融學法于教法之中

摘 要：運用科學方法論來指導數學教學并以“目標·主體·思維” 相結合的方式來進行，通過情感教學，充分發揮學生的主體作用，從而達到培養學生的數學思維的預定目標；使學生學會學習，學會思考，學會創造。

關鍵詞：目標；主體；思維

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）20-044-3

課堂教學中教師的主導和學生的主體作用主要體現在教師如何通過自己的教學，激發學生學習的自覺性和積極性，如何引導學生主動去觀察、思考、探索，通過他們自己的努力去獲取知識，使他們不但學會知識、運用知識，而且懂得如何去學，這是發揮教師的主導作用和學生的主體作用的根本所在。

一、學習的本質在于學會學習，學會思考，學會創造

學生學習的本質是什么，這是每一位教育工作者需要正確認識的一個重要問題。李政道教授在談到人才培養問題時，曾打了一個比方：“一個上海學生對上海的馬路十分熟悉，另一個學生從未到過上海，若給他們一張上海地圖，明天考畫上海的地圖和填寫街道名稱，則后者可能考得比前者好。”李政道接著說：“真正的學習，是要沒有路牌子也能走路，最后能走出來，這才是學習的本質。”（中國教育報）這個例子生動說明了學習、考試取得好成績固然重要，但學會自己走路，培養獨創精神與獨立工作能力更為重要。

“教是為了不教”，教學的根本任務是教會學生怎樣學習。近年來，在教師為主導、學生為主體的先進教育思想的指引下，學法和課題研究已逐漸引起教育界的重視。其實，教學方法理應包括教師教的方法與學生學的方法。因此，提出教法與學法的融合，比單純提出“研究教法”或“研究學法”更為準確和科學。教法與學法的融合，教法服務于學法，充分體現了老師為主導，學生為主體的思想，應是當前教學方法改革的一個重要方向。

二、科學方法論是實現學與教兩者統一的重要指導理論

數學教學中，存在著三種思維活動：數學家或作者的思維活動（隱含于教材之中），教師的思維活動與學生的思維活動。從這個意義上說，“數學教學過程，是學生在教師指導下，通過數學思維活動，學習數學家思維活動的成果，并發展學生數學思維能力的過程。”這就是說：

1.教會學生科學地思維，應是數學教學的重要目的之一。即（大綱）所強調的，數學教學中，發展思維能力是培養能力的核心。

2.數學教學應力求充分暴露學生的思維過程，然后根據反饋信息，有的放矢地進行教學。

3.數學教學不應是“結果”的教學，而應是“過程”的教學。數學活動的教學，就是要把知識的形成、發展過程展現給學生。具體來說，就是要把問題的提出過程、知識的獲取過程、結論的探索過程、問題的深化過程等分析、解決問題的艱難曲折過程展現出來。

這樣就引伸出另一個問題：如何正確評價學生暴露出來的各種思維活動？如何讓學生突破思維上的障礙？怎樣才能把老師自己的思維活動與隱含在教材之中的作者的思維活動科學地展現出來，傳授給學生？換言之，在教師的教與學生的學之間，需要有一種正確的觀點、思想、方法來加以溝通，才能教會學生科學地進行思維，引導學生開展積極的思維活動。

恰恰在這些問題上，科學方法論給出了指南。因為科學方法論是一門在認識論指導下的思維科學，它研究的問題很大的一部分是大腦在科學研究過程中如何思維的問題。

其次，科學方法論又是研究科學的發展規律以及科學中的發現、發明以及創造性活動的規律和方法。而學生學習科學的過程，實際上就是科學發展在個人認識過程中的縮影或反映。科學方法論的基本原理和方法，對今天的學生仍具有重要的指導意義。所以用科學方法論指導數學教學，實際上也就是教學生如何學習、如何做學問。顯然，這對創造型人才的培養，對提高全民族的素質都有著深遠的意義。

在高中階段，用科學方法論指導數學教學，對學生進行科學方法論的教育，就是要注意提示隱含在教材中的數學思想方法，展現數學知識形成、發展的軌跡；要注意從科學方法論高度指導學生解答數學問題及其他應用問題；要注意應用科學方法論觀點提示和探索數學知識之間的聯系。總之，要在數學教學中有意識地把思維過程中的方法論問題（諸如比較與分類方法，分析與綜合方法，歸納、演繹與類比的推理方法，理想化方法，公理化方法，形象思維與辯證思維的作用，科學概念與規律的抽象與概括的一般過程等），結合數學具體內容，深入淺出地教給學生，潛移默化地讓學生獲得科學方法的有益啟示。

