函數概念及其表示的破解之道

函數是整個高中數學的重點，函數思想是最重要的數學思想方法，函數問題在歷年的高考中都占有相當大的比例. 從近幾年的高考試題來看，對本部分內容的考查，穩中求變，向著更靈活的方向發展. 對于函數的概念及表示多以下面的形式出現：通過具體問題（幾何問題、實際應用問題）找出變量間的函數關系，再求出函數的定義域、值域，進而研究函數的性質，尋求問題的結果.

本部分內容由映射及函數的概念、函數的表示組成，函數的定義域、值域、解析式是構成函數的三大要素. 縱觀近幾年的高考試題，本節內容以客觀題為主，主要考查對概念的理解能力、邏輯思維能力，突出考查函數的三要素、函數的定義域與函數的表示方法、分段函數概念的理解與應用、抽象函數的性質討論.

重點：掌握映射的概念、函數的概念、分段函數的概念，會求函數的定義域，掌握函數的三種表示法——圖象法、列表法、解析法，會求函數的解析式.

難點：函數的概念，求函數的解析式.

1. 理解映射的概念，應注意以下幾點

（1）集合A、B及對應法則“f”是確定的，是一個整體系統.

（2）對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，這與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的.

（3）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區別于一般對應關系的本質特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個.

（5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.

2. 理解函數的概念，應注意以下幾點

（1）函數是從非空數集A到非空數集合B的映射關系.

（2）數集A是函數的定義域，函數的值域是數集B的子集.

3． 求函數定義域的基本思路

如果沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數解析式有意義的x的取值范圍，實際操作時要注意以下幾點：

（1）分母不能為0.

（2）對數的真數必須為正.

（3）偶次根式中被開方數應為非負數.

（4）零指數冪中，底數不等于0.

（5）負分數指數冪中，底數應大于0.

（6）若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集.

（7）如果涉及實際問題，還應使得實際問題有意義.

如求復合函數的定義域，已知函數f（x）的定義域為［a，b］，則函數f［g（x）］的定義域是滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍；一般地，若函數f［g（x）］的定義域是［a，b］，指的是x∈［a，b］，要求f（x）的定義域就是x∈［a，b］時g（x）的值域.

注意：研究函數的有關問題時一定要注意定義域優先原則，實際問題的定義域不要漏寫.

4． 求函數解析式的基本策略

函數的解析式是函數與自變量之間建立聯系的橋梁，許多和函數有關的問題的解決都離不開解析式，因而求解函數解析式是高考中的熱點. 解決這類問題的關鍵在于抓住函數對應法則“f”的本質. 下面介紹幾種求函數解析式的主要方法.

（1）湊配法：把形如f（g（x））內的g（x）當作整體，將解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）換元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用換元法. 具體為：令t=g（x），求出f（t），可得f（x）的解析式，換元后要確定新元t的取值范圍.

（3）解方程組法：若已知抽象函數的表達式，往往通過變換變量構造一個方程，組成方程組，利用消元法求出f（x）的表達式.

（4）待定系數法：若已知函數的類型（如一次函數、二次函數）求解析式，首先設出函數解析式，根據已知條件代入求系數.

（5）賦值法：已知一個關于x，y的抽象函數，利用特殊值去掉一個未知數y，得出關于x的函數解析式.

1． 從感性到理性，提升抽象概括能力

雖然函數概念比較抽象，但函數現象大量存在于我們身邊，因此，學生從實際例子中抽象概括出函數的概念后，也啟發了學生運用函數模型思考和解決現實世界中蘊含的其他規律，因而形成表達交流、實際應用的能力. 因此，這部分內容的復習要注重理論聯系實際，提升學生歸納與演繹的能力.

2． 加強數形結合的能力訓練

熟悉函數的不同表示方法能豐富對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念. 特別是在信息技術環境下，可以使函數在數與形兩方面的結合得到更充分的表現. 數形結合是一種數學思想方法，它廣泛應用于數學解題中，尤其是借助圖形的生動和直觀性來闡明數量之間的聯系，體現出極大的優越性.