壓力積分函數在不穩定試井分析中的應用

丁旭敏，王曉冬，王磊，張麗

（中國地質大學（北京）能源學院，北京 100083）

壓力積分函數在不穩定試井分析中的應用

丁旭敏，王曉冬，王磊，張麗

（中國地質大學（北京）能源學院，北京 100083）

實測試井數據常常由于噪音的存在而嚴重影響試井曲線的擬合精度，通過引入壓力積分函數的概念，提出了一種減少數據噪音、提高數據擬合精度的新方法。在考慮井筒儲集效應及表皮效應的情況下，通過求解無限大均質油藏中的無量綱壓力積分函數，繪制了壓力積分、壓力導數積分及壓力積分比值典型曲線新圖版，并對曲線特征進行了描述；推導得出了應用壓力積分函數進行常規半對數分析和典型曲線擬合的方法。在此基礎上進行實例分析，結果表明，壓力積分函數應用于不穩定試井分析，可有效減少噪音影響，簡化擬合過程，提高擬合精度，結果可靠。

壓力積分函數；不穩定試井；半對數分析；典型曲線擬合；試井解釋

在不穩定試井中，實測井筒壓力數據是試井分析的基礎。然而，當實測數據波動較大時，使用壓力和壓力導數方法進行試井分析通常會產生誤差，且壓力導數試井分析常常會由于數據的隨機誤差或數據噪音而失真［1］。盡管可以采用多種平滑方法減少數據噪音，但這些平滑方法可能會改變數據的本質特征。針對壓力試井分析的上述不足，1989年，Blasingame等人［2］提出了壓力積分函數的概念，并給出了各個流動階段的壓力積分函數解；之后，學者們［3-4］相繼建立了均質、垂直裂縫和天然裂縫油藏的壓力積分函數典型曲線進行試井解釋；1993年，Onur等人［5-6］證明了壓力積分函數可以用來確定半對數直線段。前人的研究表明，使用壓力積分函數可以從本質上消除由壓力和壓力導數數據表現出來的噪音，提高試井解釋的精度。

1 壓力積分函數及無量綱定義

首先在國際單位制下定義無量綱量。無量綱壓力pD、無量綱時間tD、無量綱井筒儲集系數CD及無量綱壓力導數pD′分別定義如下：

式中：K為儲層滲透率，μm2；h為儲層有效厚度，m；Δp為壓差，MPa；pi為原始地層壓力，MPa；pwf為井底流動壓力，MPa；pws為關井井底恢復壓力，MPa；pws，Δt=0為關井時刻的井底流動壓力，MPa；Δt為關井時間，h；q為地面流體產量，m3/d；B為流體體積系數；μ為地層流體黏度，mPa·s；t為生產時間，h；φ為孔隙度；Ct為綜合壓縮系數，MPa-1；rw為井筒半徑，m；C為井筒存儲系數，m3/MPa。

壓力積分函數I（t）和壓力導數積分函數I′（t）分別定義為壓力對時間的積分平均和壓力導數對時間的積分平均，即

I（t），I′（t）分別具有與壓力和壓力導數相同的特征。二者的無量綱定義分別為

式中：ΔI為壓差積分函數，MPa；Iwf為井底流動壓力積分函數，MPa；Iws為關井井底恢復壓力積分函數，MPa。

結合無量綱壓力導數的定義，可以得到：

在未知壓力導數的情況下，可利用式（9）計算壓力導數積分函數。

2 壓力積分函數的半對數分析

式中：S為表皮系數。

結合壓力積分函數的定義，得到無量綱井底壓力積分函數Iw，D的求解公式：

對于壓力降落試井，將壓力積分函數的無量綱定義代入式（11），得到：

可以看出，ΔI-t在半對數圖中呈直線關系。直線段的斜率為

由此可求得地層流動系數Kh/μ，地層系數Kh及地層平均滲透率K。取t=1 h，由壓降試井數據計算表皮因子的公式為

對于壓力恢復試井，根據壓降疊加原理，壓力恢復階段的無量綱井底恢復壓力積分函數

式中：tp為關井前生產時間，h。

結合無量綱定義，得到壓力積分函數的有量綱表達式為

可以看出，ΔI-（tp+Δt）/Δt在半對數圖中呈直線關系。同理，可由半對數直線段的斜率求得滲透率K。結合式（11），（12），（16）及無量綱定義，推導得到包含表皮系數S的關井井底恢復壓力積分函數表達式［7］為

