高考中三角函數的考查熱點例析

摘 要：三角函數的圖象和性質成了高考的一個熱點，教師必須對此引起高度重視。本文針對三角函數的考查熱點作一例析方面的探討。

關鍵詞：高考；三角函數；熱點例析

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）01-032-1

三角函數的圖象和性質是學生將來學習高等數學和應用技術學科的基礎，也是解決實際生產問題的工具。這就決定了三角函數的圖象和性質既教學的重點，也是高考考查的重點。加上近年來高考降低了對三角變換的考查要求，加大了對三角函數圖象與性質的考查力度，因而，三角函數的圖象和性質同時也就成了高考的一個熱點。 從近兩年各省市高考試題便可明顯地看到這一痕跡，因此，在平時的教學中，教師必須對此引起高度重視。

1.考查三角函數的概念及同角關系式

此類題主要考查三角函數誘導公式及三角函數的符號規律，解此類題注意必要的分類討論以及三角函數值符號的正確選取。

例1 （2010全國Ⅰ卷理2）記cos(-80°)=k，那么tan100°=( )



A.1-k2k

B. -1-k2k

C. k1-k2

D. -k1-k2

解：∵sin80°=1-cos280°

=1-cos2(-80°)

=1-k2，

∴tan100°=-tan80°

=-sin80°cos80°

=-1-k2k。

故選B

評注：本小題主要考查誘導公式、同角三角函數關系式，并突出了弦切互化這一轉化思想的應用，同時熟練掌握三角函數在各象限的符號。

2.考查三角函數的化簡求值

這類題主要考查三角函數的變換，解此類題應根據考題的特點靈活地正用、逆用，變形運用和、差、倍角公式和誘導公式，進行化簡、求值。

例2 (2011年全國卷2第14題)已知a∈(π2，π)，sinα=55，

則tan2α= 。

解:因為a∈(π2，π)，

sinα=55，

所以cosα=255，

 tanα=12，

tan2α=23。

評注：本題考查三角公式和同角三角函數的基本關系。

3.考查y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質

圖像變換是三角函數的考察的重要內容，

解決此類問題的關鍵是理解A，ω，φ的意義，特別是ω的判定，以及伸縮變換對φ的影響。

例3 （2011年全國卷2第5題）設函數f(x)=cosωx(ω>0)，

將y=f(x)的圖像向右平移π3個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則ω的最小值等于( )

A.13

B.3

C.6

D.9

評注：本題主要考查三角函數的圖象變換中的平移變換、伸縮變換，特別是函數y=Asin(ωx+φ)中的ω對函數圖象變化的影響，2010年2011年連續考查，師生應引起重視。

4.考查三角形中的三角函數

此類題主要考查在三角形中三角函數的利用，解三角形的關鍵是在轉化與化歸的數學思想的指導下，正確、靈活地運用正弦、余弦定理、三角形的面積公式及三角形內角和等公式定理。

例4 （2010江蘇卷13）、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，ba+ab=6cosC，則tanCtanA+tanCtanB= 。

解：∵ba+ab=6cosC6abcosC=a2+b2

6ab#8226;a2+b2-c22ab=a2+b2，

a2+b2=3c22

tanCtanA+tanCtanB

=sinCcosC#8226;cosBsinA+sinBcosAsinAsinB

=sinCcosC#8226;sin(A+B)sinAsinB

=1cosC#8226;sin2CsinAsinB

=1a2+b2-c2ab#8226;c2ab

=c2c24=4.

評注：三角函數與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點，在高考試題中頻繁出現。這類題型難度比較低，估計以后這類題型仍會保留，不會有太大改變，解決此類問題，要根據已知條件，靈活運用正弦定理或余弦定理，求邊角或將邊角互化。

上述4例都涉及到一個數學思想——轉化與化歸思想，即把那些待解決或難解決的問題化歸到已有知識范圍內可解問題的一種重要的基本數學思想。這種化歸是一種等價轉化，它要求轉化過程中的前因后果應是充分必要的，這樣才能保證轉化后所得結果仍為原題的結果。數學中新知識的學習過程，就是一個在已有知識和新概念的基礎上進行化歸的過程。化歸思想在解題教學中的的運用可概括為:化未知為已知，化難為易，化繁為簡，從而達到知識遷移使問題獲得解決，但若化歸不當也可能使問題的解決陷入困境。

解數學問題是學習數學的重要環節與基本途徑。所謂解題，就是揭開“條件”與“結論”之間的內在聯系，或是探索“已知”可以導出怎么樣的“未知”。數學問題千千萬萬，難易不一，每個題目的要求也不一，所起的作用也不一，就是用一個題目對不同的人來說難易也不一樣。數學教學的最終目的是培養學生分析問題和解決問題的能力。教師在教學中引導學生解答數學問題，不斷提高學生的數學解題能力是一項長期性的工作。它要求數學教師必須廢棄題海戰術，重視課本知識的歸納和整合，挖掘和拓展教材習題的潛在功能，重視對高考導向的研究，教給學生數學思想和方法，努力將課程內容融會貫通，“以不變應萬變”，以少勝多，事半功倍。