玩轉分段函數五招

函數有多種類型，其中有一種表達式比較特殊的函數，就是分段函數，即是指自變量在不同的取值范圍內，其關系式（或圖象）也不同的函數．它是一個函數，卻又常常被誤認為是幾個函數，或往往被“一視同仁”為一種對應法則． 本文通過對分段函數的定義及性質的認識和理解，把近幾年高考考查分段函數的相關內容進行歸納整理，以便在高考復習中能系統掌握這一知識．

重點：理解分段函數是一個函數，而不是幾個函數；根據要求求分段函數的解析式；了解分段函數的簡單性質．

難點：分段函數的圖象及實際應用．

分段函數是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數. 它是一類表達形式特殊的函數． 下面對其性質和解題方法做一些歸納總結．

（1）分段函數是一個函數而不是幾個函數，只不過在定義域的不同子集內解析式不一樣.

（2）分段函數的定義域是各段“定義域”的并集，其值域是各段“值域”的并集；分段函數的最大值是各段最大值中的最大者，最小值是各段最小值中的最小值.

（3）分段函數分段解：求分段函數的函數值時要看清自變量的取值范圍對應的是哪一段，再代入對應的關系式求解.

（4）畫分段函數圖象時一定要注意區間端點是否包含在內，若端點包含在內，則畫成實點，若不包含在內，則畫成虛點． 分段函數的圖象是由幾條線段（或射線）組成的折線．其中每條線段（射線）代表某一個階段的情況.

（5）求分段函數的解析式時，一般要求區間端點應不重不漏，在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應取值范圍.

（6）分段函數的性質包括單調性和奇偶性. 若一個分段函數是單調遞增的，則其左邊一段圖象上的任一點都要低于右邊圖象上的點，單調遞減則相反． 分段函數奇偶性的判斷要在每一段里分別進行，要注意函數解析式的選擇.

（7）分段函數的實際應用主要是求函數的解析式． 在寫出解析式后要注意每段的自變量的取值范圍，根據實際情況有可能還要取自然數或正整數等．

1. 分段函數的定義域和值域

分段函數的定義域為每一段函數定義域的并集，在表示每一段函數中x的取值范圍時，要確保做到定義域不重不漏，即交集為空集，并集為整個定義域． 值域是其定義域內不同子集上各關系式的值域的并集．

思索 本題考查分段函數值域的求法，及分類討論的數學思想．把函數g（x）的解析式代入到f（x）的解析式內得到具體的分段函數，同時解出每段函數后面自變量的取值范圍，即可得f（x）的值域．

破解 由題意：

2. 分段函數求值

分段函數求值的關鍵是根據自變量的取值范圍確定相應的解析式，然后由內向外逐一分析，代入求值．一定要先判斷自變量屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的解析式求值．

思索 本題考查分段函數及求值．解題關鍵是先求出f（3）的值，然后再把f（3）的值代入函數f（x）相應的解析式中，求出f（f（3））. 分段函數的求值是高考的熱點，應予以重視．

3. 分段函數的單調性

分段函數的單調性一定要分段進行考察，并且一般情況下其單調區間不合并.

思索 分段函數單調遞增，則其每段都要單調遞增，而且圖象中左邊一段的最高點不能高于其右邊一段的最低點，這一點容易忽略，要引起注意． 由此，本題應該受到三個條件的限制：指數式函數遞增，直線式函數遞增，并且滿足前面的最值條件．

4. 分段函數的奇偶性

判斷分段函數的奇偶性必須對每一段的奇偶性進行單獨討論，由函數奇偶性的定義，得出奇偶性的結論． 也可以用作圖的方法利用對稱性觀察判斷．

思索 對分段函數的奇偶性進行判斷，要遵照奇偶函數的定義，對自變量分段的每一個區間進行考察．在分段進行判斷的時候一定要注意－x所對應的函數解析式是哪一段，不能弄混．

5. 分段函數與方程的根

思索 本題考查分段函數圖象的交點問題，解題的關鍵是要利用圖象來解決. 先把原函數中的絕對值符號去掉，將其改成分段函數，畫出圖象. 函數g（x）的圖象繞著定點（0，－2）旋轉，當它們有兩個交點時k的取值范圍即為所求．

通過以上的歸納可以看到，分段函數能有效考查學生的閱讀理解、分類討論、發散思維、數形結合等多種能力，能為學生更靈活地運用數學知識分析問題、解決問題留下一個探索、創新的廣闊思維空間. 因此，在復習教學中應對分段函數引起高度重視． 那么，應怎樣加強對分段函數的認識呢？

（1）做到：在理解定義的基礎上多認識、多識記.

（2）明白：對于一個函數來說，對應法則可以由一個解析式來表示，也可以由幾個解析式來表示；函數的圖象既可以是一條平滑的曲線，也可以是一些點、一段曲線、幾段曲線或線段；分段函數的圖象是由一些線段或曲線段構成的.

（3）牢記：分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

（4）明確：分段函數的單調性與奇偶性與非分段函數有哪些本質的區別．

在解決分段函數問題時要認真分析題意，處理好各種關系，把握命題者考查的目的，運用相關知識和方法逐步化歸為基本問題來解決.