查漏補缺之函數(shù)與導數(shù)

函數(shù)在高考中占有重要的地位，以基本函數(shù)為背景的綜合題和應用題是近幾年高考命題的新趨勢. 導數(shù)作為研究函數(shù)的工具，在高考的地位也不可小視. 因此，本文對函數(shù)與導數(shù)的知識作一梳理，希望對同學們有所幫助.

（2）分段函數(shù)是指自變量在不同的范圍內(nèi)，其對應法則也不同的函數(shù)． 常常考查求函數(shù)值、求函數(shù)解析式、求反函數(shù)、求函數(shù)最值.

2. 函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）理解函數(shù)單調(diào)性的定義，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

（2）了解函數(shù)的奇偶性，掌握奇、偶函數(shù)的性質(zhì).

（3）了解函數(shù)的周期性.

（4）掌握常見函數(shù)圖象的基本作法，掌握函數(shù)圖象的平移、對稱、翻折和伸縮變換.

注意：（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，常常有圖象法、定義法、復合函數(shù)法、導數(shù)法，但如果是在解答題中證明或判斷函數(shù)單調(diào)性時，則只能用定義法和導數(shù)法.

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，首先要看定義域關于原點是否對稱.

（3）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)并且在x=0處有定義，則f（0）=0，這條性質(zhì)切記.

（4）識記以下重要結論：①奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；②若函數(shù)在其定義域上存在反函數(shù)，則原函數(shù)和反函數(shù)在各自的定義域內(nèi)具有相同的單調(diào)性；③函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=a對稱?圳f（a+x）=f（a－x）?圳f（2a－x）= f（x）；④函數(shù)f（x）的圖象關于點（a，b）對稱?圳f（a+x）+f（a－x）=2b?圳f（2a－x）+f（x）=2b.

3. 幾種常見的函數(shù)

（1）掌握二次函數(shù)、三次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

（2）掌握冪的運算，理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.

（3）掌握對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)， 理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖象通過的特殊點.

（4）結合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù). 能夠用二分法求相應方程的近似解（僅限新課程地區(qū)）.?搖

（5）能夠熟練處理常見抽象函數(shù)的定義域、解析式、函數(shù)值和單調(diào)性等.

注意：（1）處理函數(shù)的有關問題，一定要形成“定義域優(yōu)先”的原則.

（2）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是典型的超越函數(shù)，且互為反函數(shù). 在實際試題中，往往是與指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)，要注意復合函數(shù)的單調(diào)性判斷規(guī)律，即“同增異減”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重點，要能利用二次函數(shù)圖象來尋求充要條件，常常是抓端點值、對稱軸和判別式.

（4）抽象函數(shù)的常見處理方法有特殊模型法、函數(shù)性質(zhì)法、特殊化方法、聯(lián)想類比轉化法等. 記住以下常見抽象函數(shù)模型所對應的具體函數(shù)，這對我們解題有幫助.

4. 導數(shù)的運算

（1）理解導數(shù)的幾何意義.

（2）求復合函數(shù)的導數(shù)請注意：要能正確拆分復合函數(shù)，即要明確該復合函數(shù)由哪些基本函數(shù)復合而成，適當選取中間變量；分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導；求導時，應由外及里，逐層求導．

（3）導數(shù)的運算、函數(shù)與導數(shù)的應用交匯，以考查導數(shù)的應用（單調(diào)性、極值、最值、方程根的情況）為主，同時考查導數(shù)的計算．

5. 導數(shù)的應用

（1）了解函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）．

（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）．

（3）會利用導數(shù)解決某些實際問題．

（3）導數(shù)經(jīng)常與函數(shù)的單調(diào)性、不等式、方程根的分布、解析幾何中的切線問題結合．