一道極限問題的多種解法

【摘要】文章就一道求極限問題給出了多種不同的解法.鼓勵學生多思考，一題多解，可以更深刻地理解所學的知識.

【關鍵詞】極限；等價代換；羅比達法則

同濟大學主編的高等數學(第六版)中有一道求極限的題目(P75，9(6))，下面給出它的幾種解法.我們用到的知識點包括：(1)三角公式；(2)無窮小的等價代換定理；(3)第二個重要極限的變形形式limx→01+1xx=e；(4)羅比達法則.

問題 求極限limx→π2sinxtanx.

解 sinxtanx=((1+(sinx-1))1sinx-1)tanx(sinx-1).

∵limx→π2(1+(sinx-1))1sinx-1u=sinx-1limu→0(1+u)1u=e，以下只求limx→π2(tanx(sinx-1)).

解法一 tanx(sinx-1)

=sinx×sinx-1cosx

=sinx×sinx-sinπ2sinx+π2

=sinx×2cosx+π22#8226;sinx-π222sinx+π22#8226;cosx+π22

=sinx×sinx-π22sinx+π22.



解法二 tanx(sinx-1)

=sinx×sinx-1cosx

=sinx×2sinx2cosx2-sin2x2+cos2x2cos2x2-sin2x2

=sinx×-sinx2-cosx22cosx2-sinx2cosx2+sinx2

=sinx×sinx2-cosx2cosx2+sinx2.



根據解法一和解法二均可得limx→π2(tanx(sinx-1))=0.

解法三 根據羅比達法則.

limx→π2(tanx(sinx-1))

=limx→π2sinx×limx→π2sinx-1cosx

=limx→π2sinx×limx→π2cosx-sinx=1×01=0.

由解法一、二、三均可得limx→π2sinxtanx=e0=1.

結束語 在高等數學的學習中，要勤于思考，對同一個問題給出不同的解法，加深對所學知識的理解.

【參考文獻】

同濟大學數學系.高等數學(上)(第六版)［M］.北京：高等教育出版社，2007.