以復變函數為例 探討大學數學教育

摘要：本文從數學的應用性出發，以復變函數課程為例，探討目前大學數學教育在教學內容、教學方法和手段、教學效果評價三方面存在的問題及對策。

關鍵詞：教學內容；方法和手段；效果評價

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）08-0051-03

大學數學課程一直困擾著很多學生和數學教師，眾多高校數學教師在為此不懈地探索、研究，積累了豐富的經驗。本文從數學的應用性出發，以復變函數課程為例，站在學習者的角度，在強調數學思想的介紹基礎上，探討目前大學數學教育在教學內容、教學方法和手段、教學效果評價三方面存在的問題及對策。

一、數學的廣泛應用性

數學來源于實踐，數學主要是在解決各領域中各類實際問題而產生，并通過抽象和概括轉化為數學問題，從而發展起來的。反過來，數學為解決實際問題提供了思想方法、計算工具和理論論證。因此數學的一個重要特征就是應用的廣泛性。對多數人來說，對數學的學習源于其廣泛應用性。

二、大學數學教育存在的問題

數學最本質的就是其思想。能否把數學思想很好地介紹給學生，取決于學生是否有興趣，而實用性恰是興趣的重要源泉。

生活中，我們更喜歡說：“我可以給你什么？”而不是：“你想要什么？”因為后者需要我們付出更多努力而不是信手拈來，逐漸地，人的興趣被壓抑和扼殺了。這是非常糟糕的現狀。作為高校數學教師能做點什么呢？我們從學和教兩方面來分析：一方面，學習分為兩個大的層次，首先是學以致用，其次才是興趣使然。事實上，多數人對于多數課程的學習都屬于第一層次。另一方面，在教授環節中，教育理念是教育成敗的關鍵。教材的內容，體現著作者的教育理念；教師授課過程和考察制度體現著教師的教育理念。

那么，作為教師我們必須做到：結合學習者和講授者兩方面因素，傾聽、感悟學習者的心聲，理解學習者的困惑，站在學習者的立場來分析大學數學教育中問題的根源所在、尋找對策。

1.教學內容。目前數學教材普遍問題總結為：①序言或緒論部分過于精致，不能激發學生對該課程的足夠期待。②教學內容的展開枯燥、機械。抽象地陳述定義、定理，而很少提及它們的產生背景和應用；很少闡述如何去發現問題、分析問題和解決問題等。這難以培養、激發學生的學習興趣和創新能力，這使數學學習成為機械地記憶、復制過程。③教學內容重理論輕應用，重知識的完整性輕發展線索。很少介紹知識的背景材料和具體應用，而只關注知識本身；對定義及定理證明缺少必要的分析和概括。這樣學生頭腦里會產生很多問題卻得不到解答，困惑使學習數學變得痛苦。④教學內容重細節輕整體，這樣即使學生掌握了書中的各個細節，但是對于理論發展脈絡不清楚，這門課實際上就是肢體完整但失去了靈魂。⑤課后習題缺乏創新性、思考性和應用性。

2.教學方法和手段。目前，大學數學教育在教師的工作強度、學時減少的壓力及秉承傳統的習慣等因素下，在教學方法和手段方面主要問題表現為：①學生處于被動接受狀態，沒有處在主體地位。老師通常是把定義、定理、推論及相關證明逐一給出，而對于證明思路沒有足夠的分析，不考究為什么，學生通常做的事情只是理解和記憶，然后套用所學，而缺乏創新思考。②強調知識的邏輯線索，忽略了知識的發展線索，違背了人的認知規律。③過于強調細節，忽略知識的整體結構。通常是詳盡地證明定理、問題求解過程等，而常常忽略從整體上把握一節課乃至整本書的結構框架、關系框架以及此刻與其他相關課程的關聯。④沒有恰當利用現代化教學資源。一種是教師沒有利用現代化教學資源。另一種是現代化教學資源利用過多或不當：有些老師定理證明甚至整節課都用幻燈片，這對學生來說整節課就像走馬觀花一樣，根本提不上課程的整體性。

3.考核模式。目前，高校在課程考核方式和內容上，普遍是“重知識和理論，輕能力和應用，忽略創新”：①考核內容不科學。考核內容多局限于基本知識和理論，這導致記憶性內容所占比重過大，缺乏對學生實際應用能力和創新能力的綜合考察。②考核方式單一。通常采用閉卷筆試的理論考核，平時成績基本上取決于出勤和作業情況，而作業情況的真實性較差，故對學生學習過程的考核通常并不奏效，導致很多學生“平時不學習、考前背幾天、考后就忘掉”的學習狀態。因此考核模式及內容亟待改革。

三、問題的解決對策

我認為作為大學數學教師，能夠做到：站在學生的角度上，以“數學的應用性”為主線，遵循人類認知的客觀規律，充分發揮現代手段，展現在數學“冰冷美麗”背后的數學本質，滲透數學思想，就已經是完美了。

