基于有限域的多進(jìn)制LDPC碼的編碼算法研究

LDPC（Low Density Parity Check）碼作為一種高效的線性分組糾錯(cuò)碼，最初由Gallager發(fā)現(xiàn)，故亦稱Gallager碼。當(dāng)時(shí)由于計(jì)算機(jī)處理能力較差，相關(guān)理論基礎(chǔ)也比較薄弱，該線性分組碼沒有引起人們的重視。直到1996年，MacKay和Neal重新發(fā)現(xiàn)了它，并證明它在運(yùn)用BP（Belief-Propagation）算法譯碼時(shí)具有逼近Shannon限的性能。對(duì)于二元輸入的AWGN信道，當(dāng)碼長為107，R=1/2時(shí)，在BPSK調(diào)制下的性能距Shannon限只差0.0045dB，是目前距Shannon限最近的糾錯(cuò)碼。

多進(jìn)制LDPC碼作為LDPC碼的一種特殊形式，有實(shí)驗(yàn)表明，多進(jìn)制LDPC碼的誤比特率性能優(yōu)于二進(jìn)制LDPC碼，其抗突發(fā)錯(cuò)誤能力相比二進(jìn)制LDPC碼也有較大程度的改善，尤其適用于衛(wèi)星通信。雖然與二進(jìn)制LDPC碼相比，多進(jìn)制LDPC碼有上述優(yōu)勢(shì)，但是它也存在自己的缺點(diǎn)，即計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于二進(jìn)制LDPC碼。為解決這一難題，本文提出一種低復(fù)雜度的多進(jìn)制LDPC碼的編碼算法。

令啄是GF（q）的非零元素，那么琢啄的位置矢量z（琢啄）是啄的位置矢量z（啄）的右循環(huán)移一位。構(gòu)成一個(gè)GF（q）上的（q-1）×（q-1）矩陣A，以啄，琢啄，琢2啄，…，琢q-2啄的位置矢量作為行。這樣A是一個(gè)循環(huán)置換矩陣，其每一行是由上面一行右循環(huán)移位得到，第一行是最下面一行右循環(huán)移位得到。A被稱為域元素啄的二維q-1對(duì)折散布矩陣。很明顯，0元素的散布矩陣是（q-1）×（q-1）的全0矩陣。

把大小為（q-1）×（q-1）的循環(huán)置換矩陣作為Hd的子矩陣，如式（1）所示：

以下分別對(duì)不同碼長、不同有限域的碼字進(jìn)行MATLAB仿真，同時(shí)將多個(gè)仿真結(jié)果的誤比特性能進(jìn)行比較。首先分別構(gòu)造具有準(zhǔn)循環(huán)結(jié)構(gòu)的信息位矩陣，具體參數(shù)如下：①m=252，n=504，q=64；②m=378，n=756，q=64；③m=762，n=1524，q=128；④m=1016，n=2032，q=128；校驗(yàn)位矩陣部分采用雙對(duì)角線結(jié)構(gòu)；其次對(duì)其采用差分編碼方法；最后在高斯信道下，采用BPSK調(diào)制，BP譯碼算法，譯碼迭代次數(shù)取100。不同碼長、不同有限域的LDPC碼誤比特性能的比較如圖1所示。

仿真結(jié)果顯示，當(dāng)誤比特率為10-3時(shí)，基于GF（64）的（378，756）LDPC碼的信噪比優(yōu)于（252，504）LDPC碼0.1dB，當(dāng)誤比特率為10-5時(shí)，基于GF（128）的（1016，2032）LDPC碼的信噪比優(yōu)于（762，1524）LDPC碼0.15dB。這樣的結(jié)果表明，在一定的碼長范圍內(nèi)下，基于同一有限域的LDPC碼長碼要比短碼的性能略優(yōu)。

4結(jié)論

本文介紹了一種基于有限域構(gòu)造LDPC校驗(yàn)矩陣的方法，信息位矩陣采用準(zhǔn)循環(huán)構(gòu)造方法，校驗(yàn)位矩陣采用雙對(duì)角線結(jié)構(gòu)，在信息位矩陣的構(gòu)造中，提出一種利用等差數(shù)列確定指數(shù)矩陣的方法，運(yùn)用此方法構(gòu)造出的LDPC碼不存在4環(huán)。仿真結(jié)果表明了多進(jìn)制LDPC碼性能的優(yōu)異，信噪比在2.5dB時(shí)，基于GF（128）的（762，1524）碼和（1016，2032）碼的誤比特率可達(dá)到10-5以下。但是，本文的算法也有一定的局限性，即碼長的大小要與有限域相匹配，不能夠隨意取值，這是本文算法還有待改進(jìn)的地方。