下面，從給學生展現思維過程這一側面，說明在教學中具體的實施方法。

1.讓學生看到數學家的思維軌跡——三角誘導公式的教學

為了對學生進行科學方法論的教育，我是把這個問題作為小研究課題進行分析探討的。

（1）問題的提出（使學生明確研究方向）。銳角三角函數，可以查表求其值；能否利用已有的銳角三角函數表，解決任意角的三角函數值的計算問題。

（2）解決問題的思想方法（使學生懂得，如何把這個課題逐步具體與明確化，即要明確做什么？怎樣去做）。

1°.分象限來解決——把范圍縮小到0°～360°。由于終邊在坐標軸上的角的三角函數值可求，又終邊相同的角的三角函數完全相同，故可取（0°，90°）、（90°，180°）、（180°，270°）、（270°，360°）作為四個象限的代表；

2°.轉化為銳角來解決——變為具體研究180°-α，180°+α，360°-α，-α與角α的三角函數關系；

這里，關鍵要講清楚如何用銳角α來表示各象限的周內角：

通過數形結合很容易得到這種關系，即：若銳角用α表示；則第二象限周內角用180°-α表示；第三象限周內角用180°+α表示；第四象限周內角用360°-α（或-α）表示；

到此，學生已明確了具體的任務：要研究180°-α，180°+α，360°-α，-α與角α的三角函數關系（增加-α是為了利于負角變成正角，使計算更為簡捷）。

美國著名數學家P·R·Halmos曾指出：“解決問題的最困難的部分之一，是提出正確的問題。”說明提出問題的重要性。上述分析，讓學生看到了科學家的這一思維過程。

3°.抓住主要矛盾來解決——著重解決好正弦、余弦的公式推導。

（3）公式的推導與規律的概括。以誘導公式I組為例，由于要花2～3個課時才能完成，這就為學生掌握科學的概括方法創造了有利的條件。通常，概括的施行要分成兩個步驟：

1°.考察盡量多的對象，尋找它們間的共性；

2°.從已經概括了的范圍出發，擴大對象范圍，作進一步的概括。然后逐步擴大范圍，逐步修正，最后完成對整類對象的概括。

首先可在推導公式sin（180°+α）=-sinα，cos（180°+α）=-cosα后，提出如下問題讓學生討論：上述公式是在角α為銳角的情況下推導出來的，如果把α擴展到定義域中的任意角時，公式是否仍成立？通過研討后，同學們發現對于誘導公式中的α，開始我們只要求為銳角就足夠了，但推導結果卻打破了我們的限制，即公式對任意角α都適用。這個收獲，大大提高了公式的應用價值，使學生從中領略到數學的某種奇妙。從銳角→任意角這一改進，是認識規律的一個飛躍。

其次，我們可以從一節課中所推導的四組誘導公式，要求學生通過觀察分析，能概括出其統一的規律。

（引導）——“=”左右兩邊函數的名稱有什么聯系？函數值前面的±號的放置有什么規律？從而得出“函數名不變，符號看象限”的規律。

這個課例，不僅使學生掌握運用單位圓推導誘導公式這種數形結合研究數學的思想方法，更重要的是學到了研究問題的方法。例如，研究事物，必須要提出具體化的問題，即確定好課題十分重要；掌握一定的素材后，就要善于分析，進行抽象概括；人腦對事物規律的概括，總是逐步完成的。

2.讓學生看到老師的思維軌跡——點到直線距離公式的推導

求點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d是解析幾何中一個十分重要的公式。若作PQ⊥l于Q，并設Q（a，b），則d=（x0-a）2+（y0-b）2. （）

當然，我們可以利用兩直線方程求出Q的坐標，然后由兩點間距離公式求d。課本中說：“這個方法雖然思路自然，但是運算很繁。”故介紹另一種解法（遇到困難，及時改變方法，不失為一種好策略）。

但我在教學中，抓住這一矛盾的分析與解決，暴露教師的思維，讓學生看到科學思想方法的威力，對學生進行具體的科學方法論的教育。

首先，如果能從全局、整體上來看問題，就可以發現求a和b并不是問題的關鍵，關鍵是要求出x0-a與y0-b（正是這兩種不同的出發點，引來了計算的繁與簡）。

不妨先設A≠0，則有：Aa+Bb+C=0，y0-bx0-a=BA.

