哥德爾定理讓我們看到數(shù)學(xué)演繹推理的局限性,但是,數(shù)學(xué)本身又能通過推理論證自己的局限,這就顯示了數(shù)學(xué)的力量。
存在著在形式推理范圍內(nèi)不可證明的真命題,其實也沒有什么不得了的,人類對事物規(guī)律的認識是不斷深入、逐步推進的,在形式系統(tǒng)內(nèi)不可證的命題,也許可以在系統(tǒng)之外——在更大的系統(tǒng)之內(nèi)求證。
比方說,如果我們知道哥德巴赫猜想在現(xiàn)在的算術(shù)系統(tǒng)里是不能被證明也不能被反證的話,就可以斷定它一定成立,因為如果它不成立,必然可以被反證,這種推理方式已超出了形式系統(tǒng)的規(guī)則,事實上現(xiàn)在我們并不知道它能不能被反證。
或許我們還可以不斷擴大算術(shù)形式的系統(tǒng),使系統(tǒng)能一次又一次地、更加全面地反映自然數(shù)的性質(zhì),盡管形式系統(tǒng)永遠也不可能給自然數(shù)系以完全的描述,但人類的認識是在不斷的辯證關(guān)系中逐步解決的。
哥德爾定理表明,即使在數(shù)學(xué)這樣最精確、最嚴密的科學(xué)之中,也存在人們對某事物的認識永遠也不可能達到絕對真理的地步,絕對真理是無數(shù)相對真理的總和,人們只能在認識相對真理的過程中逐步逼近絕對真理。
另一方面,哥德爾定理告訴我們,數(shù)學(xué)的協(xié)調(diào)性不能在算術(shù)的形式系統(tǒng)之內(nèi)得到證明,但并沒有否定它在形式系統(tǒng)之外證明算術(shù)協(xié)調(diào)性的可能。
另外一些數(shù)學(xué)家,包括哥德爾本人在內(nèi),他們都進行過算術(shù)協(xié)調(diào)性的證明,這些證明不可避免地要用到形式算術(shù)系統(tǒng)之外的一些假定,也就是說,在比算術(shù)系統(tǒng)更大的系統(tǒng)中證明算術(shù)的協(xié)調(diào)性,首先要考慮這個更大的系統(tǒng)是否協(xié)調(diào),總之我們不能在系統(tǒng)內(nèi)部進行求證。
我們看到一個有趣的現(xiàn)象,包括微積分、幾何在內(nèi)的整個數(shù)學(xué)的協(xié)調(diào)性,是逐步劃歸到越來越小的系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性中的,到了算術(shù)系統(tǒng)小得不能再小的時候,再想證明協(xié)調(diào)性,就反而是把系統(tǒng)擴大了,這就是“物極必反”的表現(xiàn)!
對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究正是這樣,當人們覺得已把問題弄得越來越簡單,越來越明白的時候,忽然發(fā)現(xiàn)一切變得復(fù)雜起來了,也就是說當人們以為自己真正掌握了“終極真理”時。其實在數(shù)學(xué)推理的范疇里它已像泥鰍一樣從你的指縫中溜走。
事實上,數(shù)學(xué)的力量已發(fā)展到空前成熟的階段,就像一個成熟的能對自己作出恰如其分評價的成年人——他已經(jīng)不再是不知天高地厚的毛頭小伙子了。
我們得知數(shù)學(xué)的力量本身也存在局限。可數(shù)學(xué)依然信心十足,雖然它不能證明自己的協(xié)調(diào)性,但依舊被其他多門科學(xué)所信任。
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·小學(xué)版2012年10期