數(shù)學(xué)與音樂之約

數(shù)學(xué)是推理中的音樂，而音樂則是感覺中的數(shù)學(xué)。代表理性的數(shù)學(xué)，其規(guī)律與秩序所產(chǎn)生的美感，雖無聲音之傳遞，但與音樂是根本相通的；而代表感性的音樂，其音強(qiáng)、音高、音色、節(jié)奏、旋律、曲式及風(fēng)格，雖無明顯的數(shù)學(xué)表達(dá)，但數(shù)學(xué)的蹤影卻處處可見。

數(shù)學(xué)概念在樂章中一個(gè)非常有趣的方面是Fibonacci數(shù)列和黃金分割理論的存在。前者是由意大利的數(shù)學(xué)家L.Fibonacci命名的一個(gè)整數(shù)數(shù)列。其特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和，而且前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值，逐漸趨向黃金數(shù)。也就是說，越往后的各項(xiàng)，此比值越接近0.618，所以這個(gè)數(shù)列也成為黃金數(shù)列。

音樂結(jié)構(gòu)的美的效應(yīng)，也同樣有賴于樂曲各部分之間的完美數(shù)學(xué)比例關(guān)系。所謂黃金分割法則，其定義如下：當(dāng)樂曲之結(jié)構(gòu)符合或近似黃金比例，則其黃金分割點(diǎn)應(yīng)出現(xiàn)在全曲之黃金數(shù)0.618或近似0.618處；亦即將全曲小節(jié)數(shù)乘以0.618，或更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶⒐?jié)拍數(shù)乘以0.618。此時(shí)若屬黃金分割點(diǎn)，則此處應(yīng)相當(dāng)于該曲之重要段落、附屬主題、轉(zhuǎn)調(diào)段落、主題再現(xiàn)部、展開部或是歌曲的副歌開始之處。

下面我們就以莫扎特的小提琴協(xié)奏曲為例來具體探討一下黃金分割法在作曲中的應(yīng)用。

我們最為熟悉莫扎特所作的小提琴協(xié)奏曲有5首，分別是第一號(hào)降B大調(diào)K.207、第二號(hào)D大調(diào)K.211、及本文研究選定之第三、四、五號(hào)作品。

依前述黃金分割段落之說明，我們分析莫扎特的協(xié)奏曲，發(fā)現(xiàn)其樂曲結(jié)構(gòu)也都明確地遵守黃金分割法則，暗示這些作品的曲式結(jié)構(gòu)，與黃金分割的規(guī)律有著密切的關(guān)系，而呈現(xiàn)樂曲各部分之間的完美數(shù)學(xué)比例關(guān)系，如表一所示。

在計(jì)算莫扎特音樂黃金分割點(diǎn)的同時(shí)，我們亦由表二所列此3首協(xié)奏曲各樂章的升記號(hào)數(shù)目和調(diào)性之次序性，再一次證明莫扎特音樂所呈現(xiàn)的完美形式。

從表二我們可以清楚地看出，此3首樂曲中第一樂章與第三樂章均為相同的調(diào)性，此乃古典時(shí)期協(xié)奏曲的曲式要求。然而第二樂章之調(diào)性均一致的采取五度遞增方式后，再回到原主調(diào)，則非古典時(shí)期協(xié)奏曲的曲式要求；且同一樂章的升記號(hào)數(shù)目，依第三、四、五號(hào)分別呈現(xiàn)次序的數(shù)列，第一樂章是：1、2、3；第二樂章是：2、3、4；第三樂章又還原為：1、2、3，其調(diào)性之間亦均為完全五度的遞增：GDA；DAE；GDA，也都不是古典時(shí)期協(xié)奏曲的曲式要求，而是莫扎特此3首樂曲所呈現(xiàn)之一致性和規(guī)律性。我們嘗試將上述升記號(hào)數(shù)目的次序，以數(shù)學(xué)行列式表示如下：

將此3.3三階行列式展開并計(jì)算其值，（1·3.3+2·2·3+2·4·1）（1·3·3+2·2·3+2·4·1），令人贊嘆的完美答案0。我們進(jìn)一步檢視此行列式后發(fā)覺，其實(shí)任何3首調(diào)性符合古典時(shí)期協(xié)奏曲的曲式要求之協(xié)奏曲，將其升降記號(hào)數(shù)目以33之三階行列式表示時(shí)，其值一定是0。因?yàn)橐拦诺鋾r(shí)期協(xié)奏曲的曲式要求，其第一和第三樂章的調(diào)性相同，所以其所形成之行列式，無論第二樂章的調(diào)性為何，一定至少有兩行或兩列是完全相等的；而依行列式之性質(zhì)得知，行列式中有兩行相等或兩列相等時(shí)，則此行列式之值為0。因此莫扎特此三首協(xié)奏曲的調(diào)性，因?yàn)榉瞎诺鋾r(shí)期協(xié)奏曲的曲式要求，使其3·3行列式之展開式具有高度之對稱性和完美的答案0。

除了上述莫扎特音樂中數(shù)學(xué)關(guān)系的探討之外，我們也選擇莫扎特的第三、四和五號(hào)協(xié)奏曲結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)解析及段落主題進(jìn)行敘述。

提琴協(xié)奏曲之第一樂章與黃金分割比例的關(guān)系。從各樂段的小節(jié)數(shù)，我們可以算出與全樂章小節(jié)數(shù)之比范圍，如表四所示。

由表四可知其黃金分割段落均落在展開部之中。我們進(jìn)一步分析此段落，發(fā)現(xiàn)此3首協(xié)奏曲第一樂章的展開部都存在兩個(gè)主題，此二主題結(jié)束之小節(jié)數(shù)分別是第三號(hào)：第一主題為135小節(jié)，比值為135/214=0.631、第二主題為第155小節(jié)，比值為155/214=0.724；第四號(hào)：第一主題為第125小節(jié)，比值為125/212=0.590、第二主題為145小節(jié)，比值為145/212=0.684；第五號(hào)：第一主題為134小節(jié)，比值為134/222=0.604、第二主題為143小節(jié)，比值為143/222=0.644。故其最接近黃金分割點(diǎn)0.618的段落，均為展開部的第一主題結(jié)束，此三者之黃金分割點(diǎn)分別為第三號(hào)135/214=0.631；第四號(hào)125/212=0.590；第五號(hào)134/222=0.604。

總之，一定程度上數(shù)學(xué)有多少藝術(shù)成分，就有多少科學(xué)成分，人們了解這一點(diǎn)是非常重要的，這將改變相關(guān)的普遍觀念，并且人們對它的要素和普遍性會(huì)理解得更好。期望通過對數(shù)學(xué)與音樂多元對話的探討，了解音樂中的數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)的藝術(shù)表達(dá)，提供音樂的另類思考模式，即美是數(shù)學(xué)固有的內(nèi)在。

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（作者單位 重慶市第八中學(xué)）