1.教材或教學內容，應該把學習者都當作是該領域中不諳世事的孩子而不是經歷風霜的長者。對抽象的數學概念、定理，在陳述上要盡量直觀、通俗。

2.給學生一個精彩的緒論。當學一門新課時學生都會有這些問題：為什么要學這門課程？這門課程是怎樣產生和發展起來的？學這門課有什么用？怎么學？作為教師，必須在第一次課給學生一個精彩的緒論，來回答這些重要而關鍵的問題，激發學生的學習興趣。

3.“數學的應用性”要貫穿于教學及考核環節。在緒論、每一章開頭、習題、作業、考試試題及考核模式，除了基本知識和理論外，還要體現出數學的應用性，從而去考察學生的思考能力、創新能力。在考核中制定更為科學合理的學生成績評價方法：①開卷和閉卷結合。對于復變函數課程的重要內容如解析函數的判別和構造、解析函數的洛朗展開、留數定理、共形映射等必須熟練掌握，其他內容適當了解即可；②提高平時成績的真實有效性：堅持隨機點名、不定期的課堂測驗、每章結束時要求學生撰寫總結小論文，督促學生積極思考，力求聽懂學會。

4.遵循人類認知的客觀規律，展現出在數學“冰冷美麗”背后的數學本質。數學家H·弗賴登塔（1908～1990）說過：“沒有一種數學思想，以它被發現時的那個樣子發表出來。一個問題被解決以后，相應地發展成一種形式化的技巧，結果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗。”事實上，通常教科書里陳述的數學，往往是“冰冷的美麗”，令人步履維艱.因此，數學教師的責任在于把數學的學術形態轉化為教育形態，使學生既能高效率地進行火熱的思考，又能比較容易接受、理解隱藏在“冰冷美麗”背后的數學本質。教師需做到以下幾點：

（1）尊重學生的主體地位，充分發揮教師的主導地位。一勺鹽是難以下咽的，但把鹽放入湯中既美味又營養。將數學融入實踐應用中來教學，才能顯示數學的活力和魅力。在教學中，要通過創設良好的問題情境，引導學生觀察、思考、探索，通過自己的親身實踐，充分發揮學生學習的主動性。

（2）以理論的發展線索，展現完整的學習內容。正如柯朗說過：“只有在以達到有機整體為目標的前提，只有在內在需要的引導下，自由的思維才能做出有科學價值的成果。”所以在教學中：①要充分介紹知識的產生背景，因為任何一門數學課程都要兼顧理論研究和實際應用，數學理論演變的過程往往就是一段讓同學們感興趣的歷史，可以再現數學先哲們思考問題的方式，可以窺視他們是如何探索真理的，從而激發學生的興趣、啟發學生怎樣去思考問題、引發學生的期待；②要以理論的發展線索來展開教學，學生就如同追隨著知識發展的腳步一道走來，而后再與學生共同分析總結邏輯線索；③要先抓住整體框架，再進行細節展開，這樣更利于對知識的整體把握；④要注意與相關知識的對比，找出差別與聯系，從而把數學各分支緊密聯系起來；⑤要強調對概念的準確理解和掌握（因為各種推理論證都是在尋求不同概念之間的關系，對概念準確到位的理解和掌握是進行推理論證的前提）；⑥要強調對解決問題思路的分析過程，而不是只要證明過程；⑦要引導學生發現抽象的形式理論的實質和思想方法，變抽象為通俗、具體，從而會拉近學生與數學的距離。

例如：在緒論部分，首要是要學生明確：“微積分主要討論的是實變數函數的微分和積分，從字面看，似乎只是將實數變成復數，那么運算規則及定理應該是一樣的，為什么還要再開一門復變函數呢？”這一問題，以極限及微分定義、函數可微與導函數可微的關系為例來說明復變函數并非是微積分從“實數到復數”的平凡推廣，而是有本質的不同：微積分中函數一次可微分，其導函數未必連續從而比一定二次可微分，但是由于復變函數可微分是很強的一個條件，所以函數一次可微分，就會任意次可微分。除了強調復變函數中某些概念及其性質呈現出的差異這些知識點外，在教學中還應使學生明確概念推廣所遵循的一些基本原則。一方面，概念的推廣必須滿足相容性，例如當復數域上函數限制到實數域時，必須與實函數的一切性質相吻合。另一方面，概念推廣要盡可能保持原對象的性質，尤其是運算性質。

（3）遵循人類記憶規律（見艾賓浩斯記憶曲線），提高學習效率。

5.根據教學內容、教學對象和教學目標，恰當運用板書和多媒體進行教學。

參考文獻：

[1]張恭慶.談數學職業[J].數學通報，2009，（7）：1-7.

[2]張奠宙.微積分教學：從冰冷的美麗到火熱的思考[J].高等數學研究，2006，（2）：2-4.

[3][美]Richard Courant Herbert Robbins.What is Mathematics (中譯本：什么是數學——對思想和方法的基本研究)[M].上海:復旦大學出版社，2005.

基金項目：東北石油大學教育教學改革項目

作者簡介：曹麗霞（1978-），女，碩士，講師，主要從事奇異積分方程方面的研究；田淑杰（1979-），女，碩士，講師，研究方向：非線性微分方程；趙忠奎（1960-），男，學士，副教授，研究方向：數學物理方法。