例析《直線與圓》學(xué)習(xí)的幾個(gè)注意點(diǎn)

直線與圓是高中教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，如何正確理解直線與圓，以及應(yīng)用直線與圓來解決高考問題，需要我們注意幾點(diǎn)，下面以例來說明。

一、直線方程要注意斜率和截距

直線的斜率是反映直線的傾斜程度的量。截距是反映直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所代表的數(shù)，可正可負(fù)。

例1.自點(diǎn)A（-1，4）作圓x2+y2=1的切線，則切線l的方程為；

解析：當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線x=-1明顯滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y-4=k(x+1)，化得：kx-y+k+4=0。由圓心到直線的距離等于半徑可得， ，解得k=

-■，此時(shí)直線方程為15x+8y-17=0。所以滿足條件的直線方程為x=-1和15x+8y-17=0。

常見錯(cuò)誤：直接利用 求解得15x+8y-17=0。

求解直線方程中，利用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)，特別容易遺忘斜率不存在時(shí)候的討論。有些同學(xué)認(rèn)為利用圓心到直線的距離公式有時(shí)候也是可以直接得到正確答案的，主要的原因在于兩條直線斜率都是存在的。考慮這類過定點(diǎn)的切線方程還要注意點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，來確定切線的條數(shù)。

例2.已知直線L:ax+(1-2a)y+1-a=0，若直線L在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則a的值為。

解析：分別令x=0和y=0，得在y軸上的截距為■，在x軸上的截距為■，由題意可得■=■，解得a=1或a=■。

常見的錯(cuò)誤是利用絕對(duì)值相等，即 ，

解得a=1或a=■。雖然結(jié)論是正確的，但這里將截距理解成距離等式是錯(cuò)誤的。

二、圓的學(xué)習(xí)要注意有關(guān)的幾何意義

例3.已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0。求：（1）■的最大值和最小值；（2）y＋x的最大值和最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值。

解析：方法一 （1）令■＝t，則x2+t2x2-4x+1=0，即（1+t2）x2-4x+1=0。

由Δ≥0，得－ ≤t≤ 。∴■的最小值為－ ，最大值為 。

（2）令y＋x＝m，則y＝－x＋m，x2+(-x+m)2-4x+1=0，即2x2-(2m+4)x+m2+1=0。由Δ≥0，得2－ ≤m≤2＋ 。

方法二 （1）■即為圓（x-2）2+y2=3上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，由于OC＝2，CT1＝CT2= (T1，T2為過O引圓的兩切線的切點(diǎn))，所以∠T1OC＝∠T2OC=60°，∴KOT1＝－ ，KOT2＝ 。∴■∈[－ ， ]，■的最小值為－ ，最大值為 。

（2）令y＋x＝m，y＝－x＋m，直線y＝－x＋m與圓x2+y2-4x+1=0有公共點(diǎn)時(shí)，其縱截距在兩相切位置對(duì)應(yīng)的縱截距之間，而相切時(shí)有 ，|m－2|＝ ，m＝2± 。∴y＋x最大值為2＋ ，最小值為2－ 。

（3） 表示圓x2+y2-4x+1=0上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故其最大值為2＋ ，最小值為2－ 。∴x2＋y2的最大值為7＋4 ，最小值為7－4 。

評(píng)注：圓上的點(diǎn)構(gòu)成的題型常常跟幾何意義有著密切的關(guān)系，在圓的幾何意義上進(jìn)行深入的探討，可以找到解決問題的最直接的方法。常見的幾何意義有：（1）斜率■（(x，y)為圖像上的點(diǎn)，(a，b)為定點(diǎn)）；（2）點(diǎn)點(diǎn)距離： ，

其中x，y，a，b同（1）中的意義；（3）線性規(guī)劃：例如例2中第2小問，常轉(zhuǎn)化為直線與圓的相切問題考慮；（4）點(diǎn)線距離：

或 。

三、直線與圓相結(jié)合，要關(guān)注直線與圓的位置關(guān)系

例4．若直線4x-3y-2=0與圓x2+y2-2ax+4y+a2-12=0總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是；

解析：將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形(x-a)2+(y-2)2=16，可得圓心坐標(biāo)為(a，2)，半徑為4，所以 ，解得-3＜a＜7

例5.已知圓C與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心C到直線y=-x的距離等于 。

（1）求圓C的方程。

（2）若直線l:■+■=1(m＞2，n＞2)與圓C相切，求證：mn≥6+4 。

解析：（1）設(shè)圓C半徑為r，由已知得：

∴圓C方程為(x-1)2+(y-1)2=1，或(x+1)2+(y+1)2=1。

（2）直線l方程為nx+my-mn=0，∵直線l與圓C:(x-1)2+(y-1)2=1相切，∴ ∴(n+m-mn)2=n2+m2，左邊展開，整理得，mn=2m+2n-2。∴m+n=■。∵m＞0，n＞0，m+n≥2 ∴■≥2 ，∴

∴ 或 。∵m＞2，n＞2

∴ ，∴ 。

解決直線和圓的位置關(guān)系的解析幾何問題，一般直接考慮用圓心到直線的距離與半徑等量之間的等式（或不等式）關(guān)系，當(dāng)然也以聯(lián)立方程組用代數(shù)手段解決。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)二甲中學(xué)）