構(gòu)建函數(shù)模型 解決實(shí)際問(wèn)題

利用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題是近幾年中考的一個(gè)熱點(diǎn)題型，是實(shí)踐性、創(chuàng)新性很強(qiáng)的命題亮點(diǎn)，其解題步驟一般如下：

實(shí)際問(wèn)題 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（如函數(shù)等） 解答數(shù)學(xué)問(wèn)題 回歸實(shí)際問(wèn)題，這也是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵。

下面重點(diǎn)談?wù)劧魏瘮?shù)模型的構(gòu)建。

例：（2009·湖北武漢）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件，如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元），設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍。

（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)為多少元？

（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的月利潤(rùn)恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請(qǐng)你直接寫出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元？

分析：本題旨在考查如何建立函數(shù)關(guān)系式，一元二次方程的基本解法及二次函數(shù)最值的確定。首先要將（1）中的函數(shù)關(guān)系式寫出來(lái)（即建立函數(shù)模型）；然后再根據(jù)自變量的取值范圍及二次函數(shù)的頂點(diǎn)求最大的月利潤(rùn)、售價(jià)及其范圍。

解：（1）y=（210-10x）（50+x-40）

=-10x2+110x+2100（0

（2）y=-10（x-5.5）2+2402.5

因?yàn)閍=-10<0，所以當(dāng)x=5.5時(shí)，y有最大值2402.5

因?yàn)?

當(dāng)x=5時(shí)，50+x=55，y=2400（元）

當(dāng)x=6時(shí)，50+x=56，y=2400（元）

所以每件商品的售價(jià)定為55元或56元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)最大，最大的月利潤(rùn)為2400元。

（3）當(dāng)y=2200時(shí)，-10x2+110x+2100=2200

解得：x1=1，x2=10

所以當(dāng)x=1時(shí)，50+x=51，當(dāng)x=10時(shí)，50+x=60

所以每件商品的售價(jià)定為51或60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)為2200元。

當(dāng)售價(jià)不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元。

點(diǎn)評(píng)：解答此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：理清題意，確定變量，建立函數(shù)模型；將已知條件代入函數(shù)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；將獲得的結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中；當(dāng)自變量的取值限制在一定范圍內(nèi)（或附帶其他限制條件時(shí)），最值不一定在x=- 處取得，基于這一點(diǎn)，大家一定要注意。

（作者單位 四川省巴中二中）