查腳印

巴黎郊外有一座中世紀(jì)留下來的古老城堡，其年代幾乎與著名的巴黎圣母院同樣久遠(yuǎn)，因而成了旅游觀光的勝地，吸引了來自世界各地的游客。

古老城堡的頂層有一座塵封的鐘樓，這里唯一的對(duì)外通道是一座走起來“嘎嘎”響、陡峭異常的木樓梯，大約有幾十級(jí)，但肯定不到一百級(jí)。

鐘樓里面住著一個(gè)怪人。某日黃昏，怪人的四位互不相識(shí)的朋友阿列克賽、巴頓、克林、杜邦，幾乎在同一時(shí)間先后來訪。他們發(fā)現(xiàn)怪人已經(jīng)被人殺害了，房間里面看起來很恐怖。

當(dāng)下四人大驚失色，爭(zhēng)先恐后地拼命逃走。

他們從臟亂不堪的狹窄樓梯（一次只能通過1人）跑下來，阿列克賽一步下2級(jí)臺(tái)階，巴頓一步下3級(jí)臺(tái)階，克林一步下4級(jí)臺(tái)階，而杜邦的本事最大，竟然一步能下5級(jí)臺(tái)階。

出事以后，俠盜亞森羅賓喬裝成一名體面的上流社會(huì)紳士，自告奮勇地前來偵查此案。他發(fā)現(xiàn)，同時(shí)印下4個(gè)人腳印的臺(tái)階僅在最高處和最低處。

為了追查兇手，腳印混亂了就不好辦，于是亞森羅賓特別重視只留有1個(gè)人腳印的臺(tái)階。后來的結(jié)果充分證明他的看法是正確無誤的，最后終于抓獲兇手，把他繩之以法。

你知道，通向鐘樓的木樓梯上有多少級(jí)臺(tái)階只印下了1個(gè)人的腳印？

解析參考

阿列克賽一步下2級(jí)臺(tái)階，克林一步下4級(jí)臺(tái)階，由于4的倍數(shù)肯定是2的倍數(shù)，所以有克林腳印的地方必定有阿列克賽的腳印，克林不會(huì)一個(gè)人在臺(tái)階上留下自己的腳印。

2、3、4、5的最小公倍數(shù)是60，而60又小于100，所以鐘樓的木樓梯共有60級(jí)臺(tái)階。

阿列克賽的腳印印在第2、4、6、8、10、12……58、60級(jí)臺(tái)階上，但他一個(gè)人的腳印不會(huì)印在2×3及其倍數(shù)、4的倍數(shù)與5的倍數(shù)的各級(jí)階梯上。

于是，我們推斷第2、14、22、26、34、38、46、58共八級(jí)臺(tái)階上有他一個(gè)人的腳印。這些數(shù)的一般形式為2×p（其中p為1和除去2、3、5以外的素?cái)?shù)）。

巴頓的腳印落在第3、6、9、12……60級(jí)階梯上，但應(yīng)排除混有別人腳印的第6、12、15、18……級(jí)階梯，剩下第3、9、21、27、33、39、51、57共八級(jí)階梯。

只印下杜邦腳印的階梯是第5、25、35、55級(jí)共四級(jí)階梯。

所以，問題的答案是8+8+4=20級(jí)。