“類比”在高中數學教學中的應用

摘要：高中數學中有許多同一知識體系中的不同概念及不同知識體系中的相關概念具有相同或相似點，在教師的教學與學生的學習過程中，可根據其相似性對它們進行類比，根據已經學過的知識推導出新的知識，既可讓學生在學習中學得輕松，也可以很好地培養學生良好的思維品質，提高學生學習數學的興趣。

關鍵詞：類比；概念；性質；結論；方法

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）03-0156-03

類比方法是數學發現中最常用、最有效的方法之一，是從特殊到特殊、特殊到一般、或從一般到一般的間接邏輯推理方法。通過對兩個或兩類對象進行比較，找出它們之間在某些關系或性質上的相同或相似點，以此為依據，推測它們在另外的關系或性質上的相同或相似的結論。這是一種合情推理，盡管邏輯依據不是很充分，類比的結果具有或然性，但是，良好的類比給出的“相似”比較接近于事物的本質，只要通過驗證即行了。高中數學中的代數、立體幾何以及解析幾何中有許多的概念、定理、性質、結論等有許多的相似之處，正因為它們有著驚人的相似，所以在學習中可以將相似的概念等進行類比，通過類比的方法去理解、去體會，便可加深對所學知識的認識與理解，從而提高學習效率。

一、等差數列與等比數列中的類比

等差數列與等比數列是高中數學的重要內容之一，也是高考中的熱點內容。對于這兩個特殊的數列，它們的定義分別是：對于一個數列{an}，如果從第二項起，每一項與它前面一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列；如果從第二項起，每一項與它前面一項的比值都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列。根據其定義的相似性，在學習其性質時，不妨將它們進行類比。對于等差數列與等比數列的類比，有如下的關系：

（1）等差數列→用“差”定義→用“加法”表述性質

b類比 b類比

等比數列→用“商”定義→用“乘法”表述性質

即在等差數列中用“差”或“和”表述的性質，在等比數列中類比可得到相應的用“商”或“積”表述的性質。如：

①在等差數列{an}中，若m、n、r、s∈N，且成等差數列，則am、an、ar、as成等差數列，即an-am=as-ar；

在等比數列{an}中，若m、n、r、s∈N，且成等差數列，則am、an、ar、as成等比數列，即■=■。

②在等差數列{an}中，若m、n、r、s∈N，且m+n=r+s，則am+an=ar+as；

在等比數列{an}中，若m、n、r、s∈N，且m+n=r+s，則am·an=ar·as 。

③在等差數列{an}中，Sn為前n項的和，則Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…成等差數列；

在等比數列{an}中，Tn為前n項的積，則Tk，■，■，…成等比數列。

（2）等差數列中“某些項的和為0”可類比得到等比數列中“相應項的積為1”。

例1：（2000年上海卷）在等差數列{an}中，若a10=0，則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+）成立，類比上述性質，相應地：在等比數列{bn}中，若b9= ，則有等式 成立。

分析：根據等差數列與等比數列中的類比方法，同時等差數列中的“0”與等比數列中的“1”類比，并且注意已知條件中“n＋（19-n）=2×10”，便可得到相應結論：

在等比數列{bn}中，若b9=1，則有等式a1·a2+…·an=a1·a2+…·a19-n（n＜19，n∈N+）成立。

評注：一般，對等差數列{an}，如果ak=0，則an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=…=ak+ak=0。所以有：a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+（an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n）（n＜2k-1，n∈N*）。從而對等比數列{bn}，如果bk=1，則有等式：b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n（n＜2k-1，n∈N*）成立。

