灰色與線性回歸組合模型在變形預(yù)測中的應(yīng)用研究

鄭偉濤丁嘯

(1.東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西南昌330013；2.撫州市廣播電視局，江西撫州344000)

1.引言

由于多種因素的影響，建構(gòu)筑物在建設(shè)和使用的過程中，發(fā)生一定限差范圍內(nèi)的沉降均被視為正常現(xiàn)象，但如果超出限差范圍，勢必會(huì)對建構(gòu)筑物的安全和穩(wěn)定性造成影響。所以，對這些重要建筑物進(jìn)行定期監(jiān)測，并且根據(jù)監(jiān)測數(shù)據(jù)對建筑物的沉降趨勢做出準(zhǔn)確的判斷和預(yù)測，及時(shí)將沉降有關(guān)的信息和變形情況提供給項(xiàng)目相關(guān)人員以提高施工的效率和精度，從而為整個(gè)工程建設(shè)提供有力的技術(shù)支持和決策依據(jù)，是表達(dá)沉降監(jiān)測成果的有效方法[1]。

回歸分析法、時(shí)間序列方法、灰色模型法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、遺傳算法等都是預(yù)測建構(gòu)筑物沉降的方法[2]，這些方法都有大量的成果和實(shí)例。由于影響建構(gòu)筑物沉降量的因素［3］多而雜，至今還沒有一種預(yù)測方法能對其進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)。用不同的預(yù)測方法得出的結(jié)果可能會(huì)相差很大，這給實(shí)際應(yīng)用中的模型選擇和精度預(yù)測帶來了很多不便。針對這些實(shí)際情況，我們引入了組合預(yù)測的思想，將灰色模型(GM(1，1))法、線性回歸模型進(jìn)行組合，與單一的灰色模型和簡單的滑動(dòng)平均做出對比，得出組合模型計(jì)算較準(zhǔn)確，精度較高，并通過實(shí)例加以驗(yàn)證。

2.GM(1，1)模型原理

記原始序列為X0[4]：

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論對原始序列做1次累加生成后，得到生成序列X1(1)，即：

其中X1(t)可用下式進(jìn)行計(jì)算：

系統(tǒng)預(yù)測模型GM(1，1)的白化形式的微分方程表示為：

對微分方程求解，得到其離散的通解為：

式中，c為積分常數(shù)，需要通過一個(gè)邊界條件來確定。在目前所采用的預(yù)測模型中，都是假定：

式(4)在式(5)條件下的特解為：

式中，B以及y用式(9)計(jì)算：

預(yù)測公式為：

3.組合模型

由(4)可以將微分方程解為：

對X1(t+1)求導(dǎo)或做累減還原，得到原始系列的預(yù)測公式為：

分析微分方程的解式(11)，可以看出它的形式如下式：

用線性回歸方程Y=aX+b及指數(shù)方程Y=a·exp(p)的和來擬合［5］累加生成X1(t)，因此可將生成序列寫成：

在上式中，參數(shù)v及C1，C2，C3需要確定。

并設(shè)：

同樣有：

則上面兩式相比為：

因此得到V的解為：

利用最小二乘法求得的C1，C2，C3估計(jì)值。

則有：X1=AC，從而：

得到生成序列的預(yù)測值為：

將上式的計(jì)算結(jié)果用一次累減［6］生成即可得到原序列X0的預(yù)測值。

4.模型的應(yīng)用

江西省井岡山市某村滑坡隱患災(zāi)害防治工程主山體A號(hào)鉆孔變形監(jiān)測數(shù)據(jù)（孔底深度23.5M，時(shí)間2011年4月）如表1所示：

表1 主山體A號(hào)鉆孔變形監(jiān)測數(shù)據(jù)

用式(3)，式(7)，式(8)，式(9)可以得到生成系列X1的時(shí)間相應(yīng)函數(shù)為：

利用上式計(jì)算出各期模擬和預(yù)測值后，通過式(10)一次累減生成，求得各期的預(yù)測值、殘差和相對誤差如表2所示，預(yù)測值的平均相對誤差為12.42%，預(yù)測29日沉降量的相對誤差為12.39%，預(yù)測30日沉降量的相對誤差為21.14%。

表2 各個(gè)時(shí)期的預(yù)測值、殘差及相對誤差

由灰色線性回歸組合模型可得到其時(shí)間相應(yīng)式為：

利用上式計(jì)算出各期模擬或預(yù)測值后，通過一次累減生成，求得各期的模擬值、殘差和相對誤差如表3示，預(yù)測值的平均相對誤差為11.53%，預(yù)測29日沉降量的相對誤差為2.39%，預(yù)測30日沉降量的相對誤差為1.72%。

表3 各時(shí)刻預(yù)測值，殘差值及相對誤差

組合模型與單一的灰色模型的對比如表4所示：

表4 29，30日預(yù)測值的對比

通過對比可知，組合模型的相對誤差比單一灰色模型的誤差要小得多，這說明了組合模型預(yù)測的比較準(zhǔn)確，且精度要高于灰色模型。

5.結(jié)語

灰色系統(tǒng)理論[7]在數(shù)據(jù)量少的變形預(yù)測中的優(yōu)勢顯而易見，很好的控制了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性、規(guī)律性和準(zhǔn)確性。通過討論GM(1，1)模型原理和GM(1，1)與回歸組合模型原理的不同之處，并且用組合模型進(jìn)行大樣本實(shí)例計(jì)算，我們可知組合模型計(jì)算較準(zhǔn)確，精度較高。利用灰色與回歸組合模型能夠解決單純灰色模型不能解決的問題。

[1]鄧聚龍.灰色控制系統(tǒng)[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，1986.

[2]何曉群，劉文卿.應(yīng)用回歸分析[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2001：59～60.

[3]傅立.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1992.

[4]黃聲享，尹暉，蔣征.變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2003.

[5]劉思峰，黨耀國，方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[6]王穗輝，潘國榮.基于MATLAB多變量灰色模型及其在變形預(yù)測中的應(yīng)用[J].土木工程學(xué)報(bào)，2005，38(05)：24-27.

[7]導(dǎo)向科技MATLAB 6.0程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用[M].北京：中國鐵道出版社，2001.