淺談對“HL”件的一點認(rèn)識

摘 要：初一學(xué)生的數(shù)學(xué)思維正在從形象思維到抽象思維過渡，在學(xué)習(xí)中還存有很大的模仿性，三角形全等的條件有多種，但很多同學(xué)經(jīng)常誤用“SSA”證明三角形全等，把“SSA”與直角三角形的全等條件“HL”混淆。

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中圖分類號：G421 文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1992-7711（2012）10-085-1

今年是新教材在南京全面試點的第二年。對于新教材而言我們在一線的老師都是“摸著石頭過河”，嘗試新的教學(xué)手段和教學(xué)方法。筆者借此機會，談一談自己在“三角形全等的條件”這節(jié)課的教學(xué)中所遇到的一些問題以及解決這些問題的方法。

“三角形全等的條件”是初中數(shù)學(xué)的一個重點，也是一個難點。我們都知道一般的三角形全等的條件有四種：“邊邊邊（SSS）”、“角角邊（AAS）”、“角邊角（ASA）”、“邊角邊（SAS）”；而在這四種條件中，“邊角邊（SAS）”條件在運用的過程當(dāng)中很容易被學(xué)生誤用。在一般三角形全等的證明過程中，把“邊角邊（SAS）”條件用一個不是條件的條件替代了，即把“邊角邊（SAS）”誤用為“邊邊角（SSA）”，這是三角形全等教學(xué)中最讓教師頭疼的問題之一。當(dāng)然，存在這樣的問題的原因很多，最主要的原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)時對“邊角邊”條件的理解不夠深刻（除一部分接受能力較強的學(xué)生外）。雖然上課時學(xué)生在自己動手作三角形的過程中能夠發(fā)現(xiàn)“邊邊角”條件不能使得到的三角形一定全等。而且，教師在作總結(jié)時會強調(diào)：通過剛才我們的經(jīng)歷，我們可以看到“兩邊一角”的情況，只有“兩邊夾一角”時，兩個三角形才會全等。但是，學(xué)生在運用中還是容易出現(xiàn)誤用。然而，在教科書上會有意無意地出現(xiàn)類似用“邊邊角”條件證明三角形全等的情況，從而使學(xué)生迷惑。例如，初一新教材的第五章第八節(jié)“探索直角三角形全等的條件”一課中，就出現(xiàn)了如下的證明過程：

①BC=EF，AC=CF

∠CAB=∠FDE=90°△ABC≌△DEF

這個證明步驟在本節(jié)的正確性是不容置疑的，我們立刻就能看出，BC=EF，AC=CF是交代了一條斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，∠CAB=∠FDE=90°意思是說：這是兩個直角三角形，這是一個利用“直角三角形全等的條件”中的“斜邊、直角邊”條件，即我們所說的“HL”條件，學(xué)生在這里也容易明白是這個意思。但是，對于我們初一的學(xué)生而言，他們剛從小學(xué)升入初中不久，數(shù)學(xué)思維正在逐步從形象思維過渡到抽象思維，在學(xué)習(xí)中還存有很大的模仿性，對于形象的事物容易記憶、了解，對于抽象的理論較難理解。那么這樣的一個證明步驟，必然會誤導(dǎo)學(xué)生，產(chǎn)生錯誤的想法，即認(rèn)為“邊邊角”條件對于證明兩個三角形全等是成立的。

在翻閱了新舊教材之后，我發(fā)現(xiàn)舊教材在這個問題上采用了比較直接的方法，正面引導(dǎo)學(xué)生“邊邊角”條件只有在證明直角三角形這樣的特殊三角形的前提下才適用，即“斜邊、直角邊”條件（HL）。在96年出版的《初中數(shù)學(xué)教案（幾何）》一書中，常州市教育局教研室的楊欲前老師和常州市二十一中的楊秋萍老師在他們共同編寫的教案《直角三角形全等的判定》中就這樣引導(dǎo)學(xué)生：“如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？”，然后通過作直角三角形，得出結(jié)論“全等”，從而推導(dǎo)出“斜邊、直角邊”（HL）條件。因此，雖然我們說三角形的全等的條件中沒有“邊邊角”條件這一說法，但是，在我們許多的老師頭腦中它（即“邊邊角”）還是一直存在的。而新教材在處理這一問題上，只是給出了一個證明步驟（即①）實際上也就是默認(rèn)了，從這點上來看，新舊教材在這一問題上的本意還是一樣的。

這樣的問題，在教學(xué)中是很難把握的，于是在教學(xué)的具體過程中，我做了如下的設(shè)計：我將“斜邊、直角邊”（HL）條件向三角形全等條件的“邊邊邊”條件靠攏，即把直角三角形的全等條件“斜邊、直角邊”（HL）條件，看成是弱化的“邊邊邊”條件。

首先，介紹直角三角形的作法，我給出具體條件：“直角三角形的斜邊AB=5cm，一條直角邊BC=3cm。請同學(xué)們自己動手在草稿紙上畫出相應(yīng)的直角三角形”，在學(xué)生完成畫圖并相互比較，得出“全等”的結(jié)論之后，我又給出條件：“如果直角三角形的斜邊AB=13cm，一條直角邊BC=5cm。你能畫出相應(yīng)的直角三角形嗎？它們還一定全等嗎？”學(xué)生完成上述兩個畫圖過程，并互相比較、歸納得出結(jié)論：只要知道了兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，就能夠判斷這兩個直角三角形全等，即得到直角三角形全等條件的“斜邊、直角邊”（HL）條件。之后，我告訴學(xué)生，第一個所畫的直角三角形的另一條直角邊為4cm，許多同學(xué)都投來懷疑的目光，于是我讓學(xué)生用刻度尺進行測量，結(jié)果大多數(shù)學(xué)生測量出來的結(jié)果都是4cm（當(dāng)然也有少數(shù)學(xué)生的測量結(jié)果和大家不一致，不過誤差都不大），于是，全班學(xué)生都很興奮，他們不知道這是巧合，還是必然出現(xiàn)的事實，還沒有等我讓他們測量第二個直角三角形的另一條直角邊，許多學(xué)生都主動測量了第二個直角三角的另一條直角邊，并與同桌、同組、鄰桌、鄰組的學(xué)生進行比較，他們發(fā)現(xiàn)所畫的第二個直角三角形的另一條直角邊的長度為12cm，這時，教室可就砸了鍋了，學(xué)生議論紛紛，探究的氣氛一下子就濃了起來，學(xué)生紛紛猜測另一條直角邊與已知的斜邊和直角的關(guān)系，每個學(xué)生都想知道這是為什么，于是我告訴學(xué)生：“直角三角形是一種特殊的三角形，它的許多特征還沒有被你們發(fā)現(xiàn)，只要你們繼續(xù)學(xué)習(xí)，它的特征會被你們一一發(fā)現(xiàn)的，而我們剛剛所看到的現(xiàn)象，只是直角三角形的特征之一”。在這里，學(xué)生不需要知道原因，可是通過這個過程，既讓他們知道了一個事實：只要知道了直角三角形的斜邊和一條直角邊，就可以找出另一條直角邊的長度，又調(diào)動了學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。而直角三角形全等的“斜邊、直角邊”（HL）條件，也向三角形全等條件的“邊邊邊”條件靠攏了，從而消除了概念的混淆。

我撰寫該文的目的是把自己的所想、所感寫下來。正所謂：“有改革就會有創(chuàng)新，有失敗才會有成功”。希望同行們能及時給出批評，并且?guī)臀抑刚e誤