（3）等差數列中的“n分之一”可類比得到等比數列中的“n次方根”。

例2：若數列{an}為等比數列，且an＞0，bn=■，則數列{bn}也為等比數列，類比上述性質，若{cn}為等差數列，dn= ，則數列{dn}為等差數列。

分析：由上述類比方法可得結論：

若{cn}為等差數列，dn=■，則數列{dn}為等差數列。

（4）等差數列中“某項的n倍”可類比得到等比數列中的“某項的n次冪”。

例3：等差數列{an}的前n項的和記為Sn，則Sn=■，若等比數列{bn}（bn＞0）的前n項的積記為Tn，類比等差數列的前n項的和公式，可得結論：Tn＝ 。

分析：等差數列中的兩項的和可類比得到等比數列中相應兩項的積，和的n倍可類比得到積的n次冪，等差數列中兩項和的二分之一可類比得到等比數列中兩項積的平方根，于是可得結論：Tn=■，或寫成：Tn=（■）n（證明略）。

通過類比加深了學生對知識的理解，便于學生記憶與應用。

二、函數中的類比

反函數是高中數學中的一個重要概念，根據反函數與其原函數之間的關系，在討論反函數的性質時，將其與原函數進行比較，可以體現數學中的對稱美。

根據反函數的定義及求法，不難發現原函數與反函數之間存在x與y互換的性質。比如，原函數的定義域與反函數的值域的對應關系、原函數的圖像與其反函數的圖像之間的對稱關系無不反映這一點，在指數函數與對數函數的學習中，便可利用這一互為反函數的關系進行學習，在討論對數函數的性質時，只要將指數函數的相應性質的“x”“y”互換，即可得到對數函數的性質。

三、平面幾何與立體幾何的類比

在空間問題與平面問題的類比中，通常可抓住幾何要素的如下對應關系作類比：

多面體?圮多邊形； （平）面?圮邊（直線）

體積?圮面積； 二面角（多面角）?圮平面角

面積?圮線段長； … …

例4：如圖1，在三棱錐A-BCD中，截面B1C1D1平行于底面BCD，若三棱錐A-BCD的體積為1，S■=■S■，則三棱錐A-B1C1D1的體積為 ■ 。

分析：在平面幾何中，兩個相似三角形的面積之比等于相似比的平方，則類比可得到在立體幾何中，兩個相似多面體的體積之比等于相似比的立方，此題中的三棱錐A-B1C1D1與三棱錐A-BCD是相似多面體，由已知可求得AB1＝■AB，因此可求得V■=■V■。

這種通過對知識的歸納類比，并總結出一般的結論的思考方法是學習數學的一種基本的方法，它有助于我們養成良好的思維習慣，不斷地對知識進行歸類整理，使所學知識系統化。

四、平面向量與空間向量的類比

平面向量與空間向量的定義、運算法則及它們的坐標運算都是一樣，只是維數不同，因此在高二（下B）學習空間向量時，完全可以在高一平面向量的基礎上通過類比的方法進行學習。在平面向量中的一些結論可利用類比的方法得到空間向量中的結論，如：

（1）“平面向量中，兩個向量■與■（■≠■）共線的充要條件是存在唯一實數λ，使■＝λ■”，類比可得“空間向量中，三個向量■、■、■（■與■不共線）共面的充要條件是存在唯一的一對實數λ與μ，使得■＝λ■+μ■”；

（2）“平面向量中，A、B、C三點共線的充要條件是對平面內的任意一點P，存在實數λ與μ，使得■＝λ ■+μ■，且λ+μ=1”，類比可得空間向量中，A、B、C、D四點共面的充要條件是存在實數λ、μ與ω，使得 ■＝λ■+μ■＋ω■，且λ+μ+ω＝1”；

（3）在平面向量中有平面向量基本定理：如果■與■是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量■，有且僅有一對實數λ1，λ2，使■=λ1■+λ2■，在空間向量中，可由此類比得到空間向量基本定理：如果■、■、■是空間三個不共面的向量，那么對于空間的任一向量■，有且僅有一組實數λ1，λ2，λ3，使 ■=λ1■+λ2■+λ3■；

