高中數學解題中的分類討論策略初探

摘 要：在高中數學解題中，分類討論是一個十分重要的解題策略，展現了歸類整理與化整為零思想與方法。本文作者分析了高中數學分類討論含義與解題步驟，探究了分類討論在高中數學中的常見運用。

關鍵詞：高中數學解題；分類討論策略；解題步驟；常見運用

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）20-070-1

一、高中數學分類討論含義與解題步驟

分類討論不但是一個常見思想方法，也是一個重要的解題方法，即對數學問題研究與解題過程中，依據數學對象的自身屬性共同點，可以把數學對象化為不同類型，再逐類加以研究、解決。其具體步驟如下：①明確討論對象與研究全域；②科學分類，根據某一標準于比較基礎上進行分類。“比較”為分類前提，而“分類”為比較結果。同時，分類時，做到不遺漏、不重復；③逐類進行討論與求解；④小結歸納，整合結論。通過類討論，認真比較后加以準確分類，從而將復雜問題得以嚴密化、完整化、清晰化的解答，提高解題效率。

二、分類討論在高中數學解題中的運用

1.在數學運算與數學證明中的運用。

在數學證明或運算時，若不加以分類討論，有時則無法證明結論，因此，我們需要對這些情況進行分類討論。

例如：已知{an}為首項是2，其公比是12的等比數列，而Sn是其前n項和。請求①以Sn來表示Sn+1；②是否存在自然數k與c，使Sk+1-cSk-c>2成立。

在解答問題②時，需進行分類討論，也就是對雙參數k與c加以分類討論，進而得出結論。

解析 ①根據Sn=4（1-12n），可得出Sn+1=4（1-12n+1）=12Sn+2，其中，n∈N+。（2）若使Sk+1-cSk-c>2，僅需c-（32Sk-2）c-Sk<0

∵Sk=4（1-12k）<4

∴Sk-（32Sk-2）=2-12Sk>0，（k∈N+）

∴只需32Sk-2

∵Sk+1>Sk，（k∈N+） ①

∴32Sk-2≥32S1-2=1

又Sk<4，所以需使①成立，c則只能為2或3

若c=2，∵S1=2，∴當k=1時，那么c

若k≥2，∵32S2-2=52>c，

根據Sk

∴若k≥2，32Sk-2>c，從而①不成立

若c=3，∵S1=2，S2=3，

∴當k=1，k=2時，c

∵32S3-2=134>c，又32Sk-2<32Sk+1-2

∴當k≥3時，32Sk-2>c，從而①不成立

∴不存在自然數k與c，讓Sk+1-cSk-c>2成立

2.有關不確定圖形的運用。

在數學解題中，若圖形、圖像或點的位置不大明確，亦或有幾種可能性，則需分類討論。如二次函數圖像，其不同定點與最值等；不同的空間圖形及其位置關系；直線與曲線，曲線與曲線間的關系，如相離、相切與相交；直線之間的三種關系，包含重合、平行、相交等。

例如：若k∈R，方程（8-k）x2+（k-4）y2=（k-4）（8-k）所表示的曲線是什么？對該題學生易于想到將原方程變為x2k-4+y28-k=1.然而這一變形則需注意k≠8且k≠4，而8-k與k-4的正負會導致曲線類別的不同，所以需要對k∈R加以分類討論。此外，還需注意到其中的分界點，也就是k=6，所以正確的分類如下。

解題：1）當k=4時，原方程變成4x2=0，∴x=0，那么方程表示的為直線。

2）當k=8時，原方程變成4y2=0，∴y=0，那么方程表示的為直線。

3）當k≠8且k≠4時，方程變成x2k-4+y28-k=1

①若k<4，那么方程表示的為雙曲線；②若48，那么那么方程表示的為雙曲線。

此外，還有在數學概念與數學定義上的運用，亦或在函數性質、數學公式、定理的限制條件上的運用。某些數學概念則是以分類進行定義的，亦或有一定的條件限制，當碰到這些問題時，則需分類討論。如直線斜率為k=tanα，其中的限制條件是α≠π2等。因而在設直線方程時，通常可以設直線斜率為k.但當直線垂直x軸時，此時直線沒有斜率，則需另行分析。同時，在使用數學性質、數學法則、數學定理等有一定的限制條件，所以，在解題過程中，應考慮題設是否與數學公式、定理等條件相符合，這些情形常常需要分類討論。如果直線于兩軸上的截距相同，一般可設直線方程：xa+ya=1，然而當a=0時，則需另行分析。