基于平方根UKF的新型單站無源定位算法

摘 要：針對(duì)單站無源定位可觀測(cè)性弱，收斂速度慢，定位精度差等問題，在此采用綜合利用相位差變化率、多普勒變化率對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位的方法。在此基礎(chǔ)上，將一種新的非線性算法即平方根UKF算法應(yīng)用單站無源定位中，計(jì)算機(jī)仿真表明在不同的參數(shù)測(cè)量精度條件下，新算法穩(wěn)定性更高，收斂速度更快，定位精度更高。

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關(guān)鍵詞：單站無源定位； 平方根UKF； 相位差變化率; 多普勒變化率

中圖分類號(hào)：TN95-34

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-373X(2012)01-0132-03

A Single observer passive location algorithm based on square root UKF

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YU Qing-jin1， LIU Xue1，2

(1.PLA Unit of 91245，Huludao 125001， China; 

2.Institute of Information Engineering Technology， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China)

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Abstract：

In order to enhance the observability， increase the convergence speed and improve the positioning accuracy in the single observer passive location， a model is presented based on Doppler frequency changing rate and phase changing rate. The square root unscented Kalman filter (UKF) algorithm as a new nonlinear filtering method is introduced to the single observer passive location system. Simulation results show that the new method has a stable performance， high convergence speed and high positioning accuracy in different conditions.

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Keywords： single observer passive location; square root unscented Kalman filter; phase changing rate； Doppler changing rate

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收稿日期：2011-08-17

0 引 言

在信息戰(zhàn)環(huán)境下，有源雷達(dá)電磁隱蔽性、抗偵查、抗干擾、抗反輻射導(dǎo)彈能力差，遠(yuǎn)距離探測(cè)燒穿功率大等弱點(diǎn)日益呈現(xiàn)。無源定位技術(shù)特別是單站無源定位技術(shù)因具有隱蔽性強(qiáng)，設(shè)備量小，作用距離遠(yuǎn)，機(jī)動(dòng)性好的特點(diǎn)，更為重要的是避免了復(fù)雜的時(shí)間同步和多個(gè)觀測(cè)站之間的數(shù)據(jù)融合而備受重視，對(duì)現(xiàn)代信息戰(zhàn)有著極其重要的軍事意義[1]。

由于多普勒變化率定位方法對(duì)波達(dá)角變化率這一測(cè)量參數(shù)測(cè)量精度有非常高的限制[1-2]，改進(jìn)的結(jié)合相位差變化率和多普勒頻率變化率的單站無源定位算法[3]降低了多普勒頻率變化率定位方法對(duì)實(shí)用性的限制，降低了系統(tǒng)對(duì)定位系統(tǒng)前端接收機(jī)的設(shè)計(jì)難度，提高了定位精度和收斂速度。

單站無源定位與跟蹤系統(tǒng)觀測(cè)方程的嚴(yán)重非線性決定了定位與跟蹤中必須采用非線性濾波技術(shù)。EKF及其衍生算法本質(zhì)上都屬于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，在非線性嚴(yán)重時(shí)都存在近似精度低，協(xié)方差易出現(xiàn)病態(tài)，從而導(dǎo)致濾波器穩(wěn)定性差，易發(fā)散的問題[1-3]?；赨T變換的UKF算法并沒有近似非線性過程和觀測(cè)模型，而直接利用真實(shí)的系統(tǒng)模型。用一組有效的采樣點(diǎn)集去表示狀態(tài)高斯隨機(jī)變量(GRV)，當(dāng)狀態(tài)量通過實(shí)際的非線性系統(tǒng)之后，這些樣本點(diǎn)能捕獲到GRV的均值和協(xié)方差，并可以精確到3階(Taylor展開)，且對(duì)任何非線性系統(tǒng)都有這一特點(diǎn)。同時(shí)，由于不需要推導(dǎo)和計(jì)算復(fù)雜的Jacoblan/Hessian矩陣，UKF算法更便于實(shí)現(xiàn)[3-6]。

