平面向量基本定理在解決向量問題中的應用
2012-04-29 00:00:00張永春
數學學習與研究 2012年3期
【摘要】在高中數學教學中平面向量一直是一個重點內容，這一部分的內容在數學各個方面都有較廣的應用，重視這一方面內容的學習對于學生數學成績的提高有著重要的意義.本文主要從平面向量的基本定理出發，利用各種教學中的實例，針對其在向量內容中的應用進行探討.
【關鍵詞】平面向量；基本定理；應用
平面向量問題在高中數學中一直以一種數學工具的形式出現，在很多的數學內容中都涉及了這一問題，與此同時在進行向量問題研究時，很多其他的數學知識也被大量的應用，從這點來看，向量問題很好的體現出了數學知識間的相互聯系和遷移.具體到向量問題，在高考中的考查越來越頻繁，其中以平面向量基本定理的考查最為突出，占據了高考向量內容的大部分內容.
所謂平面向量基本定理指的是：a，b是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量c來說，有且僅有一組數x，y，能夠滿足c=xa+yb，在這其中a，b被稱為這一平面內所有向量的一組基底.
對定理的理解：
(1)實數對（a，b）存在的唯一性：平面內任一向量c均可以用給定的基底a，b線性表示成c=xa+yb，且這種表示是唯一的，其集合意義是任一向量都可以兩個不平行的方向分解成兩個向量的和，且分解是唯一的.
（2）基底的不唯一性：平面內任意兩個向量，只要不共線，便可以作為平面內全體向量的一組基底.
（3）“定理”展性：“定理”以二維向量空間為依托，可以拓廣到n維向量空間.
從以往高考對平面向量定理的考查角度來說，主要從以下幾個方面進行考查：第一，a，b作為平面向量基底時的限制條件；第二，對于定義中x，y存在的唯一性的理解與記憶；第三，通過平面向量基本定理的定義，解決向量的線性問題.這三方面的考查在高考中經常出現，因此本文主要從這三點出發，通過典型的實例對其進行講解.
例1 已知f1，f2是某一平面向量的基底，如果a=f1+λf2，b=-2λf1-f2同樣也是一組平面向量的基底，那么λ∈.
解析 從這道例題我們可以得到這樣的限制條件，因為a，b是平面向量的基底，所以我們可以從平面向量基本定理的定義出發得到，a，b不能夠共線，用數學公式來表示就是b=μa(μ∈R)，將已知的式子代入就可以得到-2λf1-f2=μ（f1+λf2），將式子整理后得到：-2λ=μ，-1=μλ.解這一方程組我們可以得到λ=±22，因此這一例題的答案也就得到了，即是λ∈λ|λ≠±22.
總結 要想將兩個向量當作是某個平面向量的基底，就必須要滿足這兩個向量不共線這一個充分必要條件，不共線的數學判別式為b=μa(μ∈R)這個式子不成立，在對平面向量的基本定理的理解時應該充分注意到這一點.將這一點作為平面向量最基礎的知識，牢牢掌握.
例2 在某一平面N中有這樣兩個向量a，b，它們彼此不共線，而向量c是平面N中的任意向量，那么關于x的方程：ax2+bx+c=0的解的情況是.
解析 通過題目的已知條件分析，因為ax2+bx+c=0，所以可得到c=-ax2-cx.又因為c是平面中的任意向量，所以可以得到c=λa+μb，并且對于特定的c而言，λ，μ是唯一的，那么我們就可以得到-x=μ，-x2=λ，經過整理后我們很容易能夠得到-λ=μ2.又由于c是任意一個向量，所以我們可以推出x最多只能有一個解.
總結 通常將這樣平面向量與一元二次方程相結合的題目放在學生面前時，學生常常會按照以前的思維定式根據所給的方程去求解其對應的Δ，然后再根據Δ與0的關系來判斷根的情況，如果Δ大于0，那么就有兩個根，如果Δ小于0，那么就沒有根，如果Δ等于0，那么就有兩個相等的根.但是采用這樣傳統的方法并不能求得最終的結果，經過分析不難看出產生這種錯誤思維的一個重要原因就是，學生根本沒有充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念，沒有形成一種用向量的定理去分析問題的思維.因此，學生在平時學習和做題的過程中應該充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念，并能夠利用它進行一些相關題目的解答.
例3 O是△ABC的外心，并且這個三角形的邊b=4，a=27，c=6，如果AO=xAB+yAC，那么（x，y）=.
分析 經過分析我們可以作出上面的圖形，根據平行四邊形法則，也就是需要計算出平行四邊形AMON的兩條邊AM，AN的長度就可以了，我們可以利用三角形的有關知識對其進行求解.
解 根據余弦定理我們可以很容易得到：
cosA=b2+c2-a22bc=12，∴∠A=π3.
根據正弦定理可得2R=a2sinA=4213，
∴OA=R=2213.
