第二類重要極限的簡易算法

摘要：兩個重要極限的計算問題是極限這一章的重點和難點，本文通過證明推導出關于第二類重要極限計算的一種簡易算法。

關鍵詞：第二類重要極限；系數；指數

中圖分類號：O13；G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）08-0053-02

一、第二類重要極限及其常規算法

第二類重要極限是高等數學、微積分極限這部分內容的難點之一，學生在計算時很容易出錯。第二類重要極限的公式形式有兩種：■（1+■）x=e，■（1+x）■=e。對于第二類重要極限計算題可以用換元法來做。

例1 求■（1+■）x

解 令u=■，當x→∞時，u→0，于是有■（1+■）x=■（1+u）■=[■（1+u）■]2=e2。

例2 求■（1+2x）■

解 令u=2x，當x→0時，u→0，于是有■（1+2x）■=■（1+2x）■=[■（1+u）■]2=e2

第二類重要極限的推廣型：x→x0，g（x）→0，■（1+■）g(x)=e（參見[1]）。第二類重要極限的一些題目不換元，也可以直接計算：

例3 求■（1-■）2x+1

解 ■（1-■）2x+1=■（1-■）2x（1-■）=■（1-■）2x■（1-■）=■[（1-■）■]■■（1-■）=e■·1=e■

二、第二類極限簡易算法

定理1：若a≠0，c≠0，則■（1+■）■=e■。

證明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。

定理2：■（1+■）■=e■

證明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。

這類極限計算值里底數都是e，計算這類的極限值關鍵是計算e的指數。

根據上述證明的兩個定理，我們可以得出一個重要的結論：

推論1：第二類重要極限■（1+■）■極限值中 的指數為x與■的系數乘積。

證明：易見■的系數為■，x的系數為■，根據定理1，■（1+■）■=e■，e的指數為■，恰為x與■的系數乘積。

推論2：第二類重要極限■（1+■）■極限值中e的指數為x與■的系數乘積。

證明：■的系數為■，x的系數為■，根據定理2， ■（1+■）■=e■，e的指數為■，恰為x與■的系數乘積。

根據推論1和推論2很容易就可以解決很多第二類極限問題。

如前文例1所示：■（1+■）x，x與■乘積為2，可以計算出結果為e2。

例2 求■（1+2x）■，x與■乘積為2，可以計算出結果為e2。

例3 ■（1-■）2x+1，x與■乘積為-■，可以計算出結果為e■。

三、第二類重要極限簡易算法的應用

（一）計算連續復利的復利公式

Sn=■p（1+■）nt=p■（1+■）nt，（參見[2]）t與■的系數乘積為rn，結果為ern。計算起來非常方便。

（二）在微分證明中的應用

（lnx）'=■■=■ln（■）■=ln■（1+■）■，■（1+■）■中△x與■系數乘積為■，結果為lne■=■。

參考文獻：

[1]彭英.淺談兩個重要極限的應用[J].山西科技，2008.

[2]孫明巖.微積分[M].東北大學出版社，2011.

作者簡介：孫明巖（1978-），男，吉林，講師，碩士，研究方向：應用數學。