合情推理在高中數學中的應用
2012-04-29 00:00:00李剛
數學學習與研究 2012年3期
在教學過程中加強合情推理的教學，可以使學生將日常生活中積累的經驗、方法等用于學習之中，從而提高學習的興趣，提高分析問題、解決問題的能力，而且可以將自然狀態下的合情推理提高到一個更加科學、合理的層次.本文從教學實踐出發，探討和研究如何在高中數學教學中，培養學生的合情推理能力，親身經歷和體驗“數學發現”的全過程，從而提高學生數學理解能力和推理能力，培養學生的獨立探索和創新意識.
一、合情推理的內涵
所謂合情推理是一種推理過程，是在認知過程中，根據已有的知識結構、經驗和能力水平，運用觀察、實驗、歸納、類比、聯想等思維形式，推導出關于客體的合乎情理的推理過程.在高中數學教學過程中，主要體現在歸納推理和類比推理兩個方面.
歸納是一種從特殊到一般的推理方法.任何客觀事物都存在這個性和共性兩個方面，個性中包含著共性決定了歸納結果的可靠性，以使其具有廣泛的運用；但個性又不能完全包含共性，決定了推理結果也有存在錯誤的可能性.從中可以看出：歸納是以已知的科學事實為前提，通過概括實現擴展知識的一種推理方法，如果能夠得到正確的引導，在教學中將會發揮出極其重要的作用.
與歸納相比，類比則需要有更豐富的知識和想象力.因為類比是對兩個或兩類事物求同存異的過程.在這個過程中，雙方相同或相似的地方越多，則類比的運用則越準確.在教學過程中把各種相似的知識進行類比推理，則可以將復雜的問題簡單化，并可以從對簡單問題的解決中得到解決復雜問題的方法，甚至可能形成新的猜想.
二、合情推理在教學中的應用
通過上面對歸納推理和類比推理內涵的論述，可以看到它們在教學中的側重點不同，那么如何進行選擇呢？應該根據教學的內容來進行選擇，如歸納——類比、類比——歸納等多種方式.下面我們以兩個教學案例來探討歸納推理應用在高中數學教學過程中的應用以及在應用過程中應該注意的一些事項.
1在“等比數列”教學中的應用
（1）用歸納推理來設置教學情景
教學情景可以這樣設置，先給出幾個例子：
①細胞膜的分裂模型：1，2，4，8，…；
②“一尺之棰”的論述：1，12，14，18，…；
②-24，12，-6，3，….
讓學生觀察這三個例子中數據的變化有什么規律.學生通過歸納可以得到：每個數列的后項都是前項的n倍（n為一定值）.從而可以得到等比數列的定義，但學生的歸納很難表達得非常完整，比如，沒有指出“從第二項起”，沒有指出比值是“同一個常數”.這時老師就要給予引導，以引起學生的注意.通過對幾組數據的歸納分析，找出它們的特點并總結出了等比數列的定義，體現了由特殊到一般的規律.
（2）用類比推理導出通項公式
在得到了等比數列的規律后，應該進一步地引導學生推導等比數列的通項公式.學生們通過思考、參考教材，會很容易地得到等比數列的通項公式：設首項為a1，公比為q，則其通項公式為an=a1#8226;qn-1.那么如何對該公式進行證明呢？這對大多數學生來說就具有了一定的難度.這時老師就可以引導學生利用類比的方法，和等差數列通項公式的推導過程進行對比，看看是否可以通過迭加法進行證明，讓學生進行思考.
（3）利用類比推理，自主探究其他知識點
在學生完全掌握了利用類比推理推導通項公式的方法后，讓學生根據自己掌握的知識，類比等差數列，自主探究其他的相關性質.比如，在等差數列中存在著：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.那么，在等比數列中，若m+n=p+q，則am，an，ap，aq之間存在著什么樣的關系呢？
（4）課堂總結
在課堂結束后，可以先讓學生談談對本節課學習的體會，教師再進行總結、概括本節課的主要知識點，以及歸納、類比的思想方法及其應用.
2在解題中的應用
例 平面內有n（n≥2）條直線，其中任何兩條直線不平衡，任何三點不過同一點，證明：交點的個數為f(n)=n(n-1)2.
分析 在遇到探索性問題時，我們一般的思路是觀察—歸納—猜想—證明.對于高中學生來說這是一種非常重要的思維能力，是高考的熱點之一.在本題中，已經給出了問題的結論，其考查意圖在于讓學生用數學歸納的方法加以證明.
在解題時，可以將其轉化為求凸n邊形對角線的條數.從而可以計算出：f(2)=1，f(3)=3，f(4)=6，f(5)=10……繼而歸納出f(n).
在對f（n）歸納時，有些學生就遇到了困難，然而，在我們教材上有許多知識點可以用來對比.
可以看出，掌握一定的合情推理能力，可以極大地提高學生的思維能力和解決問題的能力.在遇到一些新問題時，最大限度找到其和我們所學知識之間的相似點和共同點，運用歸納、類比的方式進行分析、解決.
從上述可知，在運用合情推理的過程中，一是要努力激發學生的興趣，突出學生的主體地位，二是老師還要扮演好引導者的角色，只有兩者相輔相成才能取得好的效果.