五、解析幾何中的類比

解析幾何中的橢圓、雙曲線的定義非常相似，從定義上看，僅僅是“和”與“差（的絕對值）”的區別，并且它們有統一的第二定義，它們的第二定義也僅是常數e的取值范圍不同。因此，在討論了橢圓的幾何性質后，便可類似地得到雙曲線的相應的幾何性質，如它們的范圍、對稱性、離心率等。

例5：（2003年上海春招題）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值。試對雙曲線■-■=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明。

分析：根據橢圓與雙曲線的定義與性質的相似性，可得結論：若M、N是雙曲線■-■=1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值。（證明略）

六、在解題策略中通常采用規律類比、數形類比、形式類比等

解題過程中，借助類比將陌生對象和熟悉對象、未知規律和已知規律相互類比之后，往往達到啟發思路、舉一反三的效果。

例6： 計算D=sin（α1+α1）sin（α2+α2）sin（α3+α3）+sin （α1+α2） sin （α2+α3） sin （α3+α1）+sin（α1+α3）sin（α3+α2）sin（α2+α1）-sin（α2+α1）sin（α3+α3）sin（α1+α2）-sin（α2+α3）sin（α3+α2）sin（α1+α1）-sin（α3+α1）sin（α1+α3）sin（α2+α2） 。

分析：由求解式的構成特點、規律類比到三階行列式，從而

D=sin（α1+α1） sin （α1+α2） sin（α1+α3）sin（α2+α1） sin （α2+α2） sin（α2+α3）sin（α3+α1） sin （α3+α2） sin（α3+α3）

=sinα1 cosα1 0sinα2 cosα2 0sinα3 cosα3 0·cosα1 cosα2 cosα3sinα1 sinα2 sinα30 0 0=0

例7：求滿足方程組y=4x3-3xz=4y3-3yx=4z3-3z的實數（x，y，z）。（1990北京IMO集訓題）

分析：由每個方程的形式聯想三倍角的余弦公式，用三角法。首先證明|x|≤1，用反證法|x|＞1由y=4x3-3x=x（4x2-3）→|y|＞|x|.同理|z|＞|y|、|x|＞|z|，矛盾。

因此可設x=cosθ，0≤θ≤π，則y=4cos3θ-3cosθ

=cos3θ，z=cos9θ，x=cos27θ.提出cosθ-cos27θ=0→

sin13θsin14θ=0，θ有27個解：

θ=■，k=0，1，2，…，13；或者θ=■，k=0，1，2，…，13。

所以，（x，y，z）=（cosθ，cos3θ，cos9θ），其中θ=■或■且θ=0，1，2，…，13。

另外，除了上述概念、定理、性質之間的類比即解題方法的類比外，還有從特殊到一般的類比等等。

總之，知識的類比，實際上也就是新舊知識的遷移；方法的類比，也就是對知識的歸納與總結。張雄將類比分為簡單共存類比法——根據對象之間具有簡單共存關系而進行類比推理；因果類比法——根據對象的屬性間可能有同一種因果關系而進行的推理；對稱類比法——根據對象屬性之間具有對稱性而進行的推理；協變類比（數學相似）法——根據對象屬性之間具有某種確定的協變關系（即函數變化關系）而進行的推理；綜合類比法——根據對象屬性的多種關系的綜合相似而進行的推理，數學中有降維與升維類比，等。作為教師，在教學中應該有意識地教給學生如何去進行類比，引導學生通過對新舊知識的對比，找出它們的差異與相似的地方，通過類比得出新的知識，有助于學生對知識的理解與掌握。同時，只要學生學會了正確的方法，則可提高學生學習數學的興趣，激發學生的學習熱情，提高學生的自學能力。

參考文獻：

[1]楊燕.嶄露頭角的研究型試題[Z].中學數學教學參考，2002.

[2]張同君.中學數學解題研究[M].東北師范大學出版社，2002.

[3]顧國章.高考對類比推理的考查[Z].中學數學，2005.

[4]張雄，李得虎.數學方法論與解題研究[M].高等教育出版社，2003.