對幾組易混淆函數值域求解的探究

伍愛紅

求函數值域沒有固定模式和方法，但對于不同的函數類型，有針對性的解法最簡捷、有效。可是有些函數在結構形式上極其類似，甚至有些只差一個負號，但解法上截然不同，如果考生在這些細微點警戒性不高，稍不留心，便會出現錯誤。下面，筆者通過歸納對比幾組易混淆函數值域的求解，給出辨別技巧及解決策略。

一、 忽視負號，生搬硬套

問題1 求函數F（X）=-的值域，函數g（x）=+ 的值域。

問題2 求函數f（x）=x+3-1-x的值域，函數g（x）=x+3+1-x的值域。

簡析：教師應重點強調雙根式型和雙絕對值型函數值域問題求解的基本方法和特殊方法，尤其是易錯點。上面兩組問題在函數表達式的結構形式上只差一個負號，但在解法上不一樣，學生容易類比遷移解題，出現錯誤，具體解法如下。

問題1：易知函數的定義域{x？誆-3≤x≤1}，由于函數y=為遞增函數，函數y=-也為遞增函數，根據在公共定義域中，“增函數+增函數=增函數”的單調性質，函數f（x）為遞增函數。

∴f（-3）≤f（x）≤f（1），即-2≤f（x）≤2。

顯然函數g（x）不能根據“增+減=增（減）”的單調性進行判斷，而采用等價轉化的形式來處理，由于+≥0，故g2（x）=4+2。

∴4≤g2（x）≤4+2=8，且g（x）≥0。

∴2≤g（x）≤2。

該題另一解法雙換元后數型結合處理，令u=，v=，則u2+v2=4（u，v≥0）且直線l∶u+v=y，即直線v在軸上的截距等于y，數型結合易知y∈[2，2]。

問題2：該類雙絕對值型解法有三種，在利用絕對值不等式性質解題時易出錯。絕對值不等式性質：a-b≤a±b≤a+b，具體解法如下。

∵x+3-1-x≤（x+3）+（1-x）=4，

∴-4≤x+3-1-x≤4，即-4≤f（x）≤4，本題易錯認為（x+3）-（1-x）≤4。

而x+3+1-x≥（x+3）+（1-x）=4，即g（x）≥4。

另一解法是利用絕對值的幾何意義，轉化為數軸上的點到點-3與1距離之差或距離之和，說明 -3與1兩點將數軸化分為三段，結合數軸易找出答案。還有一種解法是去掉絕對值，劃分為三段的一次分段函數，做出圖像，由圖像可知。

點評：利用函數的單調性求值域是常見的方法，除導數法處理外，復雜函數的形成大體分兩類，第一類由基本初等函數加減乘除四則運算組合而成，另一類由復合而成。但對單調性的處理截然不同，第一類要熟記一些性質，如增+增=增，增—減=增，第二類的處理根據同增異減的法則處理。

二、名稱不一，方法有別

問題3 求下列函數的值域：①y=的值域，②y=。

簡析：易發現這兩個函數的分母只有函數名稱不一樣，可解法截然不同，同名的可用函數的有界性解決，異名的應用數型結合更方便。

解： ①函數y=的定義域sinx+2≠0，

∴x∈R，原式可化為sinx=。

由于-1≤sinx≤1，則-1≤≤1，轉化為分式不等式組，后解略。

②y==，可看做過定點（-2，1）與動點（cosx，sinx）連線的直線斜率，由于動點是單位圓上的點，

∴看做過點（-2，1）向單位圓引的兩條切線的斜率，由=1解出k=0或k=-，即-≤sinx≤0，

另解也可用有界性，原式可變為： sin（x+θ）= （tanθ=-），由≤1，兩邊平方可解出，后略。

三、不顧定義，亂用均值

問題4 求下列函數的值域：①y= 的值域，②y=的值域。

簡析：上兩式分子的常數不一，可利用的思想完全不同，如果不細心函數的定義，通用均值不等式法，有點畫蛇添足。兩式可化為y=x+（a>0，x>0），使用均值不等式，忽視均值不等式成立的“一正二定三相”等條件，尤其是取最值時，自變量是否在定義域內，否則，利用單調性判斷，

錯解①原式可化為y=+ ，令t=≥2，

∴函數y=t+ ≥2 =2，當且僅當t=時，即t=1取等號，顯然不在定義域中。

正確解法：函數y=t+（t≥2）在[2，+∞）遞增，y≥2+=。

②原式可化為y=+ ，令t=≥2，

∴函數y=t+≥2=4 ，當且僅當t=時，即t=2取等號，x=0取最小值。

四、次數之分，換元有別

問題5 求下列函數的值域：①f（x）=x+的值域，②f（x）=x+。

簡析：運用換元法將所給函數的解析式化為較易求解的函數，上兩式根號里有次數之別，全用換元思想，當次數是一次時用代數換元，形如f（x）=ax+b+（c≠0）的用普通換元法，轉化為二次函數值域的求解，表達式中含有結構的用三角換元法。

解①f（x）=x+的定義域為{x│x<1}。

令t= （t≥0），則x=1-t2，f（x）=-t2+t+1=-（t-）2+，

∴f（x）≤。

② 令t=sinθ （-≤θ≤） ，f（x）=sinθ+cosθ=sin（θ+），

∵-≤θ≤，

∴-≤θ+≤， -≤sin（？漬+）≤1。

∴-1≤f（x）≤。

綜上所述，本文通過具體的一些易混淆問題，介紹了處理函數值域應用的方法和策略及辨別技巧，以幫助學生提高解決這類問題的能力。

（通渭縣第二中學）