理證明

2 推廣形式的拉格朗日中值定理及其證明

a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

證明首先給出一個(gè)引理[7-9]：

則易知函數(shù)F(x)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且F(a)=F(b).由羅爾中值定理可知，在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)θ，使得=0，而在（a，b）內(nèi)有

根據(jù)定理2及其證明過(guò)程[10]，我們很容易得到如下推論：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].2版.北京：高等教育出版社，2001：6.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]楊耕文.用行列式法證明微分中值定理[J].洛陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，12：49-52.

[4]張則增，周相泉，王娥.微分中值定理的推廣[J].山東師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998，13（3）：323-325.

[5]游兆永.高等數(shù)學(xué)解題方法和技巧[M].西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1981.

[6]張弘.微分中值定理的又一證明方法[J].重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（23）：129-130.

[7]侯謙民.中值定理的推廣[J].武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（6）：81-82.

[8]胡付高.微分中值定理的推廣及其應(yīng)用[J].孝感學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000（04）：16-18.

[9]宋基華，彭鑫根.微分中值定理的一種證明方法[J].北京石油化工學(xué)院學(xué)報(bào)，1995（6）：26-28.

[10]童子雙，楊志芳.Lagrange微分中值定理的分析證明法[J].金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（3）：56-57.

A Discussion of the Method of Proving Lagrange Mean Value Theorem and Its Generalization

ZHANG De-jiang
(Department of Electronic Engineering,Yancheng Higher Vocational School of Biological Engineering,Yancheng 224051,China)

The differential mean value theorem is the fundamental theorem of differential calculus.It not only connects relationship on the function and derivative,but it is also the cornerstone and the bridge of the differential theory application.In this paper,a variety of methods are used to prove Lagrange's theorem,and give the generalization theorem of the Lagrange differential mean value theorem.

Lagrange mean value theorem;generalization theorem;method of proof

O17

A

1008-2794（2012）10-0041-04

2012-09-03

張德江（1966—），男，江蘇鹽城人，講師，碩士，研究方向：導(dǎo)數(shù)與積分.