低密度格碼在OFDM系統中的應用與性能仿真?

顧偉，朱聯祥（重慶郵電大學信號與信息處理重點實驗室，重慶400065）

低密度格碼在OFDM系統中的應用與性能仿真?

顧偉，朱聯祥
（重慶郵電大學信號與信息處理重點實驗室，重慶400065）

信道編碼是OFDM系統的關鍵技術之一，低密度格碼（Low Density Lattice Codes，LDLC）則是一種能高效譯碼且達到AWGN信道容量的新型編碼技術，它兼具格碼和低密度奇偶校驗碼（Low Density Parity Codes，LDPC）的特點。基于LDLC碼編譯碼原理，給出了LDLC碼作為前向糾錯編碼技術應用于OFDM系統的方案，在MATLAB平臺下仿真研究了LDLC-OFDM系統在Rayleigh衰落信道下的性能，結果表明LDLC碼很大程度地改善了OFDM系統的誤碼率性能，且優于LDPC碼。

正交頻分復用；信道編碼；低密度格碼；瑞利衰落

1 引言

尋找某種能取得接近（最終達到）香農容量極限的可靠通信的信道編碼方案一直是編碼界的重要目標。格碼是線性碼在歐氏空間里的類似碼，它被建議作為加性高斯白噪聲（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道上的高效碼［1-2］。AWGN信道上實用的碼字通常是基于有限字符編碼，為找到一種具有高效編、解碼方案的實用格碼，Naftali等人在受到低密度奇偶校驗碼（Low Density Parity Check Code，LDPC）的啟發后，于2007年提出了低密度格瑪（Low Density Lattice Code，LDLC）［3］。LDLC碼的校驗矩陣呈稀疏性，故適合采用類似于LDPC碼的基于二分圖的線性迭代算法來實現其接近AWGN信道容量的高效譯碼，且譯碼復雜度線性于碼長［4］。

OFDM技術在抗多徑干擾方面極具優勢。OFDM符號間插入保護間隔后，可以避免碼間干擾（ISI），并減小子信道間干擾（ICI）。但在Rayleigh環境下，某些子載波可能會由于深衰落而被完全淹沒，從而影響整個系統的誤碼率性能（BER），為了消除這種影響，我們可以引入糾錯編碼技術。本文將LDLC碼作為前向糾錯編碼應用于OFDM系統中，仿真并對比分析其性能和復雜度。

2 LDLC簡介

2.1 定義

一個n維格點對應著格碼的一個碼字，格的定義式為

式中，G為n×n的生成矩陣，b為n維整數信息矢量。格碼就對應著一個整形區域B內所有格點的集合。

定義H=G-1為格碼的校驗矩陣，那么LDLC碼的校驗矩陣一般則為維數為n、度為d的魔方陣，即n×n的H中每一行每一列均有d個不同的非零元素，元素取值于生成序列｛1≥h1≥h2≥…≥hd＞0｝。

2.2 編碼

生成矩陣G不具有稀疏性，用x=Gb來直接編碼的計算和存儲復雜度為ο（n2），但校驗矩陣H

=G-1呈現稀疏特性，若采用基于H的Jacobi迭代算法則可使編碼復雜度降低為ο（n）。迭代公式的推導和定義如下：

式中，t為迭代次序，D、L與U分別為H的對角陣、下三角陣和上三角陣，即有H=D+L+U。如果矩陣H非奇異，且序列｛x（t）｝收斂于x，那么x必是方程Hx=b的解，也就是LDLC的碼字。

根據數值分析理論和仿真經驗可知，當同時滿足下列3個條件時可以保證編碼算法收斂：H的維數較大，度數較小（如：n≥100，d≤10）；生成序列的最大元素值h1=1，且保證?=；H矩陣做適當的行變換使其對角線上元素為±h1。

3 LDLC在OFDM系統中的應用

3.1 系統模型

圖1為LDLC-OFDM系統的發送端。兩路信息輸入b1、b2分別經過LDLC編碼后輸出I路碼字x1和Q路碼字x2，然后把x1、x2映射成復數據流Xi=a+j b，接著將Xi串并變換為X1，X2，…，Xk，分別對應著OFDM系統的k個子載波，以此作為OFDM的調制信號。OFDM調制包括IFFT變換和為每一個OFDM符號添加循環前綴CP。最后信號經射頻發射出去。