3 新典型曲線的建立

3.1 壓力積分函數解

假定1口生產井以定產量在平面無限大油藏中生產，油藏儲層厚度均勻，介質微可壓縮且各向同性［8］，滲透率、流體黏度和體積系數等不隨壓力變化，并忽略重力和毛管力的影響，由此引起儲層中的平面徑向不定常滲流。通過Duhamel褶積和Laplace變換，得到考慮井筒儲集效應和表皮效應影響時的Laplace空間壓力分布解式為［9］

根據Laplace變換性質，函數積分的Laplace變換等于此函數的Laplace變換除以Laplace算子，即可巧妙地求出無量綱井底壓力積分在Laplace空間的計算式：

式中：L表示拉氏變換。

對式（20）進行Stehfest［10］數值反演，即可計算得到實空間的壓力積分此壓力積分再除以時間tD即可得到實空間的壓力積分函數Iw，D。文中提到的典型曲線都是基于壓降試井的解，若假設可以應用Agarwal等效時間［11］，這些典型曲線也可以用來分析壓力恢復數據。

3.2 新典型曲線的繪制

Gringarten-Bourdet經典圖版（見圖1）［12］為無量綱壓力及壓力導數關于時間的雙對數曲線，可參照該圖版構造新的典型曲線。由式（20）得到Iw，D，進一步利用式（9）直接計算Iw，D′。以tD/CD為橫坐標，以Iw，D和Iw，D′為縱坐標，以CDe2S作為曲線參數，即可構造出無量綱壓力積分函數和無量綱壓力導數積分函數的雙對數典型曲線（見圖2），其中，CDe2S分別取0.1，3，102，108，1020，1060?？梢钥闯觯cGringarten-Bourdet經典圖版對比，壓力積分函數曲線與壓力曲線的特征基本相同，在早期的純井筒儲集階段均為斜率為1的直線，徑向流段近似水平；由于壓力導數積分函數代表的是壓力導數在時間段［0，tD］上的積分平均，二者的導數曲線在徑向流段差別較明顯，雖然都趨近于0.5水平線，但導數積分曲線收斂于0.5水平線的時間更晚一些。

1988年，Onur和Reynolds［13］提出了基于壓力與其壓力導數比值的典型曲線pw，D/（2pw，D′）-tD/CD［14-16］。 類似地，可以用壓力積分函數構建相應的典型曲線，即Ιw，D/(2Ιw，D′)-tD/CD壓力積分比值典型曲線（見圖3）?？梢钥闯觯撉€在純井筒儲集階段為0.5水平線，在徑向流階段與壓力積分曲線一致，這2個階段的特征都可以通過理論推導［17］得到解釋。此外，也可用此典型曲線判斷半對數直線段［17］。

圖1 Gringarten-Bourdet經典圖版

圖2 壓力積分函數的新Gringarten-Bourdet圖版

圖3 壓力積分比值典型曲線

4 新典型曲線的應用

4.1 新Gringarten-Bourdet圖版

對已給的試井問題，在雙對數圖上作ΔI-t和ΔI′-t關系曲線，將其與Iw，D-tD/CD和Iw，D′-tD/CD理論圖版進行擬合，得到擬合點后，即可求出儲層滲透率、井筒儲集系數和表皮系數，計算公式如下：

式中：M代表擬合點。

4.2 壓力積分比值典型曲線

由壓力積分函數的無量綱定義可得：Iw，D/（2Iw，D′）=ΔI/（2ΔI′），可以看出，實測數據圖ΔI/（2ΔI′）-t的垂向值自動與相應的Iw，D/（2Iw，D′）-tD/CD垂向值相等。因此，壓力積分比值典型曲線的最大優點是其擬合過程只需通過水平移動即可完成。基于這一特性，也將此新的壓力積分函數比值稱為歸一化壓力積分函數。歸一化壓力積分函數簡化了典型曲線的擬合過程，減少了擬合中的不確定性，其求取參數的過程與Gringarten-Bourdet圖版相同。

5 實例分析

均質油藏中某井定產生產一段時間后進行壓力恢復試井，其壓力數據受井筒儲集效應和表皮效應影響。已知rw=0.122 m，h=22.25 m，φ=0.2，B=1.3，μ=0.5 mPa·s，Ct=14.5×10-4MPa-1。關井前q=238.48 m3/d，tp=18.04 h，pws，Δt=0=15.41 MPa。引入Agarwal等效時間te=（tpΔt）/（tp+Δt），實測數據的壓力積分采用數值積分方法進行計算［2］。

