解不等式恒成立應注意的問題

含有參數(shù)的不等式的恒成立問題是不等式中的重要題型，也是各類考試的熱點，該類問題通常可化為最值問題來解決。但由于這類問題既含參數(shù)又含變量，學生在處理時普遍感到難以駕馭，不是方法繁瑣，就是思路不清。本文通過不等式恒成立中幾個應注意問題的舉例說明，幫助學生理清這類問題的解決思路，并避免一些易犯錯誤。

一、分清主元與參數(shù)

例1 設(shè)不等式x2+(m-4)x-2m+4＞0對任意的m∈[-1，1]恒成立，求x的取值范圍。

分析:由于常見的思維定勢，易將本題看成是關(guān)于x的二次不等式，從而思路不清。其實抓住題中“對任意的m∈[-1，1]恒成立”，應將m看成主元，而x是參數(shù)。

解：問題可轉(zhuǎn)化為m(x-2)+x2-4x+4＞0對任意的m∈[-1，1]恒成立。令f(m)=m(x-2)+x2-4x+4，m∈[-1，1]，由于f(m)的圖像為一條線段，故f(m)＞0對任意的m∈[-1，1]恒成立

，

解得x∈(-∞，1)∪(3，+∞)。

點評：這類既含參數(shù)又含變量的問題關(guān)鍵首先要分清誰是主元？誰是參數(shù)？一般題中對什么恒成立，什么就可以看成主元，另一個則看成參數(shù)，進而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題明朗化。另外，f(m)＞0對任意的m∈[-1，1]恒成立 f(m)min＞0，但若真的去求f(m)min，則需對x-2分大于0、等于0、小于0三種情況討論，此時抓住f(m)的圖像為一條線段，其最小值只可能在端點處取到，故只需考慮兩個端點值大于0即可。在求函數(shù)最值時，恰當利用數(shù)形結(jié)合思想，往往可使問題得到簡化。

二、巧用分離參數(shù)

分離參數(shù)就是把含參數(shù)的式子分離出來放在不等號的一側(cè)，而含主元的式子放在不等號的另一側(cè)。在解決含參的不等式恒成立問題時常需要用到分離參數(shù)法，但學生對何時需要分離參數(shù)往往不能準確識別。

例2 (1)已知不等式x2-ax+1＞0對x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)已知不等式x2-ax-1＜0對x∈[-1，■]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

分析:(1)中令f(x)=x2-ax+1，f(x)＞0對x∈[0，1]恒成立

f(m)min＞0，但求f(m)min需按對稱軸的位置分三種情況討論，比較繁瑣。此時可考慮用分離參數(shù)法。當x∈[0，1]時，x2-ax+1＞0 ax＜x2+1 a＜x+■對x∈[0，1]恒成立

a＜(x+■)min。

(2)中令g(x)=x2-ax-1，g(x)＜0對x∈[-1，■]恒成立

g(x)max＜0。而函數(shù)g(x)=x2-ax-1的圖像為開口向上的拋物線，其最大值只可能在區(qū)間端點處取到，故只需g(-1)＜0且

g(■)＜0（同例1類似），無需分離參數(shù)。而且若用分離參數(shù)法也無優(yōu)越性，因為需按x為正、為負、為0的情況分類討論。

點評：不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題時，若所求函數(shù)最值需要分類討論，則可考慮用分離參數(shù)法。分離參數(shù)后，需求最值的函數(shù)便不含參數(shù)，求最值較為方便。但若分離參數(shù)也要討論，則視具體情況選擇分與不分。

三、最值取到與否對參數(shù)范圍的影響

在上面的例2(2)中，若將x的范圍變?yōu)閤∈（-1，■），此時最大值取不到，則g(x)＜0對x∈（-1，■）恒成立

，解得-■≤a≤0。

點評：當轉(zhuǎn)化為最值問題時，若最值取不到，則應注意端點處，應停頓思考是否有等號，確保考慮全面，不失分。

四、“f(x)≤g(x)”與“f(x1)≤g(x2)”型的區(qū)別

例3 已知兩個函數(shù)f(x)=x2+2x-m，g(x)=x3+3x2+3x，其中m為實數(shù)。

(1)對任意的x∈[-2，2]，都有f(x)≤g(x)成立，求m的取值范圍；

分析:要注意分清一個變量還是兩個變量。

解：(1)設(shè)h(x)=g(x)-f(x)=x3+2x2+x+m，問題等價轉(zhuǎn)化為h(x)≥0對任意的x∈[-2，2]恒成立 h(x)min≥0，又h'(x)=3x2+4x+1，令h'(x)=0，得x=-1或x=-■。

由分析可知h(x)min=h(-2)=m-2≥0，解得m≥2。

點評：對于第一問f(x)≤g(x)對x∈D恒成立，學生常易進行不等價轉(zhuǎn)化為f(x)max≤g(x)min，沒注意到不等式左右兩邊是同一個變量，只需要對于同一個x，滿足f(x)≤g(x)即可。若轉(zhuǎn)化為f(x)max≤g(x)min，則條件太強了，非等價轉(zhuǎn)換。

（作者單位：江蘇省南菁高級中學）