但是，在單站無源定位中，標(biāo)準(zhǔn)的UKF算法由于數(shù)值計(jì)算舍入誤差、可觀測(cè)性弱(初值誤差較大)和觀測(cè)噪聲大等因素影響，可能引起誤差協(xié)方差矩陣負(fù)定，而導(dǎo)致濾波器不穩(wěn)定，甚至不能工作[3]，收斂速度慢和收斂精度低[2]。針對(duì)這些問題，文獻(xiàn)［7］提出了SRUKF算法，它采用誤差協(xié)方差陣的平方根代替協(xié)方差陣參加遞推運(yùn)算，提高了濾波算法的運(yùn)行效率和數(shù)值穩(wěn)定性，較好地解決了上述濾波器不穩(wěn)定的問題，從而提高了算法的穩(wěn)定性、收斂速度和跟蹤精度。

1 定位跟蹤模型

本文以角度、相位差變化率和多普勒頻率變化率d的單站無源定位及跟蹤方法為研究背景，具體的可觀測(cè)性分析見文獻(xiàn)［3］。在直角坐標(biāo)系下，以圖1中x-y二維坐標(biāo)為例，觀測(cè)器在位置(xO，yO)處以(O，O)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)輻射源T在位置(xT，yT)以速度(T，T)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩者之間的徑向距離為r，方位角為β。觀測(cè)器和目標(biāo)輻射源之間的k時(shí)刻相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變量Xk=［xTk－xOkTk－OkyTk－yOkTk－Ok］T，則直角坐標(biāo)系下系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可表示為：

Xk+1=φkXk+Gkwk=f(Xk，wk)

(1)

yk=h(Xk)+vk=［βkkdk］T+vk

(2)

式中:φk=1T00

0100

001T

0001

為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;T為測(cè)量

周期;

G=0.5T20

T0

00.5T2

0T;wk=［wx wy］T為狀態(tài)噪聲;

vk=［vφk vk vdk］T為觀測(cè)噪聲;E［wk］=E［vk］=0，E［wiwTj］=Qkδij ，E［vivTj］=Rkδij 。



圖1 觀測(cè)器和目標(biāo)在二維平面的幾何關(guān)系圖

當(dāng)目標(biāo)距離觀測(cè)站很遠(yuǎn)時(shí)，可以認(rèn)為加速度噪聲可以忽略，由運(yùn)動(dòng)學(xué)原理可得觀測(cè)變量表達(dá)式：

βk=arctan xTk－xOkyTk－yOk

(3)

k=K(yTk－yOk)［(Tk－Ok)(yTk－yOk)－(xTk－xOk)(Tk－Ok)］［(xTk－xOk)2+(yTk－yOk)2］3/2

(4)

dk=－［(Tk－Ok)(yTk－yOk)－(xTk－xOk)(Tk－Ok)］2λ［(xTk－xOk)2+(yTk－yOk)2］3/2

(5)

式中:K=2πd/λ，d為干涉儀間距，λ為信號(hào)波長;vφk，vk，vdk為觀測(cè)噪聲且相互獨(dú)立，其協(xié)方差陣Rk=diag(σ2φk σ2k σ2dk)。

在單站無源定位中，傳統(tǒng)的UKF算法由于數(shù)值計(jì)算舍入誤差、可觀測(cè)性弱(初值誤差較大)和觀測(cè)噪聲大等因素的影響可能引起誤差協(xié)方差矩陣負(fù)定而導(dǎo)致的濾波器不穩(wěn)定甚至發(fā)散的問題。為解決以上問題，根據(jù)文獻(xiàn)［7］，本文引入一種基于平方根UKF(SRUKF)算法，通過采用誤差協(xié)方差陣的平方根代替協(xié)方差陣進(jìn)行遞推運(yùn)算，以提高濾波算法的運(yùn)行效率和數(shù)值穩(wěn)定性。理論分析和仿真結(jié)果表明，該算法比標(biāo)準(zhǔn)EKF和UKF算法具有更好的性能，穩(wěn)定性明顯提高，可有效縮短目標(biāo)跟蹤的收斂時(shí)間，提高定位跟蹤精度。下面給出SRUKF算法的具體流程。

2 標(biāo)準(zhǔn)的SRUKF算法

(1) 初始化濾波器。利用先驗(yàn)信息或最初幾次觀測(cè)確定初始的狀態(tài)矢量和協(xié)方差估計(jì)0和P0:

0=E［X0］

(6)

P0=E［(X0－0)(X0－0)T］

(7)

a0=E［Xa0］=［XT0 0 0］T

(8)

