構造函數與分離參數

【摘要】在解決參數的取值范圍時，通常會遇到有關不等式在某個區間內“恒成立”的問題，對于這一類問題，如何求解呢？通過例題加以說明.

【關鍵詞】恒成立；構造函數；分離參數

含參數的不等式在指定區間內“恒成立”，求參數的取值范圍是一類經常遇到的數學問題，解題過程充分體現了函數與方程的思想.對于這類問題，有一些特殊方法解決，現舉幾個高中常見的例子加以比較說明.

一、構造函數法

例1 若不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范圍.

解 原不等式等價于(x2-1)m-(2x-1)<0.

設f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，它是關于m的一次函數，由于|m|≤2，即-2≤m≤2，f(m)<0的充要條件是f(-2)<0且f(2)<0，因此，-2(x2-1)-(2x-1)<0且2(x2-1)-(2x-1)<0，解得-1+72

點撥 本題根據已知條件轉化為以參數為變元的不等式，構造一次函數f(m)，利用一次函數的單調性求解.

二、分離參數法

例2 設f(x)是定義在(-∞，3］上的減函數，已知f（a2-sinx）≤f(a+1+cos2x)對于x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

解 原不等式等價于a+1+cos2x≤a2-sinx≤3對x∈R恒成立.

即a2≤3+sinx，①

a2-a≥1+cos2x+sinx.②

對x∈R同時恒成立，

令t(x)=3+sinx，

則①對x∈R恒成立a2≤［t(x)］min=2.③

令s(x)=1+cos2x+sinx=-sinx-122+94，

則②對x∈R恒成立a2-a≥［s(x)］max=94.④

由③④，可得

所求實數a的取值范圍是-2，1-102.

點撥 用這種方法求恒成立不等式中的變量取值范圍問題可分三步：第一步，先分離參數；第二步，求分離后有關函數的最值；第三步，解關于參數的不等式.使用這種方法的前提是參數便于分離出來，例1若采用這種方法，所求參數x就不易分離出來.

例3 若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈0，12成立，求a的取值范圍.

解 原不等式等價于a≥-x2-1x=-x+1x對一切x∈0，12恒成立，u=x+1x在0，12上是減函數，故當x=12時，u取到最小值52.

∴-x+1x≤-52，

要使a≥-x+1x在0，12上恒成立，∴a≥-52.

另解 設f(x)=x2+ax+1，對一切x∈0，12，f(x)≥0恒成立，函數f(x)的對稱軸x=-a2.

(1)當-a2<0，即a>0，［f(x)］min=f(0)=1≥0成立，

∴a>0.

(2)當0≤-a2≤1，即-1≤a≤0，［f(x)］min=f-a2=1-a24≥0，解得-2≤a≤2，∴-1≤a≤0.

(3)當-a2>12，即a≤-1，［f(x)］min=f12=a2+54≥0，解得a≥-52，∴-52≤a≤-1.

綜上所述，a≥-52.

點撥 本題若采用構造函數法來解決問題，需要構造二次函數，利用二次函數的圖像和性質進行分類討論，討論過程比較復雜；而本題若采用分離參數法，所求參數a是很容易分離出來的，再轉化成求函數u=x+1x在0，12上的最小值問題，這樣處理相對來說簡單點.