信號傳播環境選用瑞利衰落信道，由改進型的Jakes模型來模擬［5］，該模型的定義如下：

式中，X（t）為瑞利噪聲信號，Xc（t）、Xs（t）分別為其同相和正交部分，且有：

式中，θ、φ、ψn為［-π，π］上均勻分布，且獨立統計，M為Jakes仿真器所需要的正弦波個數。與Jakes正弦疊加法的確定模型相比，改進型模型引入了隨機路徑增益、隨機多普勒頻率以及隨機的正弦波初始相位，從而使該模型成為具有良好統計特性的非確定性模型。

系統接收端模型如圖2所示，接收信號經過射頻解調后，到達OFDM解調處，先去掉每一個OFDM符號的循環前綴CP，再對其做FFT變換得到對應著OFDM系統k個子載波的解調信號X′1，X′2，…，X′k，接著并串變換后恢復復數數據流X′i，X′i再解映射為I′路碼字y1和Q′路碼字y2，并分別進行LDLC譯碼后得到兩路信息輸出b′1、b′2。

3.2 量化譯碼

系統接收端解映射得到的I′路碼字y1和Q′路碼字y2分別作為上下兩路LDLC譯碼器的輸入。LDLC采取基于Tanner圖的線性迭代算法。迭代中，變量節點發送給校驗節點的信息為概率密度函數PDFs，校驗節點發送給變量節點的信息為PDFs的周期擴展。如果用x1，x2，…，xn表示LDLC校驗矩陣的變量節點，c1，c2，…，cn表示校驗節點，且設碼長為n的接收碼字y1或y2的碼元為yk，k=1，2，…，n，信道噪聲方差為σ2，則系統接收端LDLC譯碼的過程可描述如下。

（1）初始化：變量節點xk，k=1，2，…，n傳遞給與之相連的校驗節點的信息為

（2）基本迭代——校驗節點信息更新。如果用fl（x），l=1，2，…，r表示前半次迭代中與該校驗節點相連的變量節點xml發送給它的信息，則校驗節點發送回變量節點xmj的信息Qj（x）可由下列三步求得。

卷積：

其中，式（5）、（6）、（7）可從校驗方程的角度來直觀解釋：由=integer可導出（integer），再結合獨立隨機變量和的PDF等于各個隨機變量PDF的卷積的理論可得到式（5），當integer為零時，可根據式（5）、（6）計算出發送給xmj節點的PDFs信息pj（x）。但為了得到integer為每一個可能的值時對應的PDFs，需要再進行式（7）中的周期延拓處理。

（3）基本迭代——變量節點信息更新。如果Ql（x），l=1，2，…，n表示前半次迭代中與該變量節點相連的校驗節點cml發送給它的信息，則變量節點發送回校驗節點cmj的信息fj（x）可由下列兩步驟求得。

乘積：

其中，式（8）為信道PDF與校驗節點的更新信息相乘，它們在該變量節點上被看作是獨立的信息源。

重復基本迭代2、3至設定的次數。

（4）最終判決：基本迭代完成后，首先，在沒有遺漏最后一次迭代中任何校驗節點更新信息的基礎上計算出該變量節點最終的PDFs：

在具體的譯碼實現中可采用量化處理的譯碼算法，即用量化數為L、分辨率為Δ、范圍為D=L×Δ的離散矢量來近似表示每個PDF信息，要求則是1／Δ和D必須為整數。根據“3σ法則”可知，當Δ= 1／64、L=256時，高斯分布的PDF的量化誤差可以忽略不計，此時D=L×Δ=4。

量化后，式（4）中fk（x）可表示為fj（kΔ），k∈Z。在理想點附近對（x）求滑動平均可得到式（5）中的（x／hj），即需要計算

其中，lw=「hj／2」為滑動平均窗口長度，求滑動平均可由MATLAB中的filter函數來實現。為了簡化處理，可交換式（6）、（7）的執行順序，即先對式（5）中的卷積結果ˉpj（x）進行周期為1的延拓，即：（x）=，然后再作展開運算（x）=（-）。如果對式（5）中（x）做FFT（長度為L）變換，再以D為間隔抽取就可得到1／Δ個抽樣值，且對應著ˉQj（x）的一個周期。若先對式（5）中d-1個fj（kΔ）分別以1／Δ為間隔抽取并對應相加，即：