Pa0=E［(Xa0－a0)(Xa0－a0)T］=P000

0Q00

00R0

(9)

Sa0=［chol(Pa0)］T

(10)

(2) 采樣點(diǎn)計(jì)算

ω(m)0=λ/(La+λ)

(11)

ω(c)0=λ/(La+λ)+1－α2+β

(12)

ω(c)i=ω(m)i=1/(2(La+λ))， i=1，2，…，2La

(13)

χak－1=［ak－1 ak－1±(La+λ)Sak－1］

(14)

式中:Xa=［xT wT vT］;La=Lx+Lw+Lv，Lw為狀態(tài)噪聲維數(shù)，Lx和Lv分別為狀態(tài)向量和觀測(cè)向量的維數(shù)；尺度因子λ=α2(La+κ)－La，κ一般取0;α控制采樣點(diǎn)的分散程度為一較小的正數(shù)，取值范圍為10－4~1；β在高斯噪聲條件下取2最優(yōu)[6-8]。Chol表示Cholesky分解。

(3) 時(shí)間更新。對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行非線性變換，對(duì)狀態(tài)向量和觀測(cè)向量進(jìn)行時(shí)間更新。

χxk|k－1=f(χxk－1χwk－1)

(15)

－k=∑2Lai=0ω(m)iχxi，k|k－1

(16)

Sx－k=qr［w(c)1(χx1:2La，k|k－1－－k)］

(17)

Sx－k=cholupdateSx－k，χx0，k|k－1－－k，ω(c)0

(18)

yk|k－1=h(χxk|k－1χvk－1)

(19)

－k=∑2Lai=0ω(m)iyi，k|k－1

(20)

Sy－k=qr［w(c)1(y1:2La，k|k－1－－k)］

(21)

Sy－k=cholupdate{Sy－k，y0，k|k－1－－k，ω(c)0}

(22)

(4) 測(cè)量更新。計(jì)算互協(xié)方差矩陣Pxyk，進(jìn)而求出濾波增益ρk，完成量測(cè)更新，進(jìn)而得出狀態(tài)向量的濾波值及誤差協(xié)方差陣的平方根。

Pxyk=∑2Lai=0ω(c)i［χxi，k|k－1－－k］［yi，k|k－1－－k］T

(23)

ρk=(Pxyk/(Sy－k)T)/Sy－k

(24)

k=－k+ρk(yk－－k)

(25)

U=ρkSy－k

(26)

Sxk=cholupdate{Sy－k，U，－1}

(27)

在算法中:k和Pk為k時(shí)刻狀態(tài)矢量和協(xié)方差的估計(jì)值;Sk為Pk的平方根;a0，Pa0和Sa0分別為k時(shí)刻k，Pk和Sk帶狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲的擴(kuò)維矩陣;Sxk和Syk分別表示k時(shí)刻狀態(tài)向量和觀測(cè)向量誤差協(xié)方差矩陣的平方根。另外qr，chol和cholupdate分別表示QR分解、Cholesky分解和Cholesky一階更新，為標(biāo)準(zhǔn)的Matlab指令。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

仿真場景：觀測(cè)站固定位于原點(diǎn)，目標(biāo)初始狀態(tài)為［100 km 120 km -260 m/s 100 m/s］，系統(tǒng)誤差為wx=wy=1 m/s2。本文提出的算法(SRUKF)在不同的觀測(cè)精度1：{2 mrad，0.1 rad/s，0.5 Hz}，觀測(cè)精度2:{5 mrad，0.3 rad/s，1 Hz}，觀測(cè)精度3：{0.01 rad，0.5 rad/s，2 Hz}條件下對(duì)比EKF、標(biāo)準(zhǔn)的UKF算法性能進(jìn)行測(cè)試，采樣周期T=1 s，目標(biāo)輻射源頻率fT=10 GHz，觀測(cè)精度σ2fT=1 MHz，在觀測(cè)精度1，2中觀測(cè)次數(shù)N=120，在觀測(cè)精度3中N=200，性能指標(biāo)用相對(duì)距離誤差RRE來測(cè)度。

RRE=(xtrue－)2+(ytrue－)2x2true+y2true×100%

(28)