根據上述的求解目標，化為：

A（x0-a）+B（y0-b）=Ax0+By0+C，y0-bx0-a=BA.

再根據上式的結構特點（比例關系），令x0-a=At；y0-b=Bt，代入上式，求出t=Ax0+By0+CA2+B2，代入公式（）有：d=A2+B2|t|=|Ax0+By0+C|A2+B2. 不難驗證，當A=0時這個公式也成立。

這樣處理，反而比書中介紹的方法簡便多了。歸根到底，就是因為上述解法能洞察問題的全局，從整體出發，分析清楚主要矛盾，抓住了問題的關鍵，從而選準了突破口。所以，上述解法體現了整體思維的運用，鮮明的目標意識與“設而不求”的解析幾何的重要解題技巧。

本例主要通過展示教材與老師的不同思維，從而達到指導學生看書，指導學生學習的目的。這種把自己“擺進去”的教學方法，收到了較好的效果。同學們說：“聽你的課，我們并不感到你在講授知識，而是在同我們談學習體會，介紹學習方法。”

3.讓學生看到學習群體的思維轉變——等差數列性質的教學

如前所述，數學教學中，存在著數學家（或教材）、教師、學生這三種思維活動。但當前的教學，其信息的傳播大多局限于教材與學生，教師與學生這兩種模式。而對學生與學生之間的互動與影響重視不夠，這是教學中對學生主體地位發揮不夠。其實，學生群體的最大特點是互補性。學生在相互研討、探究、補充交流、評價完善的環境中獲取到許多書本中沒有的知識，從中學習到別的同學的學習方法與思維方法。教師也可在這一過程中，對學生進行科學方法論的教育。

在等差數列性質的教學中，我在介紹了用倒項相加法求等差數列前n項和Sn的公式后，就提出如下問題讓學生研討：通過上述求和公式的推導，你們能發現等差數列有什么性質？

學生A：等差數列{an}前n項中，與兩端“等距離”的兩項和都相等。

即若x-1=n-y則ax+ay=a1+an.

學生B：只要x+y=m+n就有ax+ay=am+an.

學生C：上述結論可推廣到兩邊皆為m項的情況，即若

x1+x2+…+xm=y1+y2+…+ym，則ax1+ax2+…+axm=ay1+ay2+…+aym.

老師：兩邊個數不相等時，結論對嗎？（學生經研究認為不對）。

老師：上述結論的逆命題成立嗎？（學生中一部分認為成立，一部分認為不一定）。

學生D：以兩項為例，ax+ay=2a1+（x+y-2）d，

am+an=2a1+（m+n-2）d.

若ax+ay=am+an，則（x+y-2）d=（m+n-2）d

故當d≠0時，x+y=m+n成立；而當d=0時，就不一定成立。

老師（簡單小結）：通過研討，我們不斷把結論加以深入和一般化，這也是我們學習數學的一種重要方法。說明看書學習不能光知道結論，還要掌握某些重要公式定理的推導過程；更要善于觀察思考，不斷提出問題、深化問題，這樣就能從中獲得許多書中沒有的知識。

老師：還有其他發現嗎？

學生E：由Sn=n（a1+an）2a1+a2+…+ann=a1+an2

即等差數列中，連續n項的算術平均數等于首末兩項的算術平均數。

老師：這位同學的想法很好。可啟發我們，若從Sn=na1+n（n-1）2d出發考慮，就有Sn=d2n2+（a1-d2）n，即（n，Sn）落在函數y=Sn=d2x2+（a1-d2）x的圖像上。當d≠0時，它是過原點的拋物線，由此可用來解決n=？時，Sn的最（或最小）的問題。

整節課，師生之間、學生之間的思維活動都得到充分交流，相互啟發、相互補充、相互評價，使人體會到一個問題的探究是怎樣逐步深入地進行的。

表面看來十分簡單的例題，運用科學方法論的原理組織教學，就能引出十分豐富的內容，大大提高了學生分析、解決問題的能力。對于一些概念、習題，若能仔細推敲，深入鉆研，把潛藏的基本思路、基本規律發掘出來，把教材的思維過程、教師的思維過程、學生的思維過程展示出來，就能從題海中跳出來，提高學生的數學思維素質。