然后再求gi的FFT（長度為1／Δ），最后把d-1個FFT相乘后再進行IFFT變換，也可得到一個周期的ˉQj（x）。緊接著對ˉQj（x）按「hj」做展開運算就可得到校驗節點信息的更新值Qj（x）。變量節點信息的更新采取類似的量化處理方法。

4 仿真與結果分析

4.1 性能指標的確定

根據香農理論可知對于維數n較大的格碼，好碼的碼字為半徑r=的球體上的一致分布，其中PX=為信號平均功率。每個格點的周圍為Voronoi域或鄰近域，若為Voronoi域的平均體積，則有Vc=det G。根據文獻［2］有==。設為高斯噪聲平均功率，則低密度格碼（LDLC）在AWGN信道上的信噪比的廣義為

其中一般地，需要用歸一化處理來保證上式中det（G）=1。蒙特卡洛仿真的兩大性能指標為信噪比和誤比特率，求誤比特數需要統計，k= 1，2，…，n的個數。

4.2 參數設置與結果分析

圖3為LDLC碼在AWGN信道下的仿真結果。LDLC采用無四環的校驗矩陣H，其中碼長n=520時，度d=5；n=1 040時，度d=7。編碼器的輸入信息b采用二進制和多進制（此處選擇四進制）的兩種情況，即序列b的元素值取自于｛-1，1｝和｛-3，-1，1，3｝。譯碼迭代次數設置為：t=100。仿真幀數的設置為：碼長n=520時，幀數frame=4 000；碼長n=1 040時，幀數frame=2 000，這樣當誤碼率BER≈10-5時，平均統計的誤比特數大概為20。結果表明BER≈10-5時，碼長n=520、1 040的LDLC分別需要2 dB和1.5 dB，即距離香農限分別為2 dB和1.5 dB，所以1 040碼長的LDLC的糾錯性能相比520碼長時有0.5 dB的改善，碼長越大，性能越好。從圖中還可以看出當編碼器的信息輸入b為二進制時，誤碼率性能要好于四進制的情況，這恰好證明了b為多進制時，碼率會增大，性能會變差。

圖4 為LDLC碼、LDPC碼分別應用于OFDM系統時在Rayleigh信道下的仿真結果。兩者都采用無四環矩陣，仍然選取520碼長和1 040碼長。其中LDPC碼采用PEG構造，其中520碼長時，列重wl= 3，行重wr=6；1040碼長時，列重wl=4，行重wr= 8。這里PEG構造的基本思路是：先造全零矩陣H（n，n）=0，接著在第1列中隨機賦值wl個1，然后從第2列開始，隨機選擇一個位置，判斷所在行的行重是否已經大于wr，若大于則放棄，否則繼續判斷當這個位置為1時是否會構成四環，若不會，則再將該位置賦值為1，若有四環，則放棄且重新隨機選擇位置，直到該列有wl個1。OFDM系統的子載波個數設置為52，FFT長度設為64，保護間隔（循環前綴CP）長度設為16（FFT長度的四分之一）；譯碼迭代次數t=100；仿真幀數的設置為：碼長n=520時，幀數frame=2 000；碼長n=1 040時，幀數frame =1 000，所以當誤碼率BER≈10-4時，平均統計的誤比特數大概為200。Rayleigh噪聲由改進型的Jakes模型生成，假設信道為理想估計。仿真結果表明，當誤碼率BER≈10-4時，碼長n=520、1 040時，LDLC-OFDM系統分別需要18.2 dB和14.9 dB，LDPC-OFDM系統則分別需要21 dB和17.5 dB，而未編碼的OFDM系統需要34 dB。可以得知：LDLC和LD-PC都很大程度地改善了未使用任何前向糾錯編碼的OFDM系統的性能，且碼長越大，性能越好，相同碼長下LDLC的糾錯性能比LDPC要好3 dB左右。同時我們也可以比較兩路LDLC和兩路LDPC總的的碼率：LDLC校驗矩陣為方陣，碼率r=1，兩路LDLC總的碼率Rldlc=2；兩路LDPC總的碼率為Rldpc=1。Rldpc＜Rldlc，LDLC的碼率更大，性能卻更好，所以OFDM系統采用LDLC碼時整體的糾錯性能要好于LDPC碼。

