熱傳導方程的解在改變控制函數時的變化情況

摘要：本文主要介紹熱傳導方程yt-yxx=u（x，t）y（0，t）=y（1，t）=0y（x，0）=y0（x） x∈[0，1]，t≥0（*）在滿足給定初邊值條件及控制函數u（ Pu，PL∞≤1）的條件，改變控制函數u，此方程的解如何變化，以及在此條件下能否找到此方程在T時刻時能達集F={yu（g，T）：yu是方程（*）對應于u的解}的一個子集合.

關鍵詞：熱傳導方程；能控性；能達集

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）03-0207-02

本文對熱傳導方程yt-yxx=u（x，t）y（0，t）=y（1，t）=0y（x，0）=y0（x） x∈[0，1]， t≥0的通解進行介紹.

yt-yxx=u（x，t）y（0，t）=y（1，t）=0y（x，0）=y0（x） x∈[0，1]，t≥0，y0（x）∈C[0，1]，|u（x，t）|≤1

（1）利用疊加原理，將y（x，t）表為下述兩個初邊值問題的解v和w之和.y（x，t）=v（x，t）+w（x，t），其中v，w分別滿足問題：

vt-vxx=0v（0，t）=v（1，t）=0v（x，0）=y0（x） x∈[0，1]， t≥0 （1.1） 和wt-wxx=u（x，t）w（0，t）=w（1，t）=0w（x，0）=0 x∈[0，1]， t≥0 （1.2）

（2）解（1.1）式

首先，因為y0（x）∈C[0，1]，即存在常數k＞0，使得|an|＜k（?坌n∈N），因此，對?坌t1＞t0＞0，在閉矩形區域 ■={（x，t）|0≤x≤1，t0≤t≤t1}上有|ane■sinn?仔t|≤ke■，所以級數■ane■sinn?仔x在■上絕對且一致收斂，故和函數v（x，t）連續.由t＞0的任意性知v（x，t）在0≤x≤1，t＞0上連續.于是對?坌t＞0有v（0，t）=v（1，t）=0.

然后，尋求變量分離的解：v（x，t）=X（x）T（t），代入（1.1）式，得：■=■，并記為-?姿；由此可得：X''+?姿X=0T'+?姿T=0，由邊界條件可知：X（0）=X（1）=0

因此可構成常微分方程的特征值問題 X''+?姿X=0X（0）=X（1）=0 （1.3），解法如下：

①當?姿＜0時，方程的通解為X（x）=Ae■+Be■ ， 代入邊界條件得：

A=B=0，即方程僅有零解.故?姿＜0不是其特解.

②當?姿=0時，通解為X''（x）=0，代入邊界條件后得X（x）=0，故?姿=0也不是特征值.

③當?姿＞0時，若記?姿=k2（k＞0），則得方程的通解為X（x）=Acoskx+Bsinkx

由邊界條件X（0）=0得A=0；

再由X（1）=0 得Bsink=0 ，要求非零解，則B≠0，故應有k=n?仔或?姿n=（n?仔）2，n=1，2…此即特征值問題（1.3）的特征值，相應的非零解，即特征函數是Xn（x）=sinn?仔x n=1，2，3…（這里B取為1）

注：特征值?姿是使特征方程有非零解的值.

將?姿n代入T’+?姿T=0，得它的通解為Tn=ane■，

從而可得v（x，t）=■XnTn=■ane■sinn?仔x （1.4）

代入初始條件得：■ansinn?仔x=y0（x）

于是，an是y0（x）在[0，1]上的Fourier正弦級數的系數，即an=2■y0（?孜）sinn?仔?孜d?孜

（3）用特征函數法求解（1.2）式：

從（1.4）式，尋求問題（1.2）如下形式的解：

w（x，t）=■wn（t）sinn?仔x （1.5）

（1.5）式滿足齊次邊界條件，wn（t）待定.將函數u（x，t）也按特征函數系展開，得

u（x，t）=■un（t）sinn?仔x （1.6）

其中un（t）=2■u（x，t）sinn?仔xdx

將（1.5）（1.6）式代入（1.2）可得：wn'（t）+（n?仔）2wn（t）=un（t）un（0）=0，這是一階常微分初值問題，其解為

wn（t）=e■■un（t）e■dt，將其代入（1.5）式，得（1.2）式的解為：

w（x，t）=2■[■e■（■u（?孜，t）sinn?仔?孜d?孜）dt]e■sinn?仔x

（4）由疊加原理，方程（*）的解為：y（x，t）=v（x，t）+w（x，t）=2■e■sinn?仔x（■y0（?孜）sinn?仔?孜d?孜）+2■[■e■（■u（?孜，t）sinn?仔?孜d?孜）dt]e■sinn?仔x

參考文獻：

[1]陳祖墀.偏微分方程[M].第2版.合肥：中國科學技術大學出版社，2004.

[2]方瑛，徐忠昌.數學物理方程與特殊函數[M].北京：科學出版社，2007.

作者簡介：蔣學良（1963-），男，現任大連交通大學副教授，主要任教學科：變頻器應用技術、數字電路等，研究方向：電氣自動化。