基于數學優化法的帶通濾波器研究

摘要：提出了在濾波器設計過程中的一種數學優化設計方法。理論分析表明，該設計方法能夠通過設定目標函數和約束條件的方式迅速而準確地逼近目標，接近理想響應。基于該分析，分別用插入損耗法和數學優化法設計了一個等波紋電感耦合帶通濾波器。仿真結果表明：使用數學優化法不僅可以快速而準確地進行設計，而且能大幅提升濾波器性能。

關鍵詞：數學優化法； 插入損耗法； 帶通濾波器； 波紋電感

中圖分類號：TN713+.534文獻標識碼：A文章編號：1004373X(2012)04002502

Research on bandpass filter based on mathematical optimization method

ZHAO Kaiyu， WU Qinghua， LI Ling

（Department of Qixin， Zhejiang SciTech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： A design method based on mathematical optimization in the process of filter designing is proposed. The theoretical analysis shows that this method can approximate the target accurately and get close to the ideal response by setting a goal function and constraints. Based on this， the insertion loss method and mathematical optimization method were adopted to design an equiripple inductivelycoupled filter respectively. The simulation result shows that it can not only shorten the design time， but also improve the filter performance to a great extent.

Keywords： mathematical optimization method; insertion loss method; bandpass filter; rippleinductance

收稿日期：20110919

基金項目：浙江省自然科學基金(Y1110297);浙江理工大學科研啟動基金(1004811Y)微波濾波器是無線通信收發電路的重要組成部分，在收發前端承擔信號選擇的功能，在各種無線系統中得到非常廣泛的應用，對它設計方法的研究也一直是微波學界研究的焦點問題之一。通常，濾波器可采用傳統的電路綜合法，包括鏡像參量法、網絡綜合法、插入損耗法等進行設計。近年來，隨著無線通信技術的日益發展和微波濾波器面積的不斷縮減，單純利用傳統的設計方法已經很難滿足結構更加復雜的現代新型濾波器的設計要求。因此，提出新的設計方法已經成為技術發展和應用的關鍵問題之一。

基于以上背景，本文提出了一種數學優化設計方法進行濾波器設計。相比傳統的電路綜合法，這種優化設計方法可對多個頻率點設立目標函數，在一段頻率區間內實現對多個目標的逼近，從而有效地把握濾波器的整體響應，達到精確設計并提高性能的目的。本文用該方法設計了一種等波紋電感耦合的帶通濾波器，驗證其在控制帶寬及改善整體性能方面的優越性。

1數學優化法設計原理

數學優化法是一種求極值的方法，即在一組約束條件下，使目標函數達到極值，常用的數學優化方法有梯度法、牛頓法、退火算法和遺傳算法等 。

在濾波器的優化設計過程中，先求得優化頻率點，然后構造目標函數K，并把其在優化頻率點處的最小值作為目標，利用優化算法求得最優解。

1.1求解優化頻率點

等波紋帶通濾波器是以切比雪夫多項式為基礎進行設計的，由于帶通濾波器的頻率響應是低通原型的頻率響應經變換得到的，所以首先來考慮低通濾波器。

廣義切比雪夫低通原型的濾波函數PLR是一關于頻率ω的有理函數，PLR由它的零、極點及一個常數所決定。若用切比雪夫多項式設定N階低通原型的插入損耗響應，則可以得到濾波函數PLR為［1］：PLR=1+k2T2Nωωc（1）式中：k為常數；ωc為低通濾波器原型中的頻率點，設定為1 GHz， TNωωc是關于ω的N階切比雪夫多項式。

若負載和源均匹配，且假定網絡無耗，則傳輸函數S21可以表示成：S221= 1/PLR= 11 + k2T2Nωωc（2）根據無耗網絡的么正性S221+ S211=1，有：S211= k2T2Nωωc1 + k2T2Nωωc （3）由式（2），（3）可得，S11和S21的零點分別為ωzi，ωpi（i由N決定）。

設最終要實現的是中心頻率為ω0的帶通濾波器，現根據式（4）將低通響應轉換為帶通響應。ωi′ = 1Δ ωiω0-ω0ωi （4）式中：Δ，ω0分別為帶通濾波器的相對帶寬和中心頻率；ωi′為低通響應的頻率點；ωi為低通響應轉換為帶通響應后ωi′的對應頻率點。

由式（4）有：ωi= Δ ω0ωi′±(Δ ω0ωi′)2 + 4ω202 （5）得到對應帶通濾波器中S11和S21的零點ωzi，ωpi，即所要求解的優化頻率點。

1.2目標函數的構造

考慮到實際中介質損耗、原件損耗、尺寸誤差諸多方面的問題，在1.1中所提及的理想條件下的函數關系式（1），（2），（3）實際是不可實現的，由于PLR的零點就是反射函數 S11的零點，而它的極點為傳輸函數S21的零點，因此可以選擇S11和S21的零點構造目標函數，至于常數k可以從ω=±1處的反射系數|S11(ω=±1)|=k/1+k2計算得出，據此做出如下目標函數［2］：K=∑ni=1S11(ωzi)2+∑mi=1S21(ωpi)2+

|S11(ω=－1)|－k1+k22+

|S21(ω=1)|－k1+k22（6）本文提出使用梯度優化算法來對目標函數逼近［3］。首先求得目標函數K的梯度。為了使優化過程更為有效，采用目標函數的梯度來搜索其極值點。這種基于梯度的優化方法收斂極快，而且不會出現優化過程無法收斂或者收斂于局部極值點的情況，從而能夠快速而準確地逼近目標函數。

2濾波器的仿真及對比

為驗證這種方法的有效性，用插入損耗法設計一個中心頻率為2 GHz，等波紋帶寬為30%的三階0.5 dB等波紋電感耦合帶通濾波器。

等波紋電感耦合帶通濾波器的傳輸線模型如圖1所示，其中全部傳輸線的特征阻抗均為Z0，一般選取為50 Ω，θi為第i段傳輸線的電長度，jXi為對應的第i個電感的阻抗，模型兩端的兩段傳輸線為引出線。

圖1N階等波紋電感耦合濾波器的傳輸線模型該傳輸線模型實際上可等效為的阻抗倒相器與半波長諧振器串聯的結構，據此可以計算得出各傳輸線的電長度及各電感值［46］。使用插入損耗法得到的三階0.5 dB等波紋電感耦合帶通濾波器的微帶實現版圖如圖2所示。

圖2三階等波紋電感耦合帶通濾波器版圖各微帶線的尺寸為:

l0= 40.07 mm，l1= 39.73 mm，l0′ = 10.62 mm，l1′ = 6.26 mm，w=1.34 mm。

在此基礎上進行數學優化，優化目標為min K。

根據優化計算的結果，得出濾波器中各傳輸線尺寸如下（對應圖2中各參數）：l0= 38.69 mm，l1= 42.48 mm，l0′ = 9.41 mm，l1′ =5.09 mm，w=1.34 mm。傳輸函數S11，S12的仿真結果如圖3所示。

圖3中心頻率為2 GHz、帶寬為30%的三階0.5 dB

等波紋電感耦合帶通濾波器頻率響應由圖3（a）分析知，采用插入損耗法的仿真結果中通帶的帶寬在26%左右，而在此基礎上采用了數學優化方法后，通帶帶寬增加，達到了設定的30%。另外，圖3（b）顯示，優化后的結果改善了原有的等波紋特性，更接近理想響應，濾波器性能得到提升［79］。

3結語

本文針對濾波器的設計提出了一種數學優化設計