例析點對稱問題

摘 要：對于學生而言，對稱問題的學習有一定難度，本文通過幾個例題進行簡單闡述。

關鍵詞：數學;點對稱;例析

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A

文章編號：1992-7711（2012）10-086-1

在課本P88僅提供一個中心坐標公式，而沒有明確講對稱問題，但在課本P94有多個題目用對稱，故對稱問題對于學生而言難度還是比較大的，但對稱問題在實質上也就是分為點點、點線、線點和線線對稱以及用對稱求最值，而線點對稱和線線對稱還是可以轉化點點對稱和點線對稱。本文通過幾個例題進行簡單的闡述。

一、點點對稱（中心問題）

例1 （課本P94、2）已知點P(－1，2)，求點P關于原點的對稱點的坐標。

分析：本題實質上就是原點為P點以及對稱點的中點，利用中點坐標公式，可求得對稱點的坐標為(1，－2)。

變形1：已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為A(0，0)，B(1，0)，C(2，3)，求第四個頂點D的坐標。

提示：由于平行四邊形的四個頂點的相對位置不確定，即以A、B、C為三個頂點可得三個平行四邊形，如ABCD、ABDC、ADBC，因此頂點D有三個，可分類討論，再利用平行四邊形的對角線相互平分，即中點重合。易解得D的坐標分別為(1，3)、(3，3)、(－1，－3)。

變形2：（課本P94、14）過點P(3，0)作直線l，使它被兩條相交直線2x－y－2=0和x+y+3=0所截得的線段恰好被P點平分，求直線l的方程。

提示：設所求直線l與x+y+3=0的交點為(a，－3－a)，則它關于點P(3，0)對稱點為(6－a，3+a)，且該點落在直線2x－y－2=0上，很易求得a=73，這樣就不難求出直線l的方程為：8x－y－24=0。

變形3：（課本P94、18）已知直線l:y=3x+3，求直線l關于點M(3，2)對稱的直線的方程。

提示：在所求直線上任取一點P(x0，y0)，P關于M(3，2)對稱的點P′(6－x0，4－y0)，且該點落在已知直線l上，則4－y0=3(6－x0)+3，即3x0－y0－17=0。故所求直線的方程為3x－y－17=0。

二、點線對稱

例2 已知直線l:y=x－1，求點P(3，4)關于l對稱的點Q的坐標。

分析：方法1、設所求的點Q的坐標為(a，b)，則根據題意可得直線l既垂直又平分線段PQ。得到兩個方程，再聯立方程組可解得Q(5，2)。

方法2、垂直于l的直線方程可設x+y+c=0，它經過點P，所以解之得c=－7，這樣可求出兩條直線的交點(4，3)，此點為PQ的中點，故可求得Q的坐標(5，2)。

注：方法2就是將點線問題轉化為點點問題，學生對于這種轉化思想不易想到。

變形1：（課本P94、18）已知直線l:y=3x+3，求直線x－y－2=0關于l對稱的直線的方程。

提示：方法1、先求出兩條直線的交點坐標，再在直線x－y－2=0取一不同于交點的特殊點，則可求出它關于l對稱點坐標，再根據直線的兩點式可求出所求直線的方程為7x+y+22=0。

方法2：設所求直線上任意一點坐標(x0，y0)，則它關于l對稱點應落在已知直線x－y－2=0上，這樣就很易求出所求直線方程。

變形2：（課本P94、16）已知光線通過點A(2，3)，經過直線x+y+1=0反射，其反射光線通過點B(1，1)，求入射光線和反射光線所在的直線的方程。

提示：可求點A(2，3)關于直線x+y+1=0對稱點A′(－4，－3)，點B(1，1)直線x+y+1=0對稱點B′(－2，－2)，則入射光線所在的直線的方程就是直線AB′的方程，反射光線所在的直線的方程就是直線A′B的方程，再根據直線的兩點式方程很易求出所求直線方程。

三、利用對稱求最值

例3 已知點M(－1，3)，N(6，2)，點P在x軸上，求PM+PN取最小值和點P的坐標。

分析： M關于x軸對稱點的坐標為M′(－1，－3)，則PM+PN取最小為M′N，根據兩點距離公式可得最小值74，此時P為直線M′N與x軸交點，設再根據三點共線可求得a。

變形1：求(x－2)2+22+(x－8)2+42（x∈R）的最小值。

提示：本題可以轉化一動點(x，0)到定點A(2，－2)，B(8，4)之和的最小值，即三點共線。

變形2：已知點M(－1，－3)，N(6，2)，點P在x軸上，求PM－PN取最大值和點P的坐標。

提示：M關于x軸對稱點的坐標為M′(1，－3)，則PM－PN=PM′－PN，當點P就與點F重合時，PM－PN取最大值，此時M′，N，P三點共線。