丁丁夢游數學王國（6）

丁學明

斐波那契的兔子

“小白兔，白又白，兩只耳朵豎起來……”丁丁在飛毯上睡著了，在夢中還誦讀起兒時的童謠。

麥斯狗聽到丁丁讀的童謠，推醒了丁丁，問：“你的生肖屬什么？”

丁丁說：“我屬兔的啊！”

“你喜歡兔子嗎？” 麥斯狗追問丁丁。

“養過一只。不過沒過多久，它就‘掛了。”提起這傷心的事，丁丁的心情一下就低沉起來。

“你聽說過數學家也對養兔子感興趣嗎？”麥斯狗接著話題問丁丁。

“數學家有閑心養兔子？我估計這樣的數學家不是忙里偷閑就是不務正業。”丁丁顯然不太高興。

“那可不一定喲……變——變——變！”

麥斯狗喊了三聲“變”，從腋下變出一本斐波那契的著作《算盤書》交給丁丁，丁丁接過書：“哇！又一本好書！”立刻翻開書，看了看作者簡介和目錄，再翻到麥斯狗說的數學家養兔子的章節。

原來，有人想知道一年內一對兔子可繁殖成多少對，便筑了一道圍墻把一對兔子關在里面。已知一對兔子每一個月可以生一對小兔子，而一對兔子出生后第二個月就開始生小兔子。假如一年內沒有發生死亡，則一對兔子一年內能繁殖成多少對？

丁丁看完后，自己探索起來了：

成熟的一對兔子用記號●表示，未成熟的用○表示。每一對成熟的兔子經過一個月變成本身的●及新生的未成熟○。未成熟的一對○經過一個月變成成熟的●，不過沒有出生新兔，這樣便可畫出左邊的圖。

我們可以看出兔子的對數，第一個月底有2對，第二個月底有3對，第三個月底有5對，第四個月底有8對，第五個月底有13對，所以按這個規律寫下去，便可得出一年內兔子繁殖的對數有377對。

丁丁探索完，問麥斯狗：“是這樣嗎？”

“你真聰明，趕上數學家了。”

丁丁高興地叫道：“我要成數學家了！”

麥斯狗繼續講道：“斐波那契也是這樣研究的。其實，上面的規律就叫做斐波那契數列，該數列的每一項都被稱為斐波那契數，即

1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55，89，144…

這個數列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和：2=1+1，3=1+2，5=2+3，8=5+3， 13=5+8…”

“確實奇妙！”丁丁發出感嘆。

“奇妙的還在后頭呢！” 麥斯狗又在吊丁丁的胃口了。

“快說說！”丁丁央求麥斯狗。

“斐波那契數與植物花瓣有著緊密的聯系：如3是百合和蝴蝶花的花瓣數，5是藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花的花瓣數，8是翠雀花的花瓣數，13是金盞和玫瑰的花瓣數，21是紫宛的花瓣數……”

“雛菊花花蕊的蝸形小花，有21條向右轉，有34條向左轉，而21和34，恰是斐波那契數列中相鄰的兩項；松果和菠蘿表面的凸起，它們的排列也分別成5∶8和8∶13這樣的比例，也是斐波那契數列中相鄰兩項的比。這個數列不僅在數學、生物學中，還在物理、化學中經常出現，而且它還具有很奇特的數學性質，真是令人叫絕啊！”

麥斯狗一口氣說了這么多，丁丁聽得津津有味。

歐拉的遺產問題

一路上，麥斯狗的故事層出不窮，丁丁也聽得津津有味。

飛毯已不知不覺來到了歐洲瑞士的上空。麥斯狗立即驚叫起來：“我的小主人，快看啊，多么美麗的阿爾卑斯山啊——它是歐洲最高大的山脈。瑞士的旅游收入就靠著世界各地的人到這兒參觀游玩。”

“是呀！我們也下去玩玩吧！”丁丁對玩總是熱情洋溢。

丁丁和麥斯狗在滑雪圣地——阿爾卑斯山玩起了滑雪。

麥斯狗和丁丁邊滑雪邊說著話：“你知道瑞士出了哪位著名的數學家嗎？”

“這個當然知道，數學史上最多產的數學家——歐拉。”丁丁十分肯定地回答。

“那么你知道歐拉的遺產問題嗎？” 麥斯狗追問丁丁。

“這個我還沒聽說過，我知道他小時候巧算1加到100的故事，知道他后來得了白內障，眼睛看不見了，還繼續研究數學，自己口述，助手記錄，仍然出了不少成果，實在太了不起了。唉，快給我說說這個遺產問題，有什么奇妙的地方啊？”

“好吧！”麥斯狗娓娓道來，“歐拉寫過一本數學名著叫《代數基礎》，他在書中寫有這樣一個數學問題：

有一位父親，臨終時囑咐他的兒子這樣來分他的財產：第一個兒子分得100法郎和剩下財產的1/10；第二個兒子分得200法郎和剩下財產的1/10；第三個兒子分得300法郎和剩下財產的1/10；第四個兒子分得400法郎和剩下財產的1/10……按這種方法一直分下去，最后，每一個兒子所得財產一樣多。問：這位父親共有幾個兒子？每個兒子分得多少財產？這位父親共留下了多少財產？”

丁丁不愧是一個數學迷，一聽完麥斯狗的話就說：“聽起來這個問題這么長，有點嚇人，其實只要抓住題中的關鍵所在，從后往前推算，并運用分數應用題的有關知識，就可迎刃而解了。”

“還是你聰明。能不能說說具體的過程？” 麥斯狗對丁丁發問道。

丁丁說：“沒問題，我們用設未知數的方法就可以解決，不妨設這位父親共有n個兒子，最后一個兒子為第n個兒子，則倒數第二個就是第（n—1）個兒子。通過分析可知：

第一個兒子分得的財產=100×1+1/10×剩余財產；

第二個兒子分得的財產=100×2+1/10×剩余財產；

第三個兒子分得的財產=100×3+1/10×剩余財產；

第（n—1）個兒子分得的財產=100×（n—1）+1/10×剩余財產；

第n個兒子分得的財產為100n。

因為每個兒子所分得的財產數相等，即100×（n—1）+1/10×剩余財產=100n，所以第（n—1）個兒子剩余財產的1/10就是100n—100×（n—1）=100法郎。

那么，剩余的財產就為100÷=1 000法郎，最后一個兒子分得：1 000—100=900法郎。從而得出，這位父親有（900÷100）=9個兒子，共留下財產900×9=8 100法郎。”

丁丁分析得清清楚楚，麥斯狗聽得不知怎樣夸丁丁了，只好豎起了大姆指。

麥斯狗對丁丁說：“其實還有其他的分析方法！”

丁丁回答說：“這個問題暫停，留給聰明的小讀者吧。現在，我們好好玩，痛痛快快地滑雪吧！”

“好！飛啦！”

說完，他倆加速沖向阿爾卑斯山的山下，體會到了飛的感覺。