每一組做100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，在定位跟蹤結(jié)束時(shí)刻RRE<15%，則視本次試驗(yàn)收斂，否則視為發(fā)散。定位精度為跟蹤結(jié)束時(shí)刻RRE的平均值，仿真結(jié)果如表1和圖2所示(各圖中已剔除不收斂的實(shí)驗(yàn)結(jié)果)。

由表1和圖2可知，在高精度觀測(cè)時(shí)，各算法的性能均能有較好的表現(xiàn)，但隨著觀測(cè)精度的逐漸降低，各算法的性能開始發(fā)生變化，收斂速度變慢，濾波發(fā)散次數(shù)開始增多，穩(wěn)定性下降，相比之下UKF在收斂速度、收斂精度、穩(wěn)定性上均優(yōu)于EKF。但是隨著觀測(cè)誤差的進(jìn)一步加大，UKF算法由于存在數(shù)值計(jì)算舍入誤差引起誤差協(xié)方差矩陣負(fù)定的問題，穩(wěn)定性開始大幅下降。SRUKF算法采用誤差協(xié)方差矩陣的平方根代替協(xié)方差陣參加遞推運(yùn)算，提高濾波算法的運(yùn)行效率，保證了數(shù)值穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，SRUKF算法的性能優(yōu)于UKF算法。

表1 跟蹤算法的穩(wěn)定性與定位精度比較

算法觀測(cè)精度1[XXZXX0mmY0-YXX1mmY0]觀測(cè)精度2[XXZXX0mmY0-YXX1mmY0]觀測(cè)精度3[XXZXX0mmY0-YXX1mmY0]

收斂次數(shù)定位精度/%收斂次數(shù)定位精度/%收斂次數(shù)定位精度/%

EKF1001.688723.899418.115

UKF1001.461912.151734.289

SRUKF1001.3921001.994893.903

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圖2 不同觀測(cè)精度時(shí)各算法的統(tǒng)計(jì)平均曲線

4 結(jié) 語

采用相位差變化率、多普勒變化率相結(jié)合的定位方法降低了采用單一多普勒頻率變化率定位方法實(shí)用性的限制，使得對(duì)測(cè)量精度的要求降低。計(jì)算機(jī)仿真表明，平方根UKF算法提高了收斂速度、定位精度和穩(wěn)定性，且計(jì)算量較標(biāo)準(zhǔn)的UKF算法沒有顯著增加。因此結(jié)合以上的定位方法和算法在單站無源定位與跟蹤系統(tǒng)工程化有一定的參考價(jià)值，同時(shí)也較容易推廣到其他無源定位領(lǐng)域中。

參 考 文 獻(xiàn)

［1］孫仲康，郭福成，馮道旺.單站無源定位跟蹤技術(shù)［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2008.

(上接第134頁)

［2］龔享銥.利用頻率變化率和波達(dá)角變化率單站無源定位與跟蹤的關(guān)鍵技術(shù)研究［D］.長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2004.



［3］占榮輝.基于空頻域信息的單站被動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法研究［D］.長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2007.



［4]JULIER Simon， UHLMANN Jeffrey， DURRANT-WHYTE Hugh F. A new approach for filtering nonlinear systems［C］//Proceeding of the American Control Conference. Washington: ［s.n.］， 1995: 1628-1632.



［5]JULIER Simon， UHLMANN Jeffrey， DURRANT-WHYTE Hugh F. A new method for the nonlinear transformation of means and covariance in filters and estimators［J］. IEEE Trans. on Automatic Control， 2000， 45(3):477-482.



［6］JULIER Simon， UHLMANN Jeffrey. Unscented filtering and nonlinear estimation［J］.Proceedings of IEEE， 2004，92(3):401-422.



［7］MERWE R V D， WAN E A. The square root unscented Kalman filter for state and parameter estimation ［C］//Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics， Speech and Signal Processing. New York: IEEE， 2001:3461-3464.



［8］隋紅波，王鼎，吳瑛.基于運(yùn)動(dòng)學(xué)原理的單站無源定位改進(jìn)算法［J］.信息工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，9(1):66-69.



［9］李丹，劉建業(yè)，熊智，等.基于最小偏度采樣的衛(wèi)星自主導(dǎo)航SRUKF算法［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)， 2009，41(1):53-58.

作者簡介：

于清津 男，1972年出生，河北衡水人，工程師。主要研究方向?yàn)槔走_(dá)測(cè)控。