2012年江蘇高考數(shù)學(xué)解析幾何題的另解

摘 要：焦點(diǎn)弦問(wèn)題一直是近幾年全國(guó)各地高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，也是圓錐曲線研究的重點(diǎn)內(nèi)容之一，這其中不僅僅滲透了數(shù)形結(jié)合、方程思想，還融入了平面幾何、三角函數(shù)的知識(shí)，同時(shí)還體現(xiàn)了整體思維觀。本文對(duì)此進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：2012高考；解析幾何；巧解

中圖分類號(hào)：G421 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2012）20-081-1

在2012年江蘇高考中，很多考生覺(jué)得數(shù)學(xué)試卷中的解析幾何題計(jì)算量大、不好算、來(lái)不及做。事實(shí)上，只要我們能夠做到解題思路清晰、目標(biāo)明確、方法得當(dāng)、合理巧算的話，這道解析幾何題并不難處理。

2012年江蘇數(shù)學(xué)高考題第19題：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0）、F2（c，0）.

已知（1，e）和（e，32）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P.

（i）若AF1-BF2=62，求直線AF1的斜率；

（ii）求證：PF1+PF2是定值.

一、分析

問(wèn)題（1）求離心率的大小，很容易通過(guò)三個(gè)方程就可以解決；關(guān)于第二問(wèn)的幾點(diǎn)思考：

（1）（i）問(wèn)滲透了方程思想，解決此問(wèn)的關(guān)鍵是尋找到關(guān)于斜率的一個(gè)方程即可。而刻畫直線斜率的大小可以通過(guò)直線的傾斜角的正切值的大小來(lái)反映，所以此題可以用傾斜角作變量來(lái)處理。而已知條件AF1-BF2=62，就是我們要找的關(guān)于斜率的那個(gè)方程，也就是說(shuō)只要將這個(gè)等式中的AF1、BF2長(zhǎng)都用傾斜角表示可以達(dá)到目的。

（2）（i）問(wèn)的解題思路為解決（ii）問(wèn)提供了幫助。（i）問(wèn)中由給出的等式得出斜率為定值，（ii）問(wèn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：不論過(guò)點(diǎn)F1的直線PF1怎樣動(dòng)，即不論直線的傾斜角大小怎樣變，PF1+PF2的值都不變，且為常數(shù)。所以只要將PF1、PF2長(zhǎng)都用傾斜角表示，那么在化簡(jiǎn)過(guò)程中，PF1+PF2中的角一定會(huì)自然消元，從而問(wèn)題得到解決。這其中滲透了從特殊到一般的思想方法、滲透了消元的思想。

二、解答

（1）由題意知：1a2+c2a2b2=1，

c2a4+34b2y=1，

a2-b2=c2，，解之得：a2=2

b2=1

c2=1，所以橢圓的離心率為22.

（2）設(shè)∠AF1F2=θ，AF1=l1，BF2=l2，F(xiàn)1到左準(zhǔn)線的距離為p，且p=1，橢圓離心率e，且e=22，則由橢圓第二定義可得：l1=ep1-ecosθ，l2=ep1+ecosθ.

（i）由AF1-BF2=62，得ep-2ecosθ1-e2cos2θ=62，故cosθ=26，∴tanθ=22，所以直線AF1的斜率為22.

（ii）由橢圓第一定義得：BF1=2a-l2.

∵AF1∥BF2，∴PF1PB=l1l2，即PF1PF1+PB=l1l1+l2，故有：PF12a-l2=l1l1+l2，

∴PF1=l1（2a-l2）l1+l2，同理PF2=l2（2a-l1）l1+l2.

∴PF1+P2=2a（l1+l2）-2l1l2l1+l2=2a-21l1+1l2=2a-21-ecosθep+1+ecosθep=2a-ep=22-22=322.

所以PF1+PF2為定值322.

三、評(píng)注

（1）優(yōu)化計(jì)算是學(xué)好數(shù)學(xué)必備的能力之一，它能幫助我們減少很多不必要的運(yùn)算，提高我們的運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率。在開(kāi)始運(yùn)算前就要有目的性、計(jì)劃性，就要思考好算什么、怎么算、為什么要這樣算？在運(yùn)算過(guò)程中要注意運(yùn)算的合理性、準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性、熟練性，最終達(dá)到有效運(yùn)算。

（2）如果我們熟悉焦點(diǎn)弦性質(zhì)：l1=ep1-ecosθ，l2=ep1+ecosθ，那么此題的運(yùn)算量就會(huì)減少許多。同時(shí)由于該題是求PF1+PF2整體為定值的，所以在運(yùn)算過(guò)程中應(yīng)采用整體思想，因此計(jì)算時(shí)還要熟悉1l1+1l2=2ep.這樣在計(jì)算、化簡(jiǎn)過(guò)程中，利用整體來(lái)處理，很多不需要算的過(guò)程就可以省略，從而達(dá)到優(yōu)化運(yùn)算。

（3）這道高考解幾題是橢圓焦點(diǎn)弦性質(zhì)很典型的應(yīng)用。事實(shí)上，雙曲線、拋物線也有類似的性質(zhì)。這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中，要善于歸納、小結(jié)，了解三種圓錐曲線的統(tǒng)一定義。