LDLC譯碼中t次迭代后，量化處理的線性迭代譯碼總的計算復雜度為ο（n×d×t××lb（）），總的存儲復雜度為ο（n×d×L），可以看出雖然LDLC迭代譯碼算法線性于碼長，但采取量化處理算法后，量化數L明顯增加了存儲復雜度，所以LDLC碼在OFDM系統中的糾錯性能要比LDPC碼更好，但付出的代價更大，所以簡化的LDLC譯碼算法的研究成了一項重要的課題，文獻［6］給出了與LDPC碼的計算和存儲復雜度相當的LDLC簡化譯碼算法。

5 結論

本文分析了LDLC碼的原理，通過仿真驗證了其在AWGN信道下具有良好的糾錯性能。同時把LDLC碼應用于OFDM系統中，讓兩者聯合對抗瑞利衰落。仿真結果表明，LDLC碼很大程度地改善了OFDM系統在衰落信道下的誤碼率性能，并要好于LDPC碼。考慮到實際的無線通信系統中對于基帶信號處理的實時性要求，LDLC的簡化譯碼算法研究至關重要。

低密度格碼是格碼研究的一次突破，它是繼Turbo碼、LDPC碼后又一種極具應用潛力的信道編碼技術。而MIMO與OFDM是LTE（Long Term Evolution）中兩大關鍵技術［7］，所以LDLC碼在MIMOOFDM系統中的應用研究將是今后的工作方向。

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ZHU Lian-xiang，DAI Gai-rong.Principles of low density lattice codes and their performance simulation［J］.Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications（Natural Science Edition），2011，23（2）：167-171.（in Chinese）［5］夏吉吉，朱曉明，張海濤.改進型JAKES模型在OFDM系

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GU Wei was born in Yueyang，Hunan Province，in 1988.He is now a graduate student.His research interests include errorcontrolcoding for OFDM systems operating over fading channels，the efficient codec for mobile communication.

Email：wodedaxue163＠163.com

朱聯祥（1971—），男，陜西人，博士后，教授，碩士生導師，主要從事無線定位、通信信號處理、數字信號處理技術、信息論與編碼等方面的科研及教學工作。

ZHU Lian-xiang was born in Shaanxi Province，in 1971.He is now a professor with the the Ph.D.degree and also the instructor of graduate students.His research interests include wireless positioning，communication signal processing，digital signal processing technology，information theory and coding.

Email：zhulx＠cqupt.edu.cn

Application of Low Density Lattice Codes in OFDM System and Performance Simulation

GU Wei，ZHU Lian-xiang
（Chongqing Key Laboratory of Signal and Information Processing，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China）

Channel coding is one ofkey technologies for OFDM system.Low density lattice codes（LDLC），which combine the features of lattice codes and low density parity codes（LDPC），are recently-proposed lattice codes thatcan be decoded efficiently and approach the capacity ofthe additive white Gaussian noise（AWGN）channel. The basic principles of LDLC are described and the application of LDLC as a forward error correction coding in OFDM system with Rayleigh fading is researched.The performance of LDLC-OFDM system is studied on MATLAB.Simulation results show thatthe biterror rate（BER）performance of LDLC-OFDM system is significantly improved compared with OFDM system and better than that of LDPC-OFDM system.

orthogonal frequency division multiplexing（OFDM）；channel coding；low density lattice code（LDLC）；Rayleigh fading

The Project of Key Laboratory of Signal and Information Processing of Chongqing（CSTC2009CA2003）

TN911.2

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.03.018

顧偉（1988—），男，湖南岳陽人，重慶郵電大學碩士研究生，主要研究方向為寬帶無線技術、移動通信高效編解碼；

1001-893X（2012）03-0342-05

2011-11-01；

2012-01-11

信號與信息處理重慶市市級重點實驗室建設項目（CSTC2009CA2003）