5.1 半對數分析

由徑向流數據點作Horner半對數曲線 （見圖4），得到2條直線段的斜率和截距，由此進行參數計算。根據壓力半對數圖，斜率為0.71 MPa/對數周期，截距為17.508 MPa，pws（1）=16.60 MPa，計算得出：K=20.81× 10-3μm2,S=-3.67；根據壓力積分半對數圖，斜率為0.72 MPa/對數周期，截距為17.2 MPa，Iws（1）=16.28 MPa，計算得出：K=20.52×10-3μm2，S=-3.71。

5.2 典型曲線分析

5.2.1 壓力典型曲線

對實測壓力數據和壓力導數數據進行典型曲線擬合，得到曲線擬合值CDe2S=3，壓力擬合值（pw，D/Δp）M= 1.668，時間擬合值（tD/CD）M=10.3（見圖5）。由此計算出：K=21.41×10-3μm2，C=2.09 m3/MPa，S=-3.53。

5.2.2 壓力積分典型曲線

對壓力積分數據和壓力導數積分數據進行典型曲線擬合（見圖6），得到曲線擬合值CDe2S=3，壓力擬合值（pw，D/Δp）M=1.668，時間擬合值（tD/CD）M=10.9。由公式（21）—（23）求得：K=21.41×10-3μm2，C=1.98 m3/MPa，S=-3.50。

圖4 Horner半對數曲線

圖5 壓力及壓力導數典型曲線擬合

圖6 壓力積分及壓力導數積分典型曲線擬合

5.2.3 歸一化壓力積分函數典型曲線擬合

對壓力積分函數典型曲線歸一化（見圖7），得到曲線擬合值CDe2S=3，壓力擬合值（pw，D/Δp）M=1.668，時間擬合值（tD/CD）M=10.9。由此得出：K=21.41×10-3μm2，C= 1.98 m3/MPa，S=-3.50。

圖7 歸一化壓力積分函數曲線擬合

5.3 結果分析

1）不同方法得到的參數值大體相符。由試井解釋可知，該井為均質油藏中的非污染井，具有井筒儲集效應，未測得外邊界反映。

2）由壓力積分函數法計算得出的各參數值與壓力法所得結果十分接近，這表明利用新函數進行試井解釋的結果是可靠的。

3）對比圖5和圖6可以發現，實測壓力導數曲線數據較嘈雜，積分后數據點變得十分整齊，這表明積分曲線能夠提高擬合精度。

4）利用歸一化壓力積分函數曲線進行擬合時，實測曲線自動與相應典型曲線垂向對齊，由此簡化了擬合過程。

6 結束語

當壓力和壓力導數數據噪音較大時，利用壓力積分函數進行不穩定試井分析可有效提高擬合精度，簡化擬合過程。由于氣井的測試數據波動較大，此新函數和新方法對氣井試井尤為有效。文中研究對象為均質油藏，下步將針對裂縫性油藏和氣藏開展研究，望能贏得廣大讀者的繼續關注。

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（編輯 劉文梅）

Application of pressure integral functions in transient well test analysis

Ding Xumin,Wang Xiaodong,Wang Lei,Zhang Li
(College of Energy Resources,China University of Geosciences,Beijing 100083,China)

Well test data are often ambiguous due to the existence of data noise and it seriously affect the accuracy of typical curve matching.By means of the introduction of pressure integral functions,we present a new method which can reduce data noise and can improve the accuracy of well test data matching.With the considering of the effect of wellbore storage and skin factor,the dimensionless pressure integral solution is established in an infinite homogeneous reservoir.The corresponding type curve plates are drawn out based on pressure integral and pressure integral derivative functions as well as pressure integral ratio.We also demonstrate the characteristics of type curves.In addition,the method of conventional semi-log analysis and typical curve matching on well test data is derived using the pressure integral functions.Finally,a field example analysis is performed.It is shown that with the application of the new pressure functions,the noisy data becomes much smoother after being integrated,the matching process is simplified and the matching accuracy is improved.

pressure integral function;transient well test;semi-log analysis;typical curve matching;well test interpretation

國家科技重大專項“致密砂巖氣有效開發評價技術”（2011ZX05013-002）

TE353

：A

1005-8907（2012）02-0208-05

2011-07-06；改回日期：2012-01-10。

丁旭敏，女，1987年生，中國地質大學（北京）能源學院石油與天然氣工程專業在讀碩士研究生，從事油氣田開發理論與方法方面的研究。E-mail：dingxuminstu@126.com。

丁旭敏，王曉冬，王磊，等.壓力積分函數在不穩定試井分析中的應用［J］.斷塊油氣田，2012，19（2）：208-212. Ding Xumin，Wang Xiaodong，Wang Lei，et al.Application of pressure integral functions in transient well test analysis［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2012，19（2）：208-212.