尊嚴的四色定理

潘國本

寫下這個標題，我想到一個故事。

閔可夫斯基在哥廷根大學教書的時候，有一次，剛跨進教室，一個學生給他遞上一張字條：如果要把一張地圖上所有相鄰的國家用不同的顏色區分開來，只要4種顏色就已足夠。你能解釋一下其中的道理嗎？

教授看完字條說：“這已是一道名題了，之所以至今沒有得到解決，那是因為沒有第一流數學家關注過它。”他跨上講臺，直接在黑板上演算起來，不知不覺，下課鈴響了，問題還沒有解決。第二天，他在課堂上繼續這道問題的證明，仍然無果而終。如此一連掛了多天黑板。那一天，先生臉色凝重，跨出教室，忽然雷聲大作，他自我調侃說：“哎，老天爺在責備我狂妄自大了。我也無法解決這個問題。”

閔先生，與克萊因、希爾伯特并稱哥廷根大學數學三巨頭，也是愛因斯坦的老師，愛因斯坦不去聽課那陣，閔先生還罵過愛因斯坦懶蟲，后來愛因斯坦得知。閔先生也是給表述狹義相對論提供“閔可夫斯基四維時空”數學模型的恩師。但，數學從來不會去看一個人的名聲或者臉色的。

讓我們回到1850年，有一個叫格思里的英國青年。他在繪制地圖時偶爾發現了這個“四色定理”，當時，只是一個猜想，但他感到很有意思，立即寫信給他仍在倫敦大學讀書的弟弟。他弟弟也認為應該是這樣，但同樣無力證明這個結論，立即去請教他的老師，著名數學家德·摩根。摩根也不含糊，他將兩個同心圓的圓環部分分成3個區域，以這樣4部分的圖形。表明了3種顏色是顯然不行的，但是，要他給出只要4種顏色的證明，他辦不到。1852年他又寫信去請教發明四元數的哈密爾頓。起初，哈密爾頓還很不以為然，但當他陷入這個問題后，盡管智慧過人，也耗費13年心血，仍一籌莫展。

又過了大約13年，問題還沒有得到解決，有人正式把“四色問題”遞交給了倫敦數學會，向全世界征求解答。不到一年，有位叫肯普的律師交來一篇論文。稱已經“證明”出來了。他的證明于1879年發表于《美國數學雜志》。問題好像已經結束，可又過了11年，希伍德發現了這個證明的一個“窟窿”。希伍德是一個細心人，他沒有完全否定肯普，在修補窟窿的進程中，他借助肯普提供的方法，證明出了五種顏色足以區分地圖。即后人稱的“五色定理”。

選擇數學，也許就選擇了苦行，選擇了太上老君那只煉丹爐。人類歷史上，我們還沒有發現一位天才沒有被數學難倒過、否定過。

令人十分困惑的是。這個四色難題在更復雜的曲面上反倒容易證明，到1968年，數學家已解決了除平面和球面之外，所有曲面的四色問題，恰恰在最簡單的平面和球面內無力攻克。更有一個疑難，構形的可能情況實在太多。多到要作200億個判斷才能確定。這樣，直到電子計算機出現，才帶來新的曙光。1976年6月美國伊利諾斯大學的數學家阿沛爾和哈肯。運用當時最先進的電子計算機，花了1200個小時，單單計算程序就修改了500多次，終于攻下了這個四色定理。

據說，后來又有人發現他們的證明還有錯誤，好事多磨，直到1989年他們又做了新的修改。即使這樣，事情好像仍未完全結束：用一種人工無法驗證的機械方法給出的證明，算不算數學證明？既然人的認識是無限的，有沒有一種超越機械的證明方法，在等待著我們？

有時數學會是這樣的，比如黎曼猜想（1859年由黎曼提出），即使你拿出10萬億個數值證據，證明這個猜測是正確的，但仍然只是一個猜想，不能說它已經得到證明。有時數學又會是這樣的。比如四色定理，它謙卑得連文盲也不會把它的意思弄錯。當你初接手時，你會覺得答案就在河對面，游過河去就有了，因此，誰都想試試。根本不會想到文盲都能看懂的問題也會這么困難，最終還不是完全由人完成，而是借助計算機才能解決。那個哥德巴赫猜想，270年了，看懂它，中小學文化已經足夠。根據媒體報道，宣稱解決了這個猜想的民間研究者，已經有幾十個了，可它還屹立在那里！

尊嚴的四色定理。尊嚴的數學！

責任編輯/田心紅