又 ∵AD=3，∴OD=AO2-AD2=33，
∴∠OMD=∠A=60°，
∴AN=OM=23，MD=13，
∴AM=3-13=83，
∴x=AMAB=49，y=ANAC=16，
∴該題目的結果（x，y）=49，16.
總結 這一類型的問題是一種平面向量基本定理的基本應用方式，關系到兩個不共線的向量線性問題的使用方法，通常情況下這種條件下有兩種較為常用的方法，即利用三角形的有關知識，將平面向量的問題轉換成幾何性質的問題進行解答；另外一種就是創建一個平面直角坐標系，將原有的集合問題轉換成代數的形式，這種方法是一種典型的數形結合的方法，在數學中應用較為常見.學生在剛開始接觸這道例題時很難找到相應的解題方法，但是如果采用以上兩種方法中的任意一種方法，都可以輕易地找到突破口，下面的關鍵問題就是在于運算上的準確性了.
上述例題經過簡單的轉化后還可以成為這樣一道例題：
例4 已知O是三角形的外心，且AB=2，AC=3，x+2y=1，如果AO=xAB+yAC，且xy≠0，那么cos∠BAC=.
分析 這道題目利用集合的方法進行解答的話存在一定的困難，因此我們可以考慮利用建立平面直角坐標系的方法進行求解.
解 設∠BAC=α，點M，N分別為AB，AC的中點，那么，B（2cosα，2sinα），C(3，0)，假設點O32，y0.
∵已知ON⊥AB，而且將AB平分，
∴點N為（cosα，sinα），∴kON#8226;kAB=-1，
∴y0=1-32cosαsinα，∴點O的坐標為32，1-32cosαsinα .
又 ∵已知AO=xAB+yAC，且xy≠0，將其代入就可以得到方程組：2xcosα+3y=32，1-32cosαsinα#8226;2xsinα.
又 ∵x+2y=1，將其代入就可以得到cosα=34.
上述這種解題方法在日常的練習中經常看到，但是這種方法的運算量較大，學生在具體運算的時候很容易出現錯誤，尤其在考試的時候，常常花費了大量的時間，但是最后卻在這道題上拿不到分.我們還可以利用下面這種更加簡便的方法.
通過仔細觀察x+2y=1這一式子，我們能夠聯想到這樣一個定理：AO，OB不共線，那么要想使A，B，C三點共線的充分必要條件就是，有這樣一個實數組x，y，能夠使OC=xOA+yOB，與此同時滿足x+y=1.
根據這一定理，上述這一例題就可以這樣來解：因為AO=xAB+yAC=xAB+2yAM，又因為x+2y=1，所以，點O，B，M處于同一條直線上，也就是說BM垂直平分AC，所以，△BAC是一個等腰三角形，那么根據余弦定理可知，cos∠BAC=34.
總結 上述這一定理在向量問題中的應用較為廣泛，在多次的高考題目中都有出現和應用，平面向量定理與共線向量定理二者相互結合應用，能夠使一些原本復雜的問題變得簡單、明了，對于學生靈活掌握向量問題有著重要的意義和作用.
4平面向量基本定理除了上述的一些應用方法外，在一些證明性的題目中也有廣泛的應用.
例5 已知a，b，c三者都不為0，并且（a#8226;b）c=(b#8226;c)a=0，證明：a∥c.
證明 如果a，c兩者之間不是相互平行，那么由已知（a#8226;b）c=(b#8226;c)a=0，就能夠得到a#8226;b=b#8226;c=0.又因為b=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，在等式的兩邊同時與b做數量積就能夠得到這樣的等式b2=λ1（a#8226;b）+λ2(b#8226;c)=0，那么很顯然得到b=0，這樣與題目給出的已知條件正好相反.所以a∥c.
例6 已知向量OP1和OP2是兩個不共線的向量，點P是直線P1P2上P1，P2以外的點，并且滿足OP=xOP1+yOP2(x，y∈R)，證明：x+y=1.
證明 ∵從已知可以看出，P1，P2，P三點在同一條線上，
∴就會存在這樣一個數α∈R使得P1P=αPP2，亦即OP-OP1=α（OP2-OP1），∴OP=11+αOP1+11+αOP2.根據平面向量基本定理概念中實數對的唯一性，我們可以得到以下方程組：x=11+α，y=11+α，∴x+y=1.
總之，向量是“形”與“數”的結合體，用來表示一個既有大小又有方向的量，是幾何與代數知識的交會點.由于這種獨特的“數形”特征，決定了向量具有幾何形式和代數形式的雙重身份，所以運用向量方法解題，能使問題的解決形象化、算法化、簡潔化.運用平面向量基本定理解決向量有關問題時，關鍵是對于概念的深刻理解并注意靈活運用，這樣，在夯實基礎的同時，將提高我們的綜合運用能力和創新能力.
【參考文獻】
［1］唐興中.平面向量基本定理及其應用.中學數學月刊，2007(9).
［2］朱峰.平面向量基本定理的應用.中學數學月刊，2003(5).
［3］錢照平.關于平面向量基本定理的幾個結論.中學數